Wyznaczanie współczynnika restytucji przy prostym, środkowym uderzeniu

1. Cel ćwiczenia

Celem ćwiczenia jest doświadczalne wyznaczenie współczynnika restytucji w przypadku uderzenia prostego, środkowego dla par różnych materiałów.

2. Wiadomości teoretyczne

W celu wyprowadzenia wzoru na współczynnik restytucji - k w przypadku uderzenia prostego, środkowego rozpatrzmy na początek zagadnienie uderzenia dwóch kul, pokazane na rysunku 1.

Rys. 1. Schemat uderzenia prostego, środkowego dwóch kul

Definicja: Uderzeniem prostym środkowym nazywamy taki ruch dwóch ciał, gdy prędkości punktów, w których stykają się ciała, są skierowane wzdłuż wspólnej normalnej do powierzchni obu ciał, a jednocześnie ta prosta przechodzi przez środki mas .

Przebieg uderzenia z rysunku 1 można podzielić na dwie fazy. Pierwsza faza trwa od chwili zetknięcia, aż do chwili wyrównania się prędkości v₁, v₂. W tym czasie narastają odkształcenia kontaktowe kul i siły ich wzajemnego oddziaływania, oznaczone przez R. Od chwili wyrównania się prędkości zaczyna się druga faza. W tym czasie do zera maleją siły wzajemnego oddziaływania kul. Rozpatrzmy ruch dwóch kul w trakcie uderzenia, tj. gdy istnieją siły wzajemnego oddziaływania dwóch kul na siebie. Z zasady zachowania pędu masy i popędu siły otrzymujemy następujące równania dla I i II fazy uderzenia:

gdzie: S', S" - impuls siły R w I i II fazie uderzenia, m₁, m₂ - masa kulki pierwszej i drugiej, u-wspólna prędkość obu kulek, v₁, v₂ - prędkości kulek przed uderzeniem, v₁^*, v₂^* - prędkości kulek po uderzeniu, τ' - czas trwania I fazy uderzenia, τ - całkowity czas uderzenia. Jeżeli założymy, że prędkości kul przed uderzeniem v₁, v₂ są znane to w czterech równiach (l) - (2) mamy aż pięć niewiadomych. Do ich wyznaczenia potrzebne jest jeszcze jedno równanie, które napiszemy na podstawie hipotezy Poissona

S" = kS' (3)

gdzie: k - współczynnik restytucji, k ϵ <0;l>. Wartość współczynnika restytucji zależy od materiału z którego wykonane są kule. Mogą wystąpić dwa przypadki graniczne:

• uderzenie idealnie sprężyste k = 1 (S" = S');

• uderzenie idealnie plastyczne k = 0 (S" = 0).

Rozpatrzmy teraz szczegółowo przypadek odbicia się kuli od nieruchomego podłoża, pokazany na rysunku 2.

pozycja 1

Rys. 2. Schemat swobodnego spadania i odbicia kuli od sprężystej, nieruchomej powierzchni

Prędkość kuli po uderzeniu w nieruchomą powierzchnię można wyznaczyć z równań (l) - (3). W tym celu należy uwzględnić w tych równaniach, że v₂ = v₂^* =0 i m₂ = ∞ . Otrzymamy więc następujące wyrażenie na prędkość kuli po uderzeniu:

v₁* = -kv₁ (4)

Na podstawie zasady zachowania energii mechanicznej wiemy, że prędkość v₁^* i v₁ opisane są wzorami

oraz
(5)

gdzie: g - przyśpieszenie ziemskie, h, h* - odpowiednio wysokość spadania i odbicia kuli. Wykorzystując zależności (4) - (5) współczynnik restytucji w przypadku uderzania kuli w nieruchomą ścianę można zapisać następująco

3. Opis stanowiska pomiarowego

Podstawowym elementem stanowiska pomiarowego jest para badanych materiałów, złożona z kulki (1) i płaskiej próbki (4), będącej nieruchomą powierzchnią odbicia. Kulka jest podtrzymywana za pomocą elektromagnesu (2) na wysokości początkowej h = 1 m. Do pomiaru wysokości odbicia kulki h^* od płaskiej powierzchni próbki służy układ pomiarowy, w skład którego wchodzi liniał pomiarowy (5) oraz kamera cyfrowa (3). Kamera cyfrowa jest sprzężona poprzez kartę zapisu obrazu z komputerem PC. Plik pomiarowy w formacie *.mpg umożliwia odnalezienie i zapisanie klatki filmu odpowiadającej położeniu kulki na wysokości odbicia h^*. Za wysokość odbicia h^* uważa się maksymalną wysokość na jaką wzniesie się kulka po odbiciu.

Rys. 3. Stanowisko pomiarowe do wyznaczania współczynnika restytucji

W celu rejestracji obrazu i tzw. poklatkowej jego analizy należy wykorzystać program do edycji filmów Unlead - VideoStudio v.8. Zapisanie klatki filmu odpowiadającej położeniu kulki na wysokości odbicia h* odbywa się w 3 etapach.

