1.4.6. Podstawowe zasady wyrównania

Przeprowadzano wielokrotnie pomiary nieznanej wielkości. Ze zbioru n wartości
(dla i = 1,2, ... , n) określających tę szukaną wielkość należy w jakiś sposób wyznaczyć wartość najlepszą w sensie reprezentowania całego zbioru danych. Stwierdza się też, że wyniki pomiarów nie spełniają na ogół związków funkcyjnych, zachodzących między ich wartościami prawdziwymi, czyli nie zachodzi związek

(1.83)

PRZYKŁAD Suma kątów w trójkącie minus kąt półpełny.

Nasuwa się wniosek, że wynik eksperymentu zawiera w sobie błąd pomiarowy. O błędzie pomiarowym zakładamy, że podlega prawu rozkładu normalnego E() = 0. Zatem każdy wynik musi podlegać drobnym korektom, które trzeba uzyskać przez działanie zwane wyrónaniem.

Wyrównanie wyników pomiaru nieznanej wielkości będzie zatem polegać na algebraicznym dodaniu do poszczególnych spostrzeżeń drobnych poprawek, dobranych w sposób najlepszy.

Najlepszymi poprawkami byłyby błędy prawdziwe spostrzeżeń w myśl wzoru (1.23), lecz nie istnieje możliwość ich wyznaczenia. Natomiast spełnione są równania typu

dla i = 1, 2, ... , n (1.84)

Poprawki i z konieczności zastępują tu błędy prawdziwe i tym samym jako takie muszą być najlepsze, choć jeszcze tym sposobem nie określone jednoznacznie. Istniało szereg różnych umów i zaleceń co do doboru poprawek. Okazało się, że najlepszą z dotychczasowych umów jest kryterium postawione przez Legendre`a w 1805 r. Kryterium to nosi nazwę "zasady wyrównania układów obserwacyjnych wg metody najmniejszych sum kwadratów poprawek", według relacji

(1.85)

lub

(1.86)

Zasada [vv] = min lub [pvv] = min dostarcza wyrównania opartego na jednym związku zasadniczym wywodzącym się z rozkładu normalnego, gdzie w oparciu o mnożenie prawdopodobieństw wynika bezpośrednio, że występowanie pewnego układu błędów jest tym prawdopodobniejsze, im mniejsza jest suma kwadratów tych błędów.

Naczelną zasadą wyrównania jest więc w ogólności rozwiązanie zagadnienia metodą najmniejszych kwadratów i polega ono na takim doborze parametrów funkcji, żeby był spełniony warunek

(1.87)

Praktycznie rozwiązanie polega na przyrównaniu do zera pochodnych cząstkowych (ze względu wymienionej sumy) i rozwiązanie otrzymanego układu równań, zwanych normalnymi lub transformacją Gaussa. Oznacza to taki dobór parametrów krzywej F(t), dla której suma kwadratów odległości rzędnych punktów krzywej od odpowiednich rzędnych obserwacji osiąga wartość najmniejszą.

Realizacja wyrównania wg zasady najmniejszych kwadratów odbywa się w trzech oddzielnych grupach, zwanych niewłaściwie metodami:

a) metodą spostrzeżeń bezpośrednich,

b) metodą pośredniczącą,

c) metodą zawarunkowaną.

Metoda spostrzeżeń bezpośrednich jest szczególnym przypadkiem metody pośredniczącej (dla jednej zmiennej).

Wybór metody wyrównania jest głównie uzależniony od nakładu prac przygotowawczych i rachunkowych. Szczegółowiej zaprezentujemy wyrównanie spostrzeżeń bezpośrednich, a przybliżone sposoby wyrównania układów wyników pomiarów podamy przy omawianiu poszczególnych konstrukcji wyznaczających położenie punktów w przyjętym układzie współrzędnych.

A. Wyrównanie spostrzeżeń jednej zmiennej

Dla wyznaczenia tej samej wielkosci fizycznej x dokonaliśmy bezpośredniego n-krotnego pomiaru tej wielkosci, otrzymujac szereg wartości
(dla i = 1,2, ... , n) różniacych się na ogół nieznacznie między sobą. Zakłada się, że każda z tych wartości obarczona jest błędem przypadkowym w sensie E() = 0. Każde spostrzeżenie scharakteryzowane jest dokładnościowo takim samym błędem średnim pojedyńczego pomiaru.

