Kolokwium poprawkowe z dynamiki

6 lutego 2009

1. Sformułuj i objaśnij zasadę zachowania krętu dla układu punktów materialnych.

Prędkość zmian krętu (względem punktu 0) układu punktów materialnych jest równa momentowi głównemu (względem punktu 0) układu sił zewnętrznych działających na rozpatrywany układ punktów

.

2. Czy płaskie pole sił [
,
] jest potencjalne? Jeżeli tak to wyznaczyć ten potencjał.

Odp.: TAK. Potencjałem jest funkcja
.

3. Prowadnica tworząca kąt
z poziomem obraca się wokół osi pionowej ze stałą prędkością kątową
. Znaleźć równanie ruchu punktu materialnego poruszającego się bez tarcia wzdłuż tej prowadnicy. Przyjąć początkową odległość punktu od osi obrotu
i prędkość początkową punktu równą zeru.

Odp.:
, gdzie
.

Uwaga: Na rysunkach prędkość względna i przyśpieszenie względne są skierowane wzdłuż osi Y, czego nie bardzo widać. Obliczenia. Z praw ruchu złożonego i kinematyki bryły obliczamy: prędkość względna: , prędkość unoszenia: , przyśpieszenie względne: , przyśpieszenie unoszenia: , przyśpieszenie Coriolisa: . Rzut przyśpieszenia bezwzględnego na Y: Rzut II PN na Y: . Stąd wynika różniczkowe równanie ruchu: . Jego rozwiązanie ogólne . Z warunków początkowych obliczamy: , oraz .

4. Sformułuj i objaśnij zasadę zachowani krętu bryły w ruchu kulistym.

Jeżeli A jest środkiem ruchu kulistego bryły to
, gdzie
jest tensorem momentów bezwładności bryły względem punktu A, natomiast
jest momentem głównym względem punktu A układu sił zewnętrznych działających na bryłę.

5. Prawidłowy jednorodny stożek o masie M, wysokości h i promieniu podstawy R toczy się bez poślizgu po poziomej płaszczyźnie ze stałą, co do wartości bezwzględnej prędkością kątowa
. Obliczyć moment główny oddziaływania płaszczyzny na stożek.

Odp.: Globalne składowe momentu reakcji płaszczyzny względem wierzchołka stożka wynoszą:

Obliczenia w lokalnym układzie współrzędnych, bo jego osie są głównymi osiami bezwładności stożka: Z warunków zadania wynika, że lokalne składowe wektora prędkości kątowej stożka wynoszą
;
;
.

Z twierdzenia o kręcie bryły (
) wynika

;
;

bo

;
.

Z warunków zadania wynika, że stożek porusza się ruchem kulistym wokół swego wierzchołka a linia kontaktu z płaszczyzną jest osią centralną chwilowego obrotu stożka. Z kinematyki ruchu kulistego wynika, że środek podstawy stożka A ma prędkość
, oraz
. Z drugiej strony środek postawy porusza się po okręgu ze stałą kątową prędkością (precesji)
. Stąd wynika
,
oraz
. Z taką samą prędkością kątową porusza się koniec wektora
. Zatem traktując wektor
jako wektor położenia swego końca mamy
.

Stąd
,
i
.

Z zasady zachowania krętu w ruchu kulistym wynika
, gdzie
jest momentem wszystkich siła działających na stożek względem jego wierzchołka. Z drugiej strony
, gdzie
jest momentem ciężaru stożka a
momentem reakcji płaszczyzny. Zatem

,
i
bo

,
i
.

6. Sformułuj i objaśnij twierdzenie o energii kinetycznej bryły w ruchu kulistym.

Jeżeli A jest środkiem ruchu kulistego bryły to

gdzie
jest wektorem prędkości kątowej bryły a

jest nazywane momentem bezwładności bryły względem osi równoległej do
i przechodzącej przez punkt A.

7. Jednorodna kula o masie M i promieniu r wtacza się bez poślizgu na pochylnię. Na jaką wysokość wtoczy się kula, jeżeli prędkość początkowa środka jej masy wynosi
?

Odp.:
.

Obliczenia: Z kinematyki toczenia się bez poślizgu wynika, że prędkość kątowa walca wynosi
. Z twierdzenia o energii kinetycznej bryły wynika, że
, gdzie
jest momentem bezwładności walca względem osi symetrii. Zatem
. Z zasady zachowania energii
obliczamy
.

8. Prawidłowy jednorodny stożek o masie M, wysokości h i promieniu podstawy R toczy się bez poślizgu po poziomej płaszczyźnie ze stałą, co do wartości bezwzględnej prędkością kątowa
. Obliczyć energię kinetyczna stożka.

Odp.: . Obliczenia: Z twierdzenia o energii kinetycznej bryły ( ) wynika bo , ; .

9. Obliczyć główne centralne momenty bezwładności jednorodnego czworościanu.

Odp.:
, gdzie
.

Obliczenia: Ze względu na znaczną liczbę płaszczyzn symetrii i ich urozmaiconą orientację, każda oś centralna jest główną osią bezwładności. Wystarcza zatem obliczyć moment bezwładności względem osi z. Wysokość czworościanu wynosi . Przekrój czworościanu płaszczyzną z=const jest trójkątem równobocznym o boku i wysokości . Szerokość trójkąta na wysokości y=const wynosi . Iterowanie odpowiednich całek daje: ,

Wzory: Główne centralne momenty bezwładności dla kuli o promieniu R: ; . Główne momenty bezwładności względem wierzchołka stożka kołowego o promieniu i wysokości : ; ; . Środek ciężkości dzieli wysokość w proporcji 3:1.

---