Ekonometryczna analiza ceny wolframu

PLAN PROJEKTU

1. WSTĘP MERYTORYCZNY

2. PREZENTACJA DANYCH LICZBOWYCH

3. ELIMINACJA ZMIENNYCH

1. quasi-stałe,

2. zmienne o zbyt niskiej korelacji ze zmienną objaśnianą

4. OSZACOWANIE PARAMETRÓW MODELU LINIOWEGO METODĄ NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW

5. WYBÓR POSTACI ANALITYCZNEJ MODELU METODĄ KROKOWĄ FORWARD

6. BADANIE RESZT (weryfikacja utworzonego modelu):

1. losowość

2. symetryczność

3. normalność (test Kołmogorowa)

4. autokorelacja (test Durbina - Watsona)

5. istotność parametrów strukturalnych

6. współczynnik determinacji R² korelacji wielorakiej R

7. równość wariancji reszt w różnych okresach czasu

7. WYBÓR POSTACI ANALITYCZNEJ MODELU METODĄ KROKOWĄ BACKWARD

8. BADANIE RESZT (weryfikacja utworzonego modelu):

1. losowość

2. symetryczność

3. normalność (test Kołmogorowa)

4. autokorelacja (test Durbina - Watsona)

5. istotność parametrów strukturalnych

6. współczynnik determinacji R² korelacji wielorakiej R

7. równość wariancji reszt w różnych okresach czasu

9. KOŃCOWA POSTAĆ MODELU

10. WNIOSKI STATYSTYCZNE I EKONOMICZNE

11. PROGNOZY NA PRZYSZŁOŚĆ

1. WSTĘP MERYTORYCZNY

2. PREZENTACJA DANYCH LICZBOWYCH

Oto jak przedstawiają się ceny wolframu liczone w dolarach za MTU w okresie lat: 1980-97

Rok	Ceny wolframu [$ za MTU]
1997	60,0
1996	59,1
1995	61,3
1994	60,6
1993	57,9
1992	58,7
1991	56,9
1990	80,1
1989	88,7
1988	89,6
1987	90,1
1986	88,7
1985	88,6
1984	88,1
1983	75,1
1982	74,7
1981	77,1
1980	85,1

Tab.1. Próbka badanej zmiennej.

Oto jakie zmienne wybrałem na potencjalnie objaśniające cenę wolframu:

surówki - surówki i żelazostopy - wyprodukowane w Polsce w tysiącach ton,

pługi - ilość wyprodukowanych w Polsce dwuskibowych pługów ciągnikowych w tys. sztuk,

kosiarki - ilość wyprodukowanych w Polsce kosiarek ciągnikowych w tys. sztuk,

obr_do_met - ilość wyprodukowanych w Polsce obrabiarek do metali w tys. sztuk,

obr_skraw - ilość wyprodukowanych w Polsce obrabiarek skrawających w tys. sztuk,

żarówki_il - liczba żarówek oświetleniowych w mln. sztuk,

PKB - wskaźnik Produktu Krajowego Brutto (rok poprzedni = 100),

inwestycje - inwestycje w przemysł (rok poprzedni = 100),

Wartości poszczególnych próbek przedstawia poniższa tabela:

Rok	surowki	plugi	kosiarki	obr_do_met	obr_skraw	zarowki_il	PKB	inwestcje
1997	6900	13,6	9.2	17,2	11,4	348	140,1	121.6
1996	6800	15,1	7.1	13,9	10,4	309	126,8	119.2
1995	7546	19	16.4	13,8	10	277	138,4	117.1
1994	7082	19,6	11.2	13,8	10,3	246	128,4	120.7
1993	6298	14,1	6.6	15	13	216	130	100.7
1992	6498	13,3	11.7	17,8	16,4	201	138,5	98.3
1991	6515	14,7	15.0	16,4	15,5	309	155,3	97.1
1990	8658	31,1	24.2	27,6	25,8	213	580,1	92.7
1989	9488	40,4	17.7	48,8	44,3	183	398,5	109.0
1988	9982	43,7	15.7	47	39,1	176	168	104.5
1987	10476	47,8	13.6	46,1	38	169	128,2	104.8
1986	10574	66,2	16.8	51,9	43,1	171	119	106.8
1985	9807	84,7	15.5	57,4	48,7	169	116,4	113.8
1984	9981	86,8	24.3	56	47,1	158	116	108.2
1983	9719	72,7	46,5	48,3	39,3	153	116,6	109,4
1982	8523	57,4	24,6	41,1	32,2	154	218,8	87,9
1981	9351	32,9	14,6	39,1	30,5	152	121,8	92,1
1980	11953	30,0	11,0	38,3	28,2	154	94,0	102,1