Sama czynność wyrównania polega tu na algebraicznym dodawaniu do wyników pomiaru
(dla i = 1,2, ... , n) nieznacznych wielkości zwanych poprawkami, dobranymi do poszczególnych spostrzezeń, tak aby one były najbardziej prawdopodobnymi, określonymi wzorem (1.26)

Przy realizacji warunku Legendre`a otrzymujemy

(1.88)

funkcję, dla której mamy znaleźć minimum, przy wyrównaniu spostrzeżeń różnodokładnych. (Wyrównanie spostrzeżeń jednakowo dokładnych potraktujemy jako przypadek szczególny).

Wykorzystująć pojęcie wagi określonej wzorem (1.72)

po przyjęciu m0 = 1 warunek (1.88) przyjmie postać

Obecnie dla funkcji F należy znaleźć minimum, przez wyznaczenie pierwszej pochodnej, przyrównanie jej do zera ze stwierdzeniem, że druga pochodna tej funkcji jest większa od zera.

Jej pochodna wyraża się wzorem

Przyrównanie jej do zera daje równanie

,

które w skróconym zapisie ma postać

[p]x - [pl] = 0

stąd wartość x, jako najbardziej prawdopodobna (wyrównana) w sensie metody najmniejszych kwadratów, jest

(1.89)

Wartość wyrównaną nazywa się średnią wagową albo średnią arytmetyczną ogólną. Łatwo zauważyć, że jeżeli
, to wzór (1.89) przybiera postać wzoru na zwykłą średnią arytmetyczną.

B. Ocena błędu wartości wyrównanej

Uzyskana w toku wyrównania niewiadoma x jako średnia arytmetyczna wagowana, jest obarczona również błędem, który zwiemy błędem wartości wyrównanej. Błąd średniej arytmetycznej wyprowadza się jako zastosowanie prawa przenoszenia się błędów dla funkcji liniowej, a mianowicie:

(1.90)

Stosując w/w prawo otrzyma się

(1.91)

Wyrażając kwadraty błędów średnich przez wagi, a mianowicie

(1.92)

i podstawiając (1.92) do (1.91) otrzymamy:

Po uproszczeniu otrzymamy:

lub

(1.93)

Wzór (1.93) jest równoważny wzorowi

(1.94)

który nie wymaga wprowadzenia pojęcia wag.

Dla spostrzeżeń jednakowo dokładnych wzór (1.94) przyjmie postać

(1.95)

C. Obliczanie błędu średniego pojedynczego pomiaru

Na podstawie użytych do wyrównania spostrzeżeń należy ocenić ich błąd średni, który stanowiłby miarę dokładności każdego zmierzonego spostrzeżenia. Błąd ten, zwany błędem średnim pojedyńczego spostrzeżenia lub błędem przed wyrównaniem, określa się przy użyciu błędów pozornych, uzyskanych przez metodę wyrównania. Wyznaczenie wartości takiego błędu wprost z błędów prawdziwych, zgodnie z jego definicją, a mianowicie

jest niemożliwe, gdyż nie jesteśmy w stanie określić wartości prawdziwych błędów spostrzeżeń.

W metodzie najmniejszych kwadratów [vv] jest mniejsza od [], co do której uczyniliśmy założenie, że musi spełniać warunek minimum, zaś [], o ile jest wyliczalna, takich założeń nie wymaga. Podano w punkcie (1.4.1), że

lub

(1.96)

Po podniesieniu do kwadratu i zsumowaniu według stron otrzymamy

(1.97)

Na mocy przyrównania pochodnej do zera mamy

a zatem pozostaje

(1.98)

W równaniu (1.98) różnica (x-X) nie jest znana. Zależność między wielkościa najprawdziej prawdopodobną a prawdziwą określona jest wzorem:

(1.99)

Na tej podstawie równość (1.98), wyrażająca [] po podstawieniu (1.99), przejdzie we wzór

lub

(1.100)

Korzystając z definicji błędu średniego

równość (1.100) przyjmie postać:

(1.101)

Po przeniesieniu i wyciągnięciu przed nawias kwadratu błędu średniego otrzyma się ostateczną odpowiedź:

(1.102)

Oznacza to, że błąd średni pojedynczego spostrzeżenia równy jest pierwiastkowi z sumy kwadratów poprawek (błędów pozornych), podzielonemu przez ilość spostrzeżeń nadliczbowych. Różnica n-1 oznaczająca ilość spostrzeżeń nadliczbowych w statystyce nazywa się ilością punktów (stopni) swobody, bowiem dla jednoznacznego określenia pojedynczej wielkości konieczne jest tylko jedno spostrzeżenie, zaś pozostałe stanowią materiał nadliczbowy. Znaczy to też, że określając ilość koniecznych spostrzeżeń, równą k, otrzymamy wzór ogólnej postaci:

(1.103)

Przy wyrównaniu spostrzeżeń różnodokładnych otrzymujemy poprawki do spostrzeżeń pomierzonych, których odpowiednie błędy średnie wynoszą m1, m2, ... , mn.

