Wstęp teoretyczny
Ciałem sztywnym nazywamy ciało, którego wszystkie punkty mają stałe położenie względem siebie
Elipsoida bezwładności to powierzchnia utworzona przez końce odcinków rx , ry , rz odłożonych na wszystkich osiach przechodzących przez środek masy ciała.
Odcinki odłożone na głównych osiach bezwładności są odpowiednio równe:
;
;
gdzie: Ixx, Iyy, Izz - momenty bezwładności względem osi x, y, z.
Moment bezwładności jest to suma iloczynów mas przez kwadraty odległości od osi obrotu przechodzącej przez środek masy
Przebieg ćwiczenia
Pomiar wymiarów obciążników w postaci sześcianu, prostopadłościanu o podstawie prostokąta, prostopadłościanu o podstawie kwadratu. Każdy pomiar wykonujemy pięciokrotnie.
Pomiar czasu 10 wahnięć wahadła nieobciążonego.
Pomiar czasu 10 wahnięć wahadła po zamocowaniu w ramce obciążnika w postaci sześcianu.
Pomiar czasu 10 wahnięć wahadła po zamocowaniu w ramce obciążnika w postaci prostopadłościanu dla trzech głównych osi bezwładności oraz dla głównej przekątnej.
.
pomiary wymienione w punktach 2 - 4 wykonano trzykrotnie
Opracowanie wyników.
Wymiary obciążników
|
sześcian |
Prostopadłościan 1 |
||
lp. |
a [cm] |
a [cm] |
b [cm] |
c[m] |
1. |
50,2 |
50,2 |
50,0 |
100,1 |
2. |
50,1 |
50,0 |
50,1 |
100,2 |
3. |
50,2 |
50,0 |
50,0 |
100,2 |
4. |
50,0 |
50,1 |
50,2 |
100,2 |
5. |
50,2 |
50,1 |
50,1 |
100,1 |
średnia |
50,14 |
50,08 |
50,08 |
100,16 |
odchylenie |
0,089 |
0,084 |
0,084 |
0,055 |
aa= 0,5014 ±0,0089[m]
a=0,5008 ±0,0084 [m]
b=0,5008±0,0084 [m]
c=1,0016±0,0055 [m]
Masa sześcianu Ms = 980 g = 0,98 [kg]
Masa prostopadłościanu 1 M1 = 1884 [g] = 1,884 [kg]
. Czasy 10 wahnięć wahadła skrętnego [s]
10T |
t[s] |
||||
|
1 |
2 |
3 |
średnia |
odchylenie |
Wahadło nieobciążone |
7,994 |
7,998 |
7,998 |
7,997 |
0,0023 |
Obciążone sześcianem |
10,040 |
10,059 |
9,987 |
10,029 |
0,0373 |
I główna oś a prostopadłościanu |
11,624 |
11,622 |
11,628 |
11,625 |
0,0031 |
II główna oś b prostopadłościanu |
11,669 |
11,644 |
11,677 |
11,663 |
0,0172 |
III główna przekątna oś c prostopadłościanu |
15,805 |
15,809 |
15,814 |
15,809 |
0,0045 |
Wzdłuż głównej przekątnej prostopadłościanu |
13,245 |
13,256 |
13,248 |
13,250 |
0,0057 |
gdzie: średnia
odchylenie standardowe
Obliczenie okresów drgań wahadła
Okres 1 drgania wahadła nieobciążonego
To = (0,7997+/-0,0023) [s]
Okres 1 drgania wahadła obciążonego sześcianem)
Ts = (1,0029+/-0,0037) [s]
Okres 1 drgania wahadła obciążonego prostopadłościanem 1 względem I głównej osi bezwładności (a)
TI = (1,16250+/-0,00031) [s]
Okres 1 drgania wahadła obciążonego prostopadłościanem 1 względem II głównej osi bezwładności (b)
TII = (1,1660+/-0,0017) [s]
Okres 1 drgania wahadła obciążonego prostopadłościanem 1 względem III głównej osi bezwładności (c)
TIII = (1,5809+/-0,00045) [s]
Okres 1 drgania wahadła obciążonego prostopadłościanem 1 względem przekątnej
