Bogdan Wolski

Materiały dydaktyczne opracowane dla potrzeb projektu „Opracowanie i wdrożenie programu studiów inżynierskich geodezja i kartografia w Społecznej Wyższej Szkole Przedsiębiorczości i Zarządzania w Łodzi”

Społeczna Wyższa Szkoła Przedsiębiorczości i Zarządzania

Łódź 2011

Spis treści

1. Algebra macierzy

1.1. Rodzaje macierzy, Operacje na macierzach ……………………………... 3

1.2. Rozkład macierzy na czynniki trójkątne i trapezowe ............................... 3

1.3. Odwrotność macierzy. Wyznaczanie macierzy odwrotnej za pomocą

kofaktorów ………………………………………………………………….…. 5

1.4. Rozwiązywanie układów równań liniowych ……………………………….. 6

2. Elementy teorii błędów. Przedziały ufności …………………… ……….… 10

3. Wyrównanie obserwacji bezpośrednich. Propagacja błędów

3.1. Wyrównanie obserwacji bezpośrednich……………………………….…... 15

3.2. Propagacja błędów ………………………………………………………….. 18

3.3. Optymalizacja programu obserwacji ………………………………………. 19

4. Metoda parametryczna. Wyrównanie sieci niwelacyjnej

4.1. Model zagadnienia wyrównawczego ……………...……………….……… 21

4.2. Metoda najmniejszych kwadratów. Układ równań normalnych ………… 22

4.3. Algorytm obliczeń ……………………………………………………………. 24

4.4. Przykład wyrównania sieci niwelacyjnej ………………….……………….. 25

5. Metoda parametryczna. Wyrównanie sieci liniowo-kątowej

5.1. Model zagadnienia wyrównawczego …………….………………………… 29

5.2. Ocena dokładności ……………………………………………………..…… 32 5.3. Algorytm obliczeń ……………………………………………………………. 33

5.4. Przykład wyrównania sieci liniowo-kątowej ……………….………………. 34

6. Metoda warunkowa

6.1. Model zagadnienia wyrównawczego …………………………………….. 41

6.2. Przykłady równań warunkowych …………………………….……………  41

6.3. Algorytm metody warunkowej ……………………………………..………  43

6.4. Przykład wyrównania sieci niwelacyjnej ………………………………….   45

7. Metody mieszane ………………………………………………………………..

7.1. Metoda parametryczna z warunkami dla parametrów …………………. 49

7.2. Metoda wag ……………………………………………………….………… 52

1. Algebra macierzy

1.1. Rodzaje macierzy. Operacje na macierzach

Macierz A - tablica liczb o wymiarach n, m

• Macierz transponowana
  

• Macierz diagonalna D_i,j = 0 dla i≠ j

• Macierz symetryczna D_i,j = D_ji

• Macierz kwadratowa n = m

Dwie macierze mogą być przez siebie pomnożone, o ile liczba kolumn pierwszej z nich jest równa liczbie wierszy drugiej macierzy

• Iloczyn wielu macierzy
  

• Iloczyn macierzy z kontrolą

1.2. Rozkład macierzy na czynniki trójkątne i trapezowe

Macierz A np. stopnia trzeciego można rozłożyć na macierze trójkątne H^T i G

Macierze H^T i G wyznaczane są z definicji mnożenia macierzy przy założeniu elementów oporowych.

• Macierz prostokątną poziomą A n < m można rozłożyć na trójkątną H^T i trapezową G

• Macierz symetryczną można rozłożyć na iloczyn macierzy, z których jedna jest transpozą drugiej

Przykład 1.1. Macierz A o wymiarach n=2 oraz m=2 rozłożyć na macierze trójkątne H^T i G

a₁₁=h₁₁ ⋅ 1 → h₁₁=4

a₁₂=4 ⋅ g₁₂ → g₁₂=4

1.3. Odwrotność macierzy. Wyznaczanie macierzy odwrotnej za pomocą kofaktorów

Jeżeli macierz kwadratowa A o wymiarach n×n jest nieosobliwa tj. det(A)≠0, to istnieje jedna macierz odwrotna

przy czym kofaktorem k_ij elementu a_ij wyznacznika det(A) nazywane jest wyrażenie

gdzie i - numer wiersz, j - numer kolumny. Wartości minorów M_ij wyznacznika det(A) obliczane są jako podwyznaczniki utworzone z pozostałych elementów wyznacznika det(A) po wykreśleniu i-tego wiersza oraz j-tej kolumny

Przykład 1.2. Wyznaczyć odwrotność macierzy A za pomocą macierzy kofaktorów.

Podwyznaczniki - wartości minorów M_ij wyznacznika det(A) utworzone po wykreśleniu i-tego wiersza oraz j-tej kolumny

Det(A) = 9×8×42 + 6×10×3 + 3×6×10 - 3×8×3 - 9×10×10 - 6×6×42

Det(A) = 900

1.4. Rozwiązywanie układów równań liniowych

1.4.1. Metoda nieoznaczona; za pomocą odwrotności macierzy

Układ równań

zapisany macierzowo ma postać

Przykład 1.3. Zapisać macierzowo układ równań

W metodzie nieoznaczonej wykorzystuje się inwers macierzy powstały przy przekształceniu równania

/A^-1

A^-1⋅A⋅X = A^-1⋅L

Przykład 1.4. Rozwiązać układ równań metodą nieoznaczoną

Det(A) = 10

1.4.2. Metoda oznaczona; macierze H^T, G_L

Ze współczynników przy niewiadomych (macierz A) i wyrazów wolnych (wektor L) tworzymy macierz blokową B = [A;L], którą rozkładamy na macierz trójkątną H^T i trapezową G_L = [G;L_G].

Niewiadome- elementy wektora X - wyznaczamy rozwiązując układ równań

G⋅X = L_G

Przykład 1.5. Rozwiązać układ równań liniowych metodą oznaczoną rozkładając macierz B na macierz trójkątną H^T i trapezową G_L = [G;L_G]

4x + 2y = 8

2x + 4y = 13

Wyznacznik Det(A) = 16 - 6 = 10, macierz nie jest osobliwa, daje się więc rozłożyć na dwie macierze trójkątne

A L H^T G L_G

Zgodnie z wzorem G⋅X = L_G

Poprawność rozwiązania sprawdzamy podstawiając wyznaczone niewiadome do układu równań

4 ⋅ 0.5 + 2 ⋅ 3 = 8

2 ⋅ 0.5 + 4 ⋅ 3 = 13

1.4.3. Metoda oznaczona; macierze R^T, R_L

Gdy macierz A jest symetryczna, tworzymy macierz blokową B = [A;L], którą rozkładamy na macierz trójkątną R^T i trapezową R_L = [R;L_R].

Niewiadome X wyznaczamy rozwiązując zredukowany układ równań

Przykład 1.6. Rozwiązać układ równań

9x + 6y + 3z = 18

6x + 8y + 10z = 24

3x +10y +42z = 55

rozkładając macierz B na macierz trójkątną R^T i trapezową R_L=[R;L_R]. Det A≠ 0.

R X L_R

Kontrola obliczeń

9·1 + 6·1 + 3·1 = 18

6·1 + 8·1 + 10·1 = 24

3·1 +10·1 + 42·1 = 55

9

A H^T G

A H^T G

A H^T G

A H^T G

R X L_R

A L R^T R L_R

x₁ + 3x₂ - x₃ = -1

x₂ - x₃ = 0

x­₁ - 2x₃ = 1

G X L_G

A L R^T R L_R

A L H^T G L_G

---