Operator momentu pędu

W mechanice klasycznej wielkość momentu pędu definiujemy poprzez iloczyn kartezjański wektora położenia punktu materialnego przez wektorowo wektor pędu omawianego punktu materialnego.

(5.32)

Zastępując wszystkie wektory w (5.32) przez operatory tzn. wektor pędu przez wektor operatora pędu (5.8), a wektor położenia przez wektor operatora położenia w postaci (5.2), to wektor operatora momentu pędu zapisujemy:

(5.33)

Wzór (5.32) w którym występuje iloczyn wektorowy można przedstawić w postaci formalnego wyznacznika. Aby otrzymać z (5.32) (w postaci liczby) do (5.33) (w postaci operatorowej) należy w tym formalnym wyznaczniku zastąpić elementy położenia (drugi wiersz wyznacznika) przez operatory położenia (5.2), a w trzecim wierszu należy zastąpić odpowiednie współrzędne pędu przez współrzędne operatora pędu (5.4), po tych operacjach mamy formalną macierz, który jest rzeczywiście wektorem operatora momentu pędu.

(5.34)

Z przestawienia macierzowego ogólnego wzoru macierzowego (5.34) można powiedzieć, że ta macierz z operatorami wyznaczamy tak samo jakby nie było operatorów, tylko liczby. Współrzędne operatora momentu pędu są:

(5.35)

(5.36)

(5.37)

Współrzędne operatora momentu pędu są standardowo wyznaczone we współrzędnych kartezjańskich, tzn. w prawoskrętnym prostokątnym układzie współrzędnych.

Komutacja współrzędnych operatora położenia

Sprawdźmy, czy elementy operatorów położenia komutują się ze sobą i jak się przekonamy rzeczywiście tak jest ze względu, że operatory współrzędnych położeń są zwykłymi operatorami mnożenia:

(6.1)

A zatem na podstawie (6.1) dochodzimy do wniosku, że operatory współrzędnych ze sobą komutują.

	(6.2)

Wedle (6.2) różne elementy operatora położenia mają tą samą funkcję własną.

Komutacja współrzędnych operatora pędu

Sprawdźmy, czy elementy operatora pędu komutują się ze sobą, jak się przekonamy tak rzeczywiście jest ze względu, że współrzędne operatora pędu z dokładnością do urojonego czynnika, który jest liczbą, jest operatorem pochodnej cząstkowej względem współrzędnej przestrzennej. Ponieważ różniczkowanie tych operatorów w różnych kolejności nie zmienia wyniku, nawet dla tych samych numerów współrzędnych operatora pędu, a dowód tej komutacji:

(6.3)

Dochodzimy więc do wniosku na podstawie dowodu (6.3), że operatory pędu ze sobą komutują:

	(6.4)

Na podstawie (6.4) różne elementy (współrzędne) operatora pędu mają tę samą funkcję własną, która jest funkcją własną operatora pędu.

Komutacja współrzędnych operatorów położenia i pędu

Wyznaczmy, jak się przedstawia komutacja operatora położenia i pędu, udowodnimy, że dla różnych numerów współrzędnych tychże operatorów nasz komutator jest równy zero, tak się dzieje ponieważ operator współrzędnej położenia jest w innych zmiennych niż operator pędu. Dla tych samych numerów natomiast te operatory nie komutują ze sobą:

(6.5)

A zatem ostatecznie komutacja współrzędnych operatora pędu i współrzędnych operatora położenia na podstawie przeprowadzonych obliczeń w punkcie (6.5) jest taka:

	(6.6)

Na podstawie (6.6) funkcja własna operatora położenia jest funkcją własną inną niż funkcja własna operatora pędu dla tych samych numerów współrzędnych, natomiast dla różnych numerów współrzędnych komutator jak powiedzieliśmy jest równy zero, co oznacza, że te operatory te mają takie same funkcje własne.

Komutacja współrzędnych operatora momentu pędu

Zdefiniujmy, operator moment pędu (5.23), jeśli wiemy, że operator pędu jest zdefiniowany wedle (5.6), to nasza rozważana współrzędna operatora momentu pędu przedstawiamy za pomocą symbolu Leviego-Civity:

(6.7)

Ten komutator zdefiniowany jest przy pomocy składowych momentu pędu o składowych i-tej i j-tej, to obliczmy jakiemu operatorowi nasz ten obiekt jest równy:

(6.8)

Na drugim wyrazie w (6.8) w nawiasie wykonujemy przemianowania wskaźników l na n i m na k i odwrotne, po to by można było za nawias wyciągnąć wyraz z operatorem pochodnej cząstkowej:

(6.9)

Podwójny symbol Leviego-Civity możemy zapisać za pomocą różnicy dwóch iloczynów pewnych w sposób ściśle zdefiniowanych delty Kroneckera wedle sposobu:

(6.10)

Dalej dokonując przesunięć wskaźników i włączania znaku minus w pod nawias, a także wykorzystując definicję podwójnego iloczynu symboli Leviego-Civity, dostajemy:

(6.11)

Na podstawie obliczeń w (6.11) dostajemy, że komutator dwóch dowolnych współrzędnych operatora momentu pędu wyrażamy przez:

	(6.12)

Na podstawie wzoru komutacyjnego (6.12) współrzędne operatora momentu pędu nie mają wspólnych funkcji własnych.

Komutacja operatorów kwadratu momentu pędu i pewnej współrzędnej operatora momentu pędu

Rozparzmy teraz komutację operatora kwadratu całkowitego momentu pędu z jakąś współrzędną operatora momentu pędu, wtedy możemy napisać drugi składnik w tym komutatorze, w który jest kwadratem operatora momentu pędu, i tak go rozpisujemy jako sumą składników kwadratów momentów pędów odpowiednich współrzędnych, idąc dalej taki komutator możemy rozpisać na sumę komutatorów, i dalej będziemy korzystać z własności na komutatorach (MMF-15.20), po tych operacjach możemy skorzystać ze wzoru, którego składnikami są współrzędnymi operatorów momentu pędu, czyli według wzoru (6.12). Nasze obliczenia na podstawie tego przeprowadzamy jako:

(6.13)

Na podstawie dowodu (6.13) operator kwadratu całkowitego momentu pędu z jakimś elementem (jakąś współrzędną) operatora momentu pędu komutują ze sobą:

	(6.14)

Na podstawie (6.14) funkcja własna jakieś współrzędnej operatora momentu pędu jest taka sama jak dla kwadratu operatora całkowitego momentu pędu.

Zagadnienie własne operatora położenia

Operatorem położenia dla współrzędnej iksowej, podobnie jest dla współrzędnej igrekowej i zetowej, jest to operator mnożenia przez liczbę rzeczywistą zdefiniowanej wedle schematu:

(7.5)

Zagadnienie własne operatora położenia iksowego położenia (7.5) definiujemy podobnie jak w schemacie (7.1), to równanie dla uproszczenia zależy tylko od zmiennej iksowej i od wartości własnej
i przedstawia się on:

(7.6)

• gdzie wartość własna ξ jest wartością własną operatora x⋅.

Z równania własnego (7.6) mamy równanie wynikowe wedle sposobu:

(7.7)

Z równania (7.7) wynikają dwa różne przypadki, tzn. pierwszy

dla

(7.8)

• oraz drugi inny od poprzedniego przypadek




, dla

(7.9)




Te dwa przypadki dla funkcji własnej należy połączyć w jeden przypadek, w tym celu dla warunku, która zawsze jest równa zero dla punktu różnego od ξ, dla równego ξ funkcja ψ(x) przyjmuje wartość nieskończoną, a więc przyjmijmy osobliwą funkcję, która w jednym punkcie jest nie równa zero, czyli (7.8), a w pozostałych punktach jest równa zero, czyli (7.9). Nazwijmy ją funkcją Diraca. Jako osobliwą funkcję, które spełniają te dwa powyższe warunki dla różnego x, należy przyjąć funkcję Diraca, tzn.:




	(7.10)




Jak zobaczymy tę funkcję da się unormować do jedynki. Funkcję Diraca (7.10) ma właściwości przestawione w punkcie (MMF-12.1).

Zagadnienie własne operatorów pędu

Wyznaczmy równanie własne i z niego wynikające funkcje i wartości własne dla operatora pędu (5.4) wedle schematu (7.1) w mechanice kwantowej. Równanie własne współrzędnej operatora pędu zapisujemy wedle schematu:




(7.11)




A równanie własne (7.11) po rozpisaniu według definicji współrzędnej i-tego operatora pędu (5.4) przyjmuje postać:




(7.12)




Dzielimy obustronnie równanie (7.12) przez liczbę urojoną
oraz wykorzystując fakt, że mamy na jednostkach urojonych własność
, otrzymujemy:




(7.13)




Rozwiązaniem równanie różniczkowego (7.13), która jest funkcją wprost proporcjonalną do funkcji eksponecjalnej o stałej eksponecjalnej o pewnej niezerowej stałej A:




(7.14)




Weźmy podstawienie, które zdefiniujemy jako liczba falowa przedstawiona za pomocą wartości własnej równania własnego (7.11), którego spotkaliśmy go w teorii dotyczącej teorii fal de Broglie'a (1.16).




(7.15)




Zatem funkcja własna (7.14), na podstawie przedstawienia liczby falowej "k" poprzez pęd naszej cząstki (7.15), przyjmuje kształt:




(7.16)




Przeprowadzimy proces ortonormalizacji funkcji własnej (7.16), całka po nieskończonej przestrzeni rzeczywistej, do delty Diraca:




(7.17)




Z warunku normalizacji wyznaczmy stałą A, wedle końcowego wyniku w (7.17) występującą we funkcji własnej równania własnego operatora pędu napisanego w punkcie (7.16), w której można wyznaczyć właśnie tą stałą:




(7.18)




A zatem funkcją własną, wykorzystując obliczoną stałą według (7.18), jest funkcją unormowana do delty Diraca przedstawiona wedle schematu:




	(7.19)




Mówiąc ogólnie, funkcja własna względem położenia
w przestrzeni trójwymiarowej, jest równa iloczynowi funkcji własnych dla każdej współrzędnych operatora pędu, jest przedstawia w sposób:




(7.20)




Rozważmy teraz ograniczony przypadek do poprzedniego, który był nieskończony po całej przestrzeni rzeczywistej, jak rozważaliśmy dotychczas. Gdy na osi iksowej cząstka porusza się od -L do L, a nie w nieskończonej przestrzeni, zatem powinien zachodzić warunek, że funkcja powinna mieć takie same wartości na jego końcach tego przedziału ze względu na hermitowskość operatora współrzędnej pędu:




(7.21)




Korzystając z własności funkcji własnej ψ(xi) (7.16) równania własnego (7.12), na których końcach rozważanego przedziału spełnia on warunek:




(7.22)




Na podstawie własności eksponensu według (7.22), a co z kolei wynika z własności funkcji trygonometrycznych sinus i kosinus, zatem możemy udowodnić, że zachodzi własność zależności od dowolnej liczby całkowitej n i długości połowy przedziału L:




(7.23)




Na podstawie równania (7.23) liczba falowa k powinna mieć wartości dyskretne w zależności od połowy długości naszego przedziału, po którym może się poruszać nasza rozważana cząstka:




(7.24)




Wartość pędu (7.15), z której wyliczymy wartość własna pędu, a także do niej podstawimy wzór na skwantowaną liczbę falową (7.24), mamy:




, gdzie

(7.25)




Sprawdźmy, czy funkcja własna (7.16) dla różnych liczb falowych jest ortogonalna, czy jest sama do siebie unormowana, że można udowodnić ponad wszelką wątpliwość:




(7.26)




Gdy zachodzi n2=n1, co pociąga za sobą warunek równości dwóch liczb falowych k1=k2, czyli mamy warunek normowania funkcji:




(7.27)




Gdy mamy n1≠n2, co pociąga za sobą różność dwóch liczb falowych k1≠k2 zdefiniowanych wedle (7.24), czyli mamy warunek ortogonalizacji dwóch funkcji falowych dla dwóch różnych liczb falowych:




(7.28)




Na podstawie (7.27) (warunek normalizacyjny) i (7.28) (warunek ortogonalizacyjny), mówiąc ogólnie mamy warunek wyraźmy łączący te dwa wariantny przy pomocy normowania do delty Kroneckera pisząc je:




(7.29)




Według (7.29) możemy wyznaczyć stałą normalizacyjną jako:




(7.30)




Funkcja własna (7.16) na podstawie stałej normalizacyjnej, która jest zależna od długości rozważanego przedziału 2L wyznaczonej za pomocą końcowego wynikowego równania (7.30), jest równa:




	(7.31)




Funkcja własna równania własnego operatora pędu napisanej dla argumentu wektora
, który jest położeniem w przestrzeni trójwymiarowej, jest napisana jako iloczyn funkcji falowych dla każdej współrzędnej z osobna, które są funkcjami własnymi tychże współrzędnych, w sposób




(7.32)




A określone współrzędne liczby falowej
według wzoru (7.24) są równe:




(7.33)




Czyli współrzędne liczby falowej są wielkościami dyskretnymi, ogólnie dla przestrzeni trójwymiarowej wektor liczby falowej też jest wielkością dyskretną, więc ten wektor jest wprost proporcjonalny do wektora będących trójką liczb naturalnych:




(7.34)




Dochodzimy do wniosku, że liczba falowa, a więc pęd cząstki w tym przypadku jest wielkością ciągłą dla nieskończonej przestrzeni trójwymiarowej, a także jest wielkością dyskretną (skwantowaną) dla przestrzeni ograniczonej we wszystkich wymiarach.

Zagadnienie własne operatora momentu pędu współrzędnej zetowej

Równanie własne operatora momentu pędu współrzędnej zetowej wygląda:




(7.35)




Wykorzystując definicję zetowej momentu pędu według (5.37) we współrzędnej kulistej, dostajemy równanie różniczkowe:




(7.36)




Wprowadźmy nową liczbę kwantową, która jest liczona z dokładnością do stałej kreślonej Plancka oznaczonej przy pomocy współrzędnej zetowej momentu pędu.




(7.37)




A zatem nasze równanie własne (7.36) mając tożsamość (7.37), która przestawia się jako wzór na wartość własną operatora zetowego momentu pędu.




(7.38)




Rozwiązanie równania (7.38) w postaci funkcji własnych równania (7.35) przy definicji nowej liczby kwantowej m (7.37) zapisujemy:




(7.39)




Aby równanie (7.39) było samo ze sobą zgodna powinien on spełniać warunek:




(7.40)




Dochodzimy więc do wniosku, że równanie własne (7.39) według warunku na wartości kąta, które powstają, jeśli do tego kąta dodamy wielokrotność liczby 2π, to nie powinno się wcale zmieniać wartości funkcji falowej (7.39), czyli powinien zachodzić schemat (7.40):




(7.41)




Równanie (7.41) możemy zapisać równoważnie:




(7.42)




Z równania dyskretnego (7.42) wynika, że liczby dyskretne m mają wartości m=0,±1,±2,.... Dochodzimy więc do wniosku, że zetowe wartości własne momentu pędu są skwantowane, czyli zetowy moment pędu możemy wyprowadzić z tożsamości (7.37):




	(7.43)




Wyznaczmy stałą A z (7.39) przy pomocy całki, którą całkujemy względem kąta azymutalnego w przedziale od zera do 2π, ale najpierw dokonajmy obliczeń ogólnych:




(7.44)




Gdy m2=m1, to równanie (7.44) jest w postaci:




(7.45)




A teraz, gdy m2≠m1, to równanie (7.44) przyjmuje postać:




(7.46)




A zatem uwzględniając ogólnie (7.45) i (7.46) jako rozwiązanie równania (7.44), otrzymujemy ogólne równanie ortonormalizacji dwóch funkcji własnych dla różnych lub tych samych wartości liczby m:




(7.47)




Z warunku ortonormalizacji według wzoru (7.47) wartość powyższej całki powinna być z ortonomalizowana do delty Kroneckera:




(7.48)




Funkcja własna ψ(θ) operatora zetowego momentu pędu (7.39), która należy do bazy ortonormalnej, ma postać:




	(7.49)




Funkcja własna (7.49) jest rozwiązaniem równania (7.35), którego wartości własne momentu pędu są dyskretne i są wyrażone według wzoru (7.43).

Operator ewolucji

Operatorem ewolucji nazywamy operator zdefiniowany w postaci eksponentu z funkcji proporcjonalnej do iloczynu z minusem czasu i operatora energii:




(10.35)




Całkowite rozwiązanie dla t=0, które jest rozwiązaniem Hamiltonianu (równania falowego zależnego od czasu), możemy zapisać wedle schematu przy współczynnikach rozwinięcia aλ:




(10.36)




Pomocnym równaniem własnym do równania własnego operatora energii jest równanie w postaci:




(10.37)




Równanie własne (10.37) udowodnijmy na podstawie indukcji matematycznej, zatem dla n=1 wspomniane równanie przechodzi w równanie niezależne od czasu (7.121). Następnym krokiem jest założenie, że równanie (10.37) jest spełnione i udowodnijmy, że ono jest spełnione dla n+1, pomnóżmy obustronnie równanie (10.37) przez operator energii, dostajemy, że:




(10.38)




Ponieważ operator energii jest liniowy, zatem możemy potęgę En przenieść przed ten operator, zatem po te operacji i z definicji równania własnego operatora energii możemy zapisać wychodząc od wzoru (10.38):




(10.39)




Co kończy dowód twierdzenia (10.37).

Podziałajmy eksponencjalnym operatorem ewolucji (10.35) na funkcję własną rozwiązania równania własnego operatora energii dla t=0, czyli (10.36), wykorzystując rozwinięcie funkcji eksponecjalnej tegoż operatora w szereg Taylora:




(10.40)




Zatem na podstawie (10.40) otrzymaliśmy wyrażenie podczas działania operatora ewolucji na funkcję własną operatora energii:




(10.41)




Lewa strona równania (10.41) jest taka sama jak w rozwiązaniu własnym (10.34), zatem porównujemy oba te równania, dostajemy że:




(10.42)




Rozwiązanie własne operatora energii we jego funkcjach własnych jest to rozwiązanie równania zależnego od czasu (10.1) w chwili t=0, zatem znając jego funkcję własną dla chwili zerowej możemy wyznaczyć na podstawie (10.42) funkcję własną dla dowolnej chwili, w której znajdowała się cząstka opisywana przez funkcję falową ψ(xyzt).

Rachunek zaburzeń dla równania Schrödingera niezależnego od czasu

Niech operator energii składa się z dwóch części, tzn. z członu niezaburzonego z poprawką do całkowitego Hamiltonianu
, co ten cały hamiltonian z zaburzeniem jest:




(19.1)




Parametr λ jest mały w porównaniu z energią stanu niezaburzonego stanu (bez poprawki), to dla stanu niezaburzonego piszemy ją:




(19.2)




Dla stanu zaburzonego jest to równanie własne operatora energii stanu zaburzonego (19.1):




(19.3)




Funkcja własna stanu zaburzonego da się rozwinąć w szereg potęgowy względem
:




(19.4)




A energia w stanie zaburzonym, też rozwijamy w szereg Taylora względem tego samego co poprzednio parametru
, wtedy ta rozwinięta energia:




(19.5)




Jeśli mamy równanie własne (19.3), to podstawiając do niego w operatorze hamiltonianu zaburzonego
rozwinięcie funkcji
(19.4), a także rozwinięcie wartości własnej hamiltonianu zaburzonego
(19.5) do równania własnego stanu zaburzonego, otrzymujemy:




(19.6)




Dokonajmy teraz odpowiednich wymnożeń i grupowań wyrazów względem potęg
równania różniczkowego (19.6) po obu jego stronach:




(19.7)




Porównajmy obie strony otrzymanego równania (19.7) do siebie względem tych samych potęg parametru
:




(19.8)




(19.9)




(19.10)




W bazie funkcji
własnych hamiltonianu niezaburzonego rozwińmy funkcję
w sposób:




(19.11)




Wykorzystajmy teraz wzór na rozwinięcie pierwszej pochodnej o numerze n względem funkcji własnej rozwiązania hamiltonianu niezaburzonego (19.11) i podstawiając go (19.9), otrzymujemy:




(19.12)




Mając równanie własne (19.2), to równanie (19.12) przyjmuje postać:




(19.13)




Dokonajmy teraz mnożenia powyższego równania przez funkcję
oraz obie strony tego równania jednocześnie całkując, otrzymujemy:




(19.14)




Wykorzystując, że wektory bazy hamiltonianu niezaburzonego są z ortonormalizowane do delty Kroneckera, to wyrażenie całkowe (19.14), piszemy:




(19.15)




Zatem ostatecznie z równania całkowego (19.15) po niezbędnych działaniach dzięki deltom Kroneckera, które to działania należy wykonać, by one możliwie nie występowały, jeśli się da:




(19.16)




Rozpatrzmy dwa przypadki występujące w (19.16), pierwszy przypadek jest dla l=n, a drugi dla warunku
. Rozpatrzmy teraz pierwszy przypadek względem ostatniego wspomnianego równania, to w naszym ostatnim równaniu delta Kroneckera staje się równa jeden, ze względu na równość obu parametrów opisujących deltę i to równanie zapisujemy dla tego przypadku:




(19.17)




Dokonujemy redukcji wyrazów podobnych wyznaczając
w (19.17), dostajemy:




(19.18)




A zatem poprawka do energii zaburzonego hamiltonianu jest iloczynem parametru
i wartości policzonej za pomocą równania (19.18).




(19.19)




Teraz rozpatrzmy drugi przypadek według (19.16), tzn. gdy zachodzi warunek
, to drugi wyraz lewej strony wspomnianego równania wskaźnikowego znika, ze względu na różność parametrów "l" i "n", co wynika z własności delty Kroneckera, która w tym przypadku jest równa zero.




(19.20)




Policzmy teraz współczynnik
przy pomocy równania (19.20):




(19.21)




A zatem te współczynniki, według tożsamości (19.21), są zależne od energii własnej równania własnego niezaburzonego względem współczynników "n" i "l" i elementu macierzonego
występującego w (19.21), którego to równanie jest definicją wspomnianego elementu macierzowego:




(19.22)




A także przyjmujemy czynnik rozwinięcia w funkcji stojącej przy
przy (19.4) w równaniu własnym zaburzonego hamiltonianu względem samych funkcji własnych niezaburzonego hamiltonianu, które są funkcjami własnymi niezaburzonego hamiltonianu wedle (19.11), a zatem poprawka do funkcji falowej jest taka, że nie ma w nim wyrazów dla k=n, który jest równy zero, zatem poprawka do omawianej funkcji falowej (19.11) przy definicji współczynników (19.22) przedstawia się jako:




(19.23)




W rachunku zaburzeń pierwszego rzędu, na podstawie (19.19) (poprawka do energii własnej danego układu dla niezaburzonego hamiltonianu, stąd otrzymujemy w ten sposób wyniku obliczeń przybliżonych całkowitą energię opisywanego układu) i (19.23) (poprawka do funkcji własnej do niezaburzonego hamiltonianu), dochodzimy więc do wniosku, że poszczególne energie (wartości własne) i funkcje falowe (funkcje własne) są napisane z dokładnością do wyrazów pierwszego rzędu:

		(19.24)			(19.25)

Napiszmy teraz równanie własne poprawki do operatora całkowitej energii własnej układu, z którego wynikają pewne wartości własne, które są poprawkami do energii własnej układu opisującego przez hamiltonian zaburzony:




(19.26)




A kolejne elementy macierzowe operatora
przedstawiają się:




(19.27)




Czyli na podstawie tego możemy policzyć równanie macierzowe, przy czym wiedząc, że ψ jest to macierz funkcji własnych operatora energii, a
jest macierzą elementów macierzonych obliczonych przy pomocy wzoru (19.27):




(19.28)




Zastępując operator
przez macierz
według jej definicji (19.27), a operator jednostkowy w (19.28) macierzą jednostkową
, a funkcjami własnymi w ten sposób otrzymanego równania jest wektor funkcji własnych równania (19.26):




(19.29)




Musi być jednocześnie spełnione, aby funkcje własne
nie były tożsamościowo równe zero w równaniu (19.29):




(19.30)




Wyrażenie (19.30) przedstawiamy:




(19.31)




Z powyższego równania możemy wyznaczyć poprawkę do wartości własnej energii dla całego układu stanu niezaburzonego i dodając właśnie tą poprawkę do całkowitej energii opisywanego przez hamiltonian niezaburzony.

---