1. Etap 1 to włączenie i wyłączenie rejestracji obrazu za pomocą polecenia „capture video” i „stop video” (patrz rysunek 4). Operacje tę wykonuje się w zakładce „capture”;

2. Etap 2 to przeprowadzenie tzw. poklatkowej projekcji filmu za pomocą strzałek przewijania „w lewo” i „ w prawo” (patrz rysunek 5) w celu ustalenia klatki filmu odpowiadającej najwyższemu położeniu kulki po odbiciu. Operacje tę wykonuje się w zakładce „edit”;

3. Etap 3 to wycięcie właściwej klatki filmu, odpowiadającej wysokości odbicia h^* za pomocą polecenia „split video” (patrz rysunek 6).

4.

Przebieg ćwiczenia

1. wypoziomować podstawę stanowiska badawczego;

2. dobrać parę badanych materiałów (kulka + płaska próbka), np. stal - stal, stal - żeliwo, itp;

3. zamocować badaną kulkę na wysokości spadania h = 1 m w uchwycie elektromagnesu;

4. przeprowadzić wstępną próbę (zwolnić uchwyt elektromagnesu) w celu szacunkowego ustalenia wysokości na której należy zamocować kamerę cyfrową;

5. włączyć rejestrację obrazu i przeprowadzić właściwy pomiar wysokości odbicia h ;

6. wyłączyć rejestrację obrazu a następnie pomiary powtórzyć dla innej pary materiałów.

5. Wyniki pomiarów i obliczeń

Wykorzystując wzór (6) obliczam współczynnik restytucji k dla wybranych par materiałów przy odbiciu kulki od nieruchomej powierzchni. Wyniki pomiarów i obliczeń zestawiam w tabeli 1. Odczyt wysokości odbicia kulki h^* wykonuję na podstawie odpowiednich klatek z filmu. Każda para charakteryzuje się innymi danymi: r - promień kulki, h - wysokość spadania. W każdej z prób h^* różni się od wartości odległości wskazanych na poszczególnych klatkach filmu. Jest to spowodowane podłożem, które w zależności od pary ma inną grubość.

Para 1

STAL - PLEKSI

Obliczam współczynnik restytucji dla I pary:

Para 2

STAL - STAL

Obliczam współczynnik restytucji dla II pary:

Para 3

STAL - ŻELIWO

Obliczam współczynnik restytucji dla III pary:

Para 4

STAL - GUMA (Kulka lekka)

Obliczam współczynnik restytucji dla IV pary:

Para 5

STAL - GUMA (Kulka ciężka)

Obliczam współczynnik restytucji dla V pary:

Tabela 1. Wyniki pomiarów

L.p.	Para	h[mm]	h^*[mm]	k
1	Stal - Pleksi	1013	350	0,588
2	Stal - Stal	1004,5	183	0,427
3	Stal - Żeliwo	1004	231	0,48
4	Stal - Guma (Kulka lekka)	1004	183	0,427
5	Stal - Guma (Kulka ciężka)	1001	162	0,402

6. Wnioski

Z uzyskanych wyników zauważam, że współczynnik restytucji zależy od użytych materiałów. Dla pary stal - guma dla dwóch kulek o różnych masach uzyskałem zbliżone wartości współczynnika k, o niewielkiej różnicy(0,025), wykorzystując ten fakt trudno jest jednoznacznie stwierdzić czy współczynnik restytucji zależy od masy, w szczególności zważając na wpływ błędów pomiaru występujących podczas doświadczenia. Do błędów pomiaru mających wpływ na wynik zaliczymy: nieprecyzyjność odczytu wysokości odbicia kulki, deformacje plastyczne zarówno kulki jak i płytki(podłoża), stosunkowo nieduża prędkość zapisu kamery cyfrowej, w wyniku czego możliwa jest dość duża nieprecyzyjność określenia położenia szczytowego kulki.

Współczynnik restytucji wykorzystywany jest na co dzień, do przykładów praktycznego zastosowania zaliczymy m.in.:

1. rekonstrukcja zderzeń w wypadkach samochodowych podczas ekspertyz sądowych

2. wyznaczanie wpływu mikrocząsteczek na proces niszczenia powłoki ochronnej łopat wentylatorów, śrub napędowych, turbin, śmigieł itp.

3. określenie właściwości mechanicznych nasion, a zarazem ich odporności na uderzenia mechaniczne np. podczas procesu młócenia

-4-

-6-

-10-

uderzenie

pozycja II IIdsII11

pozycja I

■

Rys. 4. Włączanie rejestracji obrazu - polecenie „capture video”

Rys. 5. Poklatkowa projekcja obrazu - zakładka „edit”

Rys. 6. Wycinanie klatki filmu - polecenie „split video”

---