3. ELIMINACJA ZMIENNYCH

1. eliminacja zmiennych quasi-stałych

Podstawowym warunkiem uznania różnych wielkości za zmienne objaśniające modelu jest dostatecznie wysoka zmienność. Jako miarę poziomu zmienności przyjąłem współczynnik zmienności v_i wyrażony wzorem:

v_i= (i=1,2,...,18)

gdzie:

S_i - odchylenie standardowe zmiennej X_i

X_śr - średnia arytmetyczna zmiennej X_i

Jako wartość krytyczną współczynnika v^* obrałem v^*=0,15

Ze zbioru zmiennych eliminuję te zmienne, które spełniają nierówność:

v_i≤v^*

Zmienne te uznaję, za zmienne quasi-stałe, czyli nie wnoszące żadnych istotnych informacji do mojego modelu.

Poniższa tabela zawiera średnie, wariancje, oraz współczynniki v_i moich potencjalnych zmiennych objaśniających.

	surówki	pługi	kosiarki	obr_met	obr_skraw	żarówki_il	PKB	inwestycje
Średnia (Xśr)	8675,06	39,06	15,54	33,86	27,96	208,78	174,16	107,29
Odchylenie (Si)	1715,93	25,127	5,79859	16,56	14,1527	62,7259	121,717	8,53208
Vi	0,19780	0,64329	0,37314	0,48907	0,50618	0,30044	0,69888	0,07952

Wszystkie prawie zmienne mają dość duże wariancje i odchylenia standardowe. Można to zaobserwować już na podstawie próbek, które charakteryzują się dużymi amplitudami wartości.

Dzięki temu jednak, jedynie zmienna ósma - inwestycje posiada współczynnik

v_i<0,15 i zostaje odrzucona jako quasi-stała.

2. korelacja zmiennych

Jedną z metod doboru zmiennych objaśniających do modelu jest analiza macierzy współczynników korelacji .

Polega ona na wybraniu zmiennych silnie skorelowanych ze zmienną objaśnianą i jednocześnie słabo skorelowanych ze sobą.

PIERWSZY KROK

Wybór zmiennych silnie skorelowanych ze zmienną objaśnianą (wolfram)

Najpierw przy poziomie α=0,05 i n-2 stopniach swobody wyznaczę tzw. krytyczną wartość współczynnika korelacji:

r^*=

gdzie I^* -jest wartością statystyki odczytanej z tablic t-Studenta dla danego α oraz n-2 stopni swobody.

W moim przypadku dla α=0,15 i 16 stopni swobody r^*=0,468

Macierz korelacji między zmienną objaśnianą a objaśniającymi przedstawia się następująco:

	surówki	pługi	kosiarki	obr_met	obr_skraw	żarówki_il	PKB	ceny
Wsp. korelacji	0,9215	0,7494	0,4793	0,9250	0,9211	-0,7522	0,1876	1,0000
Poziom istot.	0,0000	0,0003	0,0441	0,0000	0,0000	0,0030	0,4559	0,0000

Ze zbioru potencjalnych zmiennych objaśniających eliminuję zmienne, dla których:

|r_i|≤r^*

Tak więc dla r^*=0,468 z modelu eliminuję zmienną: PKB.

