Def.Jeżeli spełniony jest warunek ∃e∈A ∀a∈A e#a=a#e=a to element e nazywamy elementem neutralnym, a półgrupę - unitarną.

Def.Półgrupę unitarną komutatywną, w której każdy element ma element symetr., tzn. ∀A ∃a'∈A a#a'=a'#a=e nazyw. grupą abelową.

Def.Trójką (A,#,°)[gdzie #,°-dwa działania wewnętrzne w niepustym zbiorze A] spełniającą warunki:1.para (A,#)- jest grupą abelową

2.para (A,°)- jest półgrupą 3. działanie „°” jest dystrybutywne ( rozdzielne ) względem działania „#” tzn. ∀a,b,c∈A (a#b)°c=(a°c)#(b°c) c°(a#b)=(c°a)#(c°b) nazywamy pierścieniem.

Def. ciała Pierścień całkowity, w którym każdy element niezerowy ma element symetryczny (względem drugiego działania) nazywamy ciałem. Elementy ciała nazywamy liczbami albo skalarami.

Def. przestrzeni wektorowej Niech V=(A,+) [będzie grupą abelową], K dowolnym ciałem zaś S:K×V→V odwzorowaniem, które parze elementów (α,V)∈ K×V będziemy oznaczać S(α,V)=αV. Trójkę (V,K,S), która spełnia warunki:1.∀α∈K ∀a,b,c∈V α(a+b)=αa+αb 2.∀α,β∈K ∀a∈V (α+β)a=αa+βa

3.∀α,β∈K ∀a∈V (αβ)a=α(βa) 4.∀a∈V 1a=a - nazywamy przestrzenią liniową, przestrzenią wektorową nad ciałem K i oznaczamy symbolem V(K). Elementy grupy V nazywamy wektorami, a odwzorowanie S, mnożeniem skalarów przez wektory.

Def.Kombinacją liniową n wektorów a
,a
,...,a
z przestrzeni wektorowej [∈V(K)] o współczynnikach
nazywamy element przestrzeni V postaci
.

Def.Bazą przestrzeni liniowej V(K) nazywamy niepusty jej podzbiór, którego wektory e
są liniowo niezależne, przy czym każdy wektor V da się przedstawić w postaci kombinacji liniowej wektorów bazy. Ilość elementów w bazie nazywamy wymiarem przestrzeni i ozn. symbolem dimV. ∀∋a=
- rozkład wektora w bazie {e
}

Liczby zespolone. Jeżeli liczby zesp. z i z' są różne od zera, a ϕ
i ϕ
są dowolnymi argumentami tych liczb, to suma ϕ
+ϕ
jest arg. iloczynu zz' zaś różnica ϕ
-ϕ
jest argument. ilorazu

Tw.(wzory Moivre'a) Jeżeli liczba zespolona z jest różna od zera, a ϕ jest jej dowolnym argumentem, to liczba rzeczywista nϕ , gdzie n∈N , jest argumentem liczby z
.(cosϕ+isinϕ)
=cosnϕ+isinnϕ z
=|z|
( cosnϕ+isinnϕ)

Tw.Jeżeli z≠0 i z=|z|(cosϕ+isinϕ), to
jest zbiorem n-elementow. postaci:
=
; k=0,1,2,...,n-1

Def.Wektory a
,a
,...,a
∈V(K) są liniowo zależne ⇔ gdy przynajmniej jeden z nich da się przedstawić jako kombinacja liniowa pozostałych.Dowód:

Wektory a
,a
,...,a
są liniowo zależne ⇒
ale istnieje α
≠0 ⇒
=
⇒
⇐

wynika, że jeden z wektorów da się przedstawić jako kombinacja pozostałych.⇐
⇒
. Kombinacja jest nietrywialna ponieważ β
=-1≠0, czyli wektory są liniowo zależne.

Tw.Macierz A ma macierz odwrotną ⇔ gdy jest macierzą nieosobliwą.

Dowód: ⇒istnieje A
⇒AA
=A
A=E⇒(twierdzenie Cauchy'ego) det (AA
)=detE=1 (detA)(detA
)=1⇒detA≠0⇒A jest nieosobliwa

⇐ A jest nieosobliwa ⇒ detA≠0⇒można zdefiniować B=
A
AB=A=
A
=
AA
. Wniosek 3 z tw Laplace'a mówi, że
AA
=
(detA)*E=E BA=
A
A=
(detA)*E=E

Macierz B jest macierzą odwrotną do macierzy A.

Tw. Cramera.Jeżeli macierz podstawowa A układu n równań z n niewiadomymi jest macierzą nieosobliwą, to istnieje dokładnie jedno rozwiązanie układu równań

dane wzorami:
;i=1,...,n lub x=A
b

Dowód:detA
=det(a
,...,a
,b,a
,...,a
)=det(a
,...,a
,x
a
+x
a
+...+x
a
,a
,...,a
)=
det(a
,a
,...,a
,a
,a
,...,a
)+x
det(a
, a
, ...,a
,a
,a
,...,a
)+..+x
det(a
,a
,...,a
,a
,a
,...,a
)+ x
det(a
,a
,...,a
,a
,a
,...,a
) detA
=x
detA⇒ x
=
bo

detA≠0 . Wniosek: Jednorodny układ Cramerowski ma tylko rozwiązanie zerowe.

Tw.Kroneckera-Capelliego. Ukłąd równań liniowych Ax=B posiada co najmniej jedno rozwiązanie ⇔r(A)=r(A
). Dowód:Układ (
) jest rozwiązaniem

⇔
=b ⇔ b∈L( a
,a
,...,a
) ⇔L(a
,a
,...,a
)= L(a
,a
,...,a
,b) ⇔dimL(a
...a
)=dimL(a
...a
,b) ⇔r(A)=r(A
)

Podsumowanie