Wiedząc, że

otrzymamy wzór:

(1.104)

dla jednej zmiennej, lub wzór

(1.105)

dla k zmiennych.

Uwzględnienie powyższych relacji we wzorach (1.93)-(1.95) prowadzi do bezpośredniego otrzymania wzoru na wartość błędu średniej arytmetycznej dla spostrzeżeń jednakowo dokładnych

(1.106)

Natomiast dla spostrzeżeń niejednakowo dokładnych będzie

(1.107)

Dla pełnej analizy dokładnościowej opracowanych wyników pomiarów należy jeszcze powiedzieć, jaką wagę posiada wartość wyrównana.

Waga średniej arytmetycznej ze spostrzeżeń wyrównanych różnodokładnych równa się sumie wag, zaś dla spostrzeżeń jednakowej dokładnosci waga równa się ilości spostrzeżeń, z których obliczono średnią.

PRZYKŁAD 1. Obliczyć najprawdopodobniejszą wartość azymutu boku poligonowego, średni błąd typowego spostrzeżenia oraz średni błąd wyrównanej wartości, mając trzy wyniki na azymut tego boku, otrzymane z trzech ciągów poligonowych
o ilości wierzchołków odpowiednio

Wyniki obliczonych azymutów boku 1-2 oraz przebieg wyrównania podano w tabeli 1.5.

Tabela 1.5

Nr	Spostrzeżenia li	Wagi pi	v	pv	pvv
1	120g30c 95cc	1,25	-34	-42,50	1445,00
2	120 30 55	0,50	6	3,00	18,00
3	120 30 10	0,77	51	39,27	2002,77
	Suma	2.52	23	-0,23	3465,77

Ponieważ przy obliczeniu każdego z trzech azymutów boku brały udział wszystkie kąty każdego ciągu poligonowego, wobec tego dokładność (a więc i waga) obliczonego azymutu boku będzie zależna od ilości kątów, których użyto do obliczenia azymutu. Innymi słowy, waga każdego z tych trzech spostrzeżeń będzie odwrotnie proporcjonalna do ilości kątów:

W celu uproszczenia dalszych obliczeń wszystkie wagi pomnożono przez 10.

Obliczenia:

,

PRZYKŁAD 2. Pomierzono wielokrotnie odcinek AB, przy czym do pomiaru użyto trzech różnych taśm. Wyniki zestawiono w tabeli 1.6.

Należy obliczyć najprawdopodobniejszą wartość pomierzonego odcinka i jego średni błąd.

Kolejność rozwiązania:

a) obliczenie średniej arytmetycznej spostrzeżeń dla każdej taśmy i jej średniego błędu;

Tabela 1.6

Nr	Taśma 20 m	Taśma 50 m	Ruletka 25 m
1	245,50	245,53	245,58
2	245,56	245,58	245,56
3	245,57	245,50	245,58
4	245,60	245,59	245,56
5	245,52
6	245,49

Taśma 20 m

Taśma 50 m

Ruletka 25 m

b) obliczenie średniej arytmetycznej ogólnej z poszczególnych trzech średnich arytmetycznych wymienionych w punkcie a).

Przebieg wyrównania przedstawia tabela 1.7.

Tabela 1.7

Nr	Spostrzeżenia w m	mx w cm	p	v w cm	pv	pvv
1	245,540	1,8	1,0	2,6	2,6	6,76
2	245,550	2,1	0,8	1,6	1.3	2,08
3	245,570	0,6	9,0	-0,4	-3,6	1,44
			10,8		0,3	10,28

D. Wyrównanie spostrzeżeń parami

Dwa bezpośrednie spostrzeżenia odnoszące się do jednej wielkości nazywa się parą spostrzeżeń.

W praktyce geodezyjnej dość często stosuje się pomiar parami, np. dwukrotny pomiar boków, kątów w dwóch położeniach lunety, wyznaczanie różnic wysokości ciągami niwelacyjnymi w obu kierunkach itd.