Tp = (1,25000+/-0,00057) [s]
Obliczanie wartość głównych momentów bezwładności dla badanego obciążnika
ze wzoru
Okres wahania nieobciążonego wahadła
obciążonego sześcianem o Ms = 0,98 [kg]
obciążonego prostopadłościanem względem jednej z głównych osi bezwładności
Moment bezwładności sześcianu obliczamy ze wzoru :
gdzie a = 0,05014 [m] = 50,04•10-3 [m] ; Ms = 980 [g] = 0.98 [kg]
a= 0,050±0,001 [m]
M= 0,980 ±0,001[kg]
[kg·m2]
[kg·m2]
Is=(0,40900+/-0,00035)
[kg·m2]
Odtąd liczyc
Korzystając ze wzoru
wyznaczymy moment bezwładności względem I głównej osi bezwładności (patrz. Tablica 2)
[kg·m2]
Moment bezwładności względem II głównej osi bezwładności (patrz. Tablica 2)
[kg·m2]
Moment bezwładności względem III głównej osi bezwładności (patrz. Tablica 2)
[kg·m2]
Moment bezwładności względem przekątnej prostopadłościanu (patrz. Tablica 2)
[kg·m2
Wyznaczamy równanie prostej zawierającej główną przekątną:
Współrzędne wierzchołka prostopadłościanu 1 :
W (xw; yw; zw)
;
;
W (0,025; 0,025; 0,05)
Równanie przekątnej na postać :
Wyznaczamy elipsoidę bezwładności prostopadłościanu 1 o podstawie prostokąta :
lub równanie elipsoidy
wiemy że Ixx = II, Iyy = III oraz że Izz =IIII
więc
Rozwiązujemy układ równań i wyznaczamy punkty przebicia prostej zawierającej przekątną główną z elipsoidą bezwładności :
⋅10-2 [m]
10-2 [m]
10-2 [m]
Równanie elipsoidy bezwładności ma postać :
Obliczamy moment bezwładności względem przekątnej głównej prostopadłościanu 1 wynosi :
Ip = 9,90⋅10-4[kg·m2]
Ten sam moment można obliczyć ze wzoru :
=m((0,7)2+(1)2+(1,5)2)=2,94*10-4
Iap = 2,94·10-4 [kg·m2]
Ia = Iap
[kg·m2]
Schematyczne obliczenie pochodnej momentu Ix względem Tx, To, Ts
Is = 4,08·10-4 [kg·m2] Ts = 1,000+/-0,001[s]
II = 7,85·10-4 [kg·m2] TI = 1,160 +/-0,001 [s]
III = 8,12·10-4[kg·m2] TII = 1,169+/-0,001 [s]
Ip = 9,90·10-4 [kg·m2] Tp = 1,249+/-0,001 [s]
To = 0,799+/-0,001 [s]
[s]
Niepewności jakimi obarczone są wyznaczone wartości momentów bezwładności ciała :
[kg m2]
[kg m2]
[kg m2]
[kg m2]
Zestawienie wyników :
- pomiary obciążników i czasy wahnięć podane w tabelach
- moment bezwładności względem I głównej osi bezwładności
II = (7,85±0.043)·10-4 [kg·m2]
- moment bezwładności względem II głównej osi bezwładności
III = (8,12±0,034)·10-4 [kg·m2]
- moment bezwładności względem III głównej osi bezwładności
IIII = (80,71±0,01)·10-3 [kg·m2]
Wnioski
Celem ćwiczenia było wyznaczenie głównych momentów bezwładności sześcianu i prostopadłościanu
Wyniki uzyskane w czasie pomiarów , a także przy obliczeniach są obciążone błędem obserwatora i zaokrąglenia liczb
Przy porównaniu dwóch wyników momentu bezwładności względem głównej przekątnej wystąpiła różnica wynikająca z niedokładności pomiaru
Politechnika Śląska w Katowicach
SPRAWOZDANIE
Temat: Wyznaczanie elipsoidy bezwładności ciała sztywnego.
Grupa ZIP21
Sekcja 10:
Bartczak Tomasz Straszak Bartosz