DRUGI KROK

Teraz spośród potencjalnych zmiennych objaśniających wyeliminuję zmienne zbyt mocno skorelowane ze sobą. W tym celu ze zbioru zmiennych wybieram zmienną o największym współczynniku korelacji (jest nią obr_met) i dla niej buduję jeszcze raz macierz korelacji:

	surówki	pługi	kosiarki	obr_met	obr_skraw	żarówki_il
wsp. korelacji	0,8539	0,9061	0,5700	1,0000	0,9907	0,7434
poziom istot.	0,0000	0,0000	0,0141	0,0000	0,0000	0,0001

Ze zbioru wszystkich zmiennych eliminuję te, które mają korelację>r^*, czyli >0,468

Jak widać należy wyeliminować wszystkie pozostałe zmienne, jako nie wnoszące nowych informacji do modelu (powielające jedynie informacje zmiennej obr_met).

4. OSZACOWANIE PARAMETRÓW MODELI LINIOWYCH METODĄ NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW

Liniowy model z jedną zmienną objaśniającą ma ogólną postać:

Y = β + αX + ε

Wartości ocen a oraz b parametrów strukturalnych α oraz β otrzymuje się w tym wypadku z warunku:

S = Σ (y_i - b - ax_t)² → min,

Po wyznaczeniu pochodnych cząstkowych funkcji S względem a oraz b i przyrównaniu ich do zera, otrzymujemy tzw. układ równań normalnych. Po ich rozwiązaniu dostajemy następujące wzory na oceny a oraz b:

a=

b=y_śr - ax_śr

Ocenę wariancji odchyleń losowych modelu liniowego z jedną zmienną objaśniającą otrzymujemy ze wzoru:

S_e²=

Standardowe błędy S(a) i S(b) szacunku parametrów strukturalnych α i β wyznacza się ze wzorów:

S(a)=

S(b)= S_e

Obliczenia zawarłem w poniższej tabeli:

Xi-Xśr	Yi-Yśr	(Yi-Yś)(Xi-Xśr)	(Yt-Yśr)^2	(Xi-Xśr)^2	y=35,8+1,14X	et	et^2	X^2
-16,661	-14,467	241,031	277,593	209,284	55,44161416	-4,558386	20,77888	295,84
-19,961	-15,367	306,736	398,446	236,134	51,67339769	-7,426602	55,15442	193,21
-20,061	-13,167	264,138	402,448	173,361	51,55920931	-9,740791	94,883	190,44
-20,061	-13,867	278,181	402,448	192,284	51,55920931	-9,040791	81,7359	190,44
-18,861	-16,567	312,466	355,742	274,454	52,92946985	-4,97053	24,70617	225
-16,061	-15,767	253,230	257,959	248,588	56,12674442	-2,573256	6,621644	316,84
-17,461	-17,567	306,734	304,890	308,588	54,52810714	-2,371893	5,625876	268,96
-6,261	5,633	-35,271	39,202	31,734	67,31720545	-12,78279	163,3998	761,76
14,939	14,233	212,630	223,170	202,588	91,52514156	2,8251416	7,981425	2381,44
13,139	15,133	198,835	172,630	229,018	89,46975076	-0,130249	0,016965	2209
12,239	15,633	191,335	149,790	244,401	88,44205536	-1,657945	2,74878	2125,21
18,039	14,233	256,754	325,402	202,588	95,06498127	6,3649813	40,51299	2693,61
23,539	14,133	332,683	554,079	199,751	101,3453421	12,745342	162,4437	3294,76
22,139	13,633	301,827	490,130	185,868	99,74670476	11,646705	135,6457	3136
14,439	0,633	9,145	208,482	0,401	90,95419967	15,8542	251,3556	2332,89
7,239	0,233	1,689	52,402	0,054	82,73263646	8,0326365	64,52325	1689,21
5,239	2,633	13,796	27,446	6,934	80,44886891	3,3488689	11,21492	1528,81
4,439	10,633	47,200	19,704	113,068	79,53536188	-5,564638	30,9652	1466,89
-7,8E-14	1,71E-13	3493,136667	4661,963	3059,1	1340,4	-2,42E-13	1160,314	25300,31

a=	1,141884		b=	35,80121
S(a)=	0,153968		S(b)=	5,772417	55063,8

Otrzymane przeze mnie oceny parametrów wynoszą:

a=1,141884 i b=35,80121

Szacunkowe błędy oceny tych parametrów wynoszą odpowiedno:

S(a )=0,153968 S(b )=8,772417

Tak więc mój model przyjął postać:

Y = 38,80121 + 1,141884X

Y = 38,80121 + 1,14188obr_do_met

Oto wykres przedstawiający hipotetyczną i empiryczną zależność ceny wolframu od ilości obrabiarek do metalu:

5. WYBÓR POSTACI ANALITYCZNEJ MODELU METODĄ FORWARD

Metoda Forward budowy modelu ekonometrycznego polega na wyborze zmiennych objaśniających poprzez dołączanie kolejnych zmiennych do optymalnie wybranego zbioru.

Przyjmując założenie, iż w modelu występuje stała, wynik zastosowania metody Forward do budowy modelu opisywanej cechy przedstawia się następująco:

Model fitting results for: FARO.wolfram

--------------------------------------------------------------------------------

Independent variable coefficient std. error t-value sig.level

--------------------------------------------------------------------------------

CONSTANT 27.688474 4.723427 5.8619 0.0001

FARO.surowki 0.003527 0.000727 4.8502 0.0003

FARO.kosiarki -0.412754 0.158503 -2.6041 0.0218

FARO.obr_do_met 0.517497 0.085961 6.0202 0.0000

FARO.PKB 0.029118 0.006115 4.7621 0.0004

--------------------------------------------------------------------------------

R-SQ. (ADJ.) = 0.9617 SE= 2.624123 MAE= 1.735638 DurbWat= 1.920

Previously: 0.0000 0.000000 0.000000 0.000

18 observations fitted, forecast(s) computed for 0 missing val. of dep. var.

Jak widać zostały przyjęte do modelu zmienne:

surówki, kosiarki, obr_do_met oraz PKB

Współczynnik R² został ustalony na poziomie 0.9617, co oznacza dość dobrze dobrany model.

Analysis of Variance for the Full Regression

---------------------------------------------------------------------------

Source Sum of Squares DF Mean Square F-Ratio P-value

---------------------------------------------------------------------------

Model 2969.58 4 742.395 107.812 .0000

Error 89.5182 13 6.88602

---------------------------------------------------------------------------

Total (Corr.) 3059.10 17

R-squared = 0.970737 Stnd. error of est. = 2.62412

R-squared (Adj. for d.f.) = 0.961733 Durbin-Watson statistic = 1.91992

Mój model przyjmuje więc postać:

Y = 28,688474 + 0.003527surówki - 0.412754kosiarki + 0.517497obr_do_met + + 0.029118PKB

6. BADANIE RESZT

Oto jak przedstawiają się reszty dla tego modelu:

( 1) -1.20843
( 2) -0.527497
( 3) 2.59389
( 4) 1.67532
( 5) -0.825699
( 6) -0.322564
( 7) -0.585123
( 8) 0.68836
( 9) -2.00512
(10) 3.97019
(11) 3.48567
(12) 0.327236
(13) -0.374591
(14) 2.88008
(15) -5.14602
(16) -0.536237
(17) -1.32477
(18) -2.76469

1. Losowość składnika losowego.

Testuję hipotezy:

H₀: składnik losowy jest losowy

H₁: składnik losowy nie jest losowy

W celu zbadania losowości składnika losowego użyję testu serii dla mediany.

Mediana reszt wynosi= -0,451044

Przyjmując a dla liczb większych od mediany i b dla mniejszych otrzymujemy następujące serie:

Liczba obserwacji a=9

Liczba obserwacji b=9

Liczba zmian serii Z=9

Odczytując z tablic wartości krańcowe dla α=0,05 z lewej strony i α=0,95 z prawej strony otrzymuję, że

• < 9 < 13,

Z czego wnioskuję, że nie ma podstaw do odrzucenia H₀

2. Symetria składnika losowego.

Niech:

m - liczba reszt dodatnich,

n - liczność próbki

Zweryfikowana zostanie hipoteza:

wobec hipotezy alternatywnej:

Do testowania tej hipotezy stosuje się statystykę:

która dla n < 31 ma rozkład Studenta o n — 1 stopniach swobody.

W moim przypadku dla m=7 i n=18 współczynnik ten wyniósł: t=0,9397

Hipotezę H₀ należy odrzucić gdy t > t_α, w przeciwnym razie nie ma podstaw do jej odrzucenia.

W omawianym przypadku, dla α = 0.05:

m = 7, n = 18, t_α = 2.110

zatem:

t = 0,9397 < t_α

dlatego brak jest podstaw do odrzucenia hipotezy H₀, co świadczy o trafności założenia, iż model ekonometryczny badanej cechy ma postać liniową.

3. Rozkład teoretyczny składnika losowego.

Przy pomocy testu Kołmogorowa zweryfikowana zostanie hipoteza:

H₀: składnik losowy posiada rozkład Normalny

Wynik weryfikacji:

Estimated KOLMOGOROV statistic DPLUS = 0.167008

Estimated KOLMOGOROV statistic DMINUS = 0.115197

Estimated overall statistic DN = 0.167008

Approximate significance level = 0.99981

Zatem na poziomie istotności α = 0.05 brak jest podstaw do odrzucenia hipotezy H₀.

4. Autokorelacja składnika losowego.

Przy użyciu testu Durbina — Watsona zweryfikowana zostanie hipoteza:

o braku autokorelacji składnika losowego stopnia pierwszego

wobec hipotezy alternatywnej:

Wartość d statystyki testowej obliczona przez pakiet STATGRAPHICS wynosi:

Durbin-Watson statistic = 1,920

Dla poziomu istotności  = 0.05, liczności próbek n = 18 i k = 4 zmiennych odczytane z tablic wartości krytyczne testu

wynoszą: d_L = 0.82, d_U = 1,87

Ponieważ zachodzi związek:

d_L < d < d_U

0,82 < 1,87 < 1,920

to, na poziomie istotności  = 0.05, nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H₀, o braku autokorelacji.

Metoda Forward budowy modelu ekonometrycznego polega na wyborze zmiennych objaśniających poprzez dołączanie kolejnych zmiennych do optymalnie wybranego zbioru.

e) Istotność parametrów strukturalnych.

Należy zbadać, czy zmienne objaśniające modelu oraz stała a₀ wpływają w istotny sposób na zmienną objaśnianą, tzn. czy parametry strukturalne istotnie różnią się od zera.

Stawia się w tym celu następujące hipotezy:

• H₀: a₀ = 0;

• H₂: a₁ = 0;

• H₃: a₂ = 0;

• H₂: a₃ = 0;

• H₃: a₄ = 0;

wobec odpowiednich hipotez alternatywnych:

• K₀: a₀ ≠ 0;

• K₂: a₁ ≠ 0;

• K₃: a₂ ≠ 0;

• K₂: a₃ ≠ 0;

• K₃: a₄ ≠ 0;

Do testu wykorzystuje się następującą statystykę:

gdzie:

a_i - oszacowanie parametru strukturalnego;

s(a_i) - standardowy błąd szacunku parametru.

Statystyka powyższa ma rozkład t Studenta o n — m — 1 stopniach swobody (gdzie n — liczba obserwacji, m — liczba zmiennych).

Korzystając wyników budowy modelu (Model fitting results for: SKUP.s_og — sig. level) stwierdzić można, że na poziomie istotności α = 0.05 nie ma podstaw do przyjęcia żadnej z hipotez: H₀, H₁, H₂, zatem zmienne objaśniające modelu oraz stała a₀ wpływają w istotny sposób na zmienną objaśnianą.

W moim przypadku wartości parametrów t_i przedstawiają się następująco:

t₀=5.8619

t₁=48.5144

t₂=2.6040

t₃=6.0201

t₄=4,7617

natomiast t_α odczytane z tablic dla α=0,05 i n-m-1=13 stopni swobody wynosi:

t_α=2.160

jak widać wszystkie parametry są większe od t_α,, więc nie ma podstaw by twierdzić o małym wpływie którejkolwiek zmiennej objaśniającej w modelu na zmienną objaśnianą.

6. Współczynniki: determinacji, korelacji wielorakiej.

Miarą stopnia dopasowania modelu do danych empirycznych jest współczynnik determinacji określony wzorem:

informuje on, jaką część całkowitej zmienności zmiennej Y_t stanowi zmienność zdeterminowana przez wpływ zmiennych objaśniających modelu. Współczynnik ten przyjmuje wartości z przedziału <0,1>. Im bliższa jedności jest wartość współczynnika, tym lepsze jest dopasowanie modelu do danych.

Dla badanego modelu, obliczony przez pakiet STATGRAPHICS współczynnik wynosi:

R² =  0.9617

co jest wysokim, mogącym świadczyć o dobrym dopasowaniu modelu do danych empirycznych, wynikiem.

Miarą siły związku liniowego zmiennej objaśnianej Y_t z zespołem zmiennych objaśniających modelu ekonometrycznego jest pierwiastek kwadratowy z R² określany mianem współczynnika korelacji wielorakiej R. Oczywiście współczynnik ten, podobnie jak R², przyjmuje wartości z przedziału <0,1>.

Dla analizowanego modelu R = 0.980663 należy uznać za wysoce satysfakcjonujące.

8. BUDOWA MODELU METODĄ KROKOWĄ BACKWARD

Przyjmując założenie, iż w modelu występuje stała, wynik zastosowania metody Backward do budowy modelu opisywanej cechy przedstawia się następująco:

Model fitting results for: FARO.ceny

----------------------------------------------------------------------

Independent variable coefficient std. error t-value sig.level

--------------------------------------------------------------------

CONSTANT 25.266296 4.378066 5.7711 0.0001

FARO.surowki 0.004129 0.000636 6.4921 0.0000

FARO.kosiarki -0.361393 0.151821 -2.3804 0.0333

FARO.obr_skraw 0.5356 0.087167 6.1445 0.0000

FARO.PKB 0.023083 0.005865 3.9359 0.0017

----------------------------------------------------------------------

R-SQ. (ADJ.) = 0.9629 SE=2.584717 MAE=1.695424 DurbWat= 2.158

Previously: 0.0000 0.000000 0.000000 0.000

18 observations fitted, forecast(s) computed for 0 missing val. of dep. var.

Tym razem do modelu zostały przyjęte zmienne: surówki, kosiarki, obr_skraw, PKB

Adjustowany współczynnik R² wzrósł nieznacznie z 0,9617 do 0,9629

Analysis of Variance for the Full Regression

-------------------------------------------------------------------------

Source Sum of Squares DF Mean Square F-Ratio P-value

-------------------------------------------------------------------------

Model 2972.25 4 743.063 111.224 .0000

Error 86.8499 13 6.68076

---------------------------------------------------------------------------

Total (Corr.) 3059.10 17

R-squared = 0.971609 Stnd. error of est. = 2.58472

R-squared (Adj. for d.f.) = 0.962874 Durbin-Watson statistic = 2.1577

Nowy model przyjął postać:

Y = 25.266296 + 0.004129surówki - 0.361393kosiarki + 0.5356obr_skraw + +0.023083PKB

9. BADANIE RESZT (WERYFIKACJA POPRAWNOŚCI MODELU)

Oto jak przedstawiają się reszty dla tego modelu:

( 1) 0.228188
( 2) -0.175228
( 3) 2.25192
( 4) 1.65871
( 5) -0.949557
( 6) -1.14951
( 7) -1.73286
( 8) 0.621039
( 9) -2.27187
(10) 3.97132
(11) 3.1805
(12) 0.0131149
(13) -0.329044
(14) 2.49895
(15) -5.18313
(16) 0.835059
(17) -0.648174
(18) -2.81944

1. Losowość składnika losowego.

Testuję hipotezy:

H₀: składnik losowy jest losowy

H₁: składnik losowy nie jest losowy

W celu zbadania losowości składnika losowego użyję testu serii dla mediany.

Mediana reszt wynosi= -0,0810565

Przyjmując a dla liczb większych od mediany i b dla mniejszych otrzymujemy następujące serie:

Liczba obserwacji a=9

Liczba obserwacji b=9

Liczba zmian serii Z=10

Odczytując z tablic wartości krańcowe dla α=0,05 z lewej strony i α=0,95 z prawej strony otrzymuję, że

• < 10 < 13,

Z czego wnioskuję, że nie ma podstaw do odrzucenia H₀

2. Symetria składnika losowego.

Niech:

m - liczba reszt dodatnich,

n - liczność próbki

Zweryfikowana zostanie hipoteza:

wobec hipotezy alternatywnej:

Do testowania tej hipotezy stosuje się statystykę:

która dla n < 31 ma rozkład Studenta o n — 1 stopniach swobody.

W moim przypadku dla m=9 i n=18 współczynnik ten wyniósł: t=0

(Nie ma więc potrzeby dalszego sprawdzania wartości t z wartością odczytaną z tablic, ale dla formalności:)

Hipotezę H₀ należy odrzucić gdy t > t_α, w przeciwnym razie nie ma podstaw do jej odrzucenia.

W omawianym przypadku, dla α = 0.05:

m = 9, n = 18, t_α = 2.110

zatem:

t = 0< t_α

dlatego brak jest podstaw do odrzucenia hipotezy H₀, co świadczy o trafności założenia, iż model ekonometryczny badanej cechy ma postać liniową.

3. Rozkład teoretyczny składnika losowego.

Przy pomocy testu Kołmogorowa zweryfikowana zostanie hipoteza:

H₀: składnik losowy posiada rozkład Normalny

Wynik weryfikacji:

Estimated KOLMOGOROV statistic DPLUS = 0.0781163

Estimated KOLMOGOROV statistic DMINUS = 0.0833023

Estimated overall statistic DN = 0.833023

Approximate significance level = 1.0000

Zatem na poziomie istotności α = 0.05 brak jest podstaw do odrzucenia hipotezy H₀.

4. Autokorelacja składnika losowego.

Przy użyciu testu Durbina — Watsona zweryfikowana zostanie hipoteza:

o braku autokorelacji składnika losowego stopnia pierwszego

wobec hipotezy alternatywnej:

Wartość d statystyki testowej obliczona przez pakiet STATGRAPHICS wynosi:

Durbin-Watson statistic = 2.1577

Dla poziomu istotności  = 0.05, liczności próbek n = 18 i k = 4 zmiennych odczytane z tablic wartości krytyczne testu

wynoszą: d_L = 0.82, d_U = 1,87

Ponieważ zachodzi związek:

d_L < d < d_U

0,82 < 1,87 < 2.1577

to, na poziomie istotności  = 0.05, nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H₀, o braku autokorelacji.

Metoda Forward budowy modelu ekonometrycznego polega na wyborze zmiennych objaśniających poprzez dołączanie kolejnych zmiennych do optymalnie wybranego zbioru.

e) Istotność parametrów strukturalnych.

Należy zbadać, czy zmienne objaśniające modelu oraz stała a₀ wpływają w istotny sposób na zmienną objaśnianą, tzn. czy parametry strukturalne istotnie różnią się od zera.

Stawia się w tym celu następujące hipotezy:

• H₀: a₀ = 0;

• H₂: a₁ = 0;

• H₃: a₂ = 0;

• H₂: a₃ = 0;

• H₃: a₄ = 0;

wobec odpowiednich hipotez alternatywnych:

• K₀: a₀ ≠ 0;

• K₂: a₁ ≠ 0;

• K₃: a₂ ≠ 0;

• K₂: a₃ ≠ 0;

• K₃: a₄ ≠ 0;

Do testu wykorzystuje się następującą statystykę:

gdzie:

a_i - oszacowanie parametru strukturalnego;

s(a_i) - standardowy błąd szacunku parametru.

Statystyka powyższa ma rozkład t Studenta o n — m — 1 stopniach swobody (gdzie n — liczba obserwacji, m — liczba zmiennych).

Korzystając wyników budowy modelu (Model fitting results for: SKUP.s_og — sig. level) stwierdzić można, że na poziomie istotności α = 0.05 nie ma podstaw do przyjęcia żadnej z hipotez: H₀, H₁, H₂, zatem zmienne objaśniające modelu oraz stała a₀ wpływają w istotny sposób na zmienną objaśnianą.

W moim przypadku wartości parametrów t_i przedstawiają się następująco:

FARO.surowki 0.004129 0.000636 6.4921 0.0000

FARO.kosiarki -0.361393 0.151821 -2.3804 0.0333

FARO.obr_skraw 0.5356 0.087167 6.1445 0.0000

FARO.PKB 0.023083 0.005865 3.9359 0.0017

t₀=5.7711

t₁=6.5393

t₂=2.3804

t₃=6.1445

t₄=4.0630

natomiast t_α odczytane z tablic dla α=0,05 i n-m-1=13 stopni swobody wynosi:

t_α=2.160

jak widać i w tym modelu wszystkie parametry są większe od t_α,, więc nie ma podstaw by twierdzić o małym wpływie którejkolwiek zmiennej objaśniającej w modelu na zmienną objaśnianą.

6. Współczynniki: determinacji, korelacji wielorakiej.

Dla badanego modelu, obliczony przez pakiet STATGRAPHICS współczynnik determinacji wynosi:

R² = 0.9629

co jest wysokim, mogącym świadczyć o dobrym dopasowaniu modelu do danych empirycznych, wynikiem.

Współczynnik korelacji wielorakiej R = 0.981275, co jest wynikiem wysokim.

Załącznik 13 przedstawia porównanie wartości estymowanych przez model z zaobserwowanymi, natomiast załącznik 14 — powierzchnię regresji.

Wobec niewielkich różnic w ocenach modeli Forward i Backward, jednoznaczne rozstrzygnięcie, których z nich lepiej opisuje badaną zmienną wydaje się być znacznie utrudnione.

III. Prognoza na rok 1995.

Wyznaczone zostaną trzy wartości prognozy wielkości skupu pszenicy na rok 1995.

Wygładzanie

Do wyznaczenia wartości prognozy zastosowana zostanie metoda wygładzania Brown'a przy stopniu wielomianu p = 0 (simple). Współczynnik  = 0.5 wydaje się być kompromisem pomiędzy dążeniem do minimalizacji błędu prognozy a minimalizacją samego .

Wynikiem zastosowania tej metody jest następująca wartość prognozy:

Y^'₁₉₉₅ = 2629.920 [tys. ton]

obarczona procentowym średnim błędem absolutnym w wysokości: 24.03 %.

Prognoza na podstawie modeli ekonometrycznych.

Do predykcji wielkości skupu pszenicy w roku 1995, posłużyć mogą zbudowane modele ekonometryczne. W tym celu, opierając się na metodzie wygładzania Brown'a (stopień wielomianu p = 0, α = 0.5), wyznaczone zostaną prognozy zmiennych objaśniających modeli:

, przy proc. średnim błędzie absolutnym: 13.04 %

, przy proc. średnim błędzie absolutnym: 7.77 %

, przy proc. średnim błędzie absolutnym: 13.64 %

Widać, że błędy absolutne wygładzania uległy znacznemu zmniejszeniu.

Prognoza w oparciu o model zbudowany metodą Forward.

Zgodnie z tym modelem wartość prognozy wynosi:

Prognoza w oparciu o model zbudowany metodą Backward.

Zgodnie z modelem zbudowanym metodą Backward, wartość prognozy wynosi:

Wniosek:

Wobec otrzymanych wartości przy zastosowaniu różnych metod, każda prognoza wielkości skupu pszenicy w roku 1995 zawarta w zbiorze: <2556.492; 2803.833> wydaje się być rozsądną.

--> [Author:I] Literatura:

Chow G. C., Ekonometria, PWN, Warszawa 1995;

Dąbrowski A. (pr. zb.), Statystyka. 15 godzin z pakietem STATGRAPHICS, Wydawnictwo AR we Wrocławiu, Wrocław 1994;

Galanc T., Metody wspomagania procesu zarządzania. Część II: Decyzyjne modele liniowe i prognozowanie ekonometryczne, Wydawnictwo P.Wr., Wrocław 1993;

Krysicki W. (pr. zb.), Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach. Część II: Statystyka matematyczna, PWN, Warszawa 1994;

Nowak E., Problemy doboru zmiennych do modelu ekonometrycznego, PWN, Warszawa 1984;

Ekonometria - Krzysztof Patra

18

---