Obliczanie średniego błędu dla jednej pary obserwacji jest oczywiście możliwe, ale ze względu na zbyt małą ilość obserwacji (n = 2) do obliczenia takiego nie można mieć dużego zaufania. Biorąc to pod uwagę, zagadnienie wyrównania spostrzeżeń parami musi być traktowane jako zagadnienie kompleksowe, dotyczące szeregu par tych samych spostrzeżeń lub tego samego rodzaju wielkości. Ocena dokładności pomiaru kątów w danej sieci poligonowej, na podstawie uzyskanych różnic d z dwóch położeń lunety może służyć jako przykład, w którym należy zastosować wyrównanie spostrzeżeń parami.

Gdyby obserwacje nie były obciążone żadnymi błędami przypadkowymi i systematycznymi, wtedy różnica pomiarów tej samej wielkości równałaby się zeru. Nieuniknione błędy przypadkowe i część błędów systematycznych obarczają jednak wyniki pomiarów i stąd występujące różnice d można uważać za błędy prawdziwe.

Oznaczając wyniki pomiarów pewnego szeregu wielkości l1, l2, ... , ln odpowiednio przez
,
, ... ,
można utworzyć następujące różnice:
,
, ...,

Korzystając z zależności (1.21), można napisać wzór na błąd średni poszczególnej różnicy

(1.108)

Jeżeli wyniki wszystkich pomiarów uzna się za jednakowo dokładne, to na podstawie prawa przenoszenia się błędów można napisać

(1.109)

Z zależności (1.108) i (1.109) wynika następujacy wzór na błąd średni pojedynczego pomiaru m :

(1.110)

Korzystając ze wzoru (1.90), dla n = 2 można określić średni błąd średniej arytmetycznej z każdej dowolnej pary spostrzeżeń:

(1.111)

Gdy parom spostrzeżeń odpowiadają różne wagi, wtedy błąd średni md różnicy spostrzeżeń, dla pary spostrzeżeń o wadze 1, określamy wzorem

(1.112)

Z uwagi na jednakową dokładność obu spostrzeżeń jednej pary, wzór wyrażający średni błąd pojedynczej obserwacji o wadze 1 jest następujący:

(1.113)

Średni błąd średniej arytmetycznej dwóch pomiarów oblicza się na podstawie zależności

(1.114)

Należy zachować jednolity sposób obliczania różnic di = l1 - l1, tzn. dla wszystkich par należy odejmować wynik drugiego pomiaru od pierwszego lub dla wszystkich par zastosować odwrotną kolejność odejmowania.

Podane wzory są słuszne tylko wtedy, gdy różnice par spostrzeżeń mają charakter błędów przypadkowych. Oznaką występowania błędów systematycznych jest zdecydowana przewaga wartości różnic dodatnich nad ujemnymi lub odwrotnie. W takim przypadku, w celu uwolnienia poszczególnych różnic od wpływu błędu systematycznego , należy obliczyć jego wartość, jako średnią arytmetyczną wszystkich n różnic:

(1.115)

W przypadku różnic jednakowo dokładnych, należy odjąć błąd systematyczny od każdej różnicy i w ten sposób obliczyć poprawione różnice d , czyli

(1.116)

Gdy poszczególne różnice mają różną dokładność, obliczony według wzoru (1.12?) błąd systematyczny jest błędem systematycznym jednostkowym . Przyjmuje się wtedy, że wpływ błędu systematycznego na poszczególne różnice di jest proporcjonalny do odwrotności wag 1/pi.

Posługujemy się zatem wzorami

(1.117)

oraz

(1.118)

Skorygowane różnice d w obu podanych przypadkach tracą swój charakter błędów prawdziwych, a nabierają cech błędów przypadkowych i w związku z tym odpowiednio zmieniają się wzory na obliczenie błędów średnich.

Dla różnic jednakowo dokładnych, obarczonych błędem systematycznym, należy stosować następujące wzory:

(1.119)

(1.120)

(1.121)

Dla różnic niejednakowo dokładnych, obarczonych błędem systematycznym, należy zastosować następujące wzory:

(1.122)

(1.124)

PRZYKŁAD 1. Pomierzono kąty na pięciu stanowiskach dwukrotnie z jednakową dokładnością. Wyniki pomiarów zestawiono w tabeli 1.8.

Tabela 1.8.

Nr	Pomiar I	Pomiar II	d (s)	dd
1	1581010	1581045	-35
2	1000518	1000528	-10	100
3	2001035	2001045	-10	100
4	1000555	1000520	+35	1225
5	301510	301500	+10	100
			-10	2750

Obliczyć średni błąd pojedynczego pomiaru oraz średni błąd podwójnego pomiaru kąta.

Obliczenie:

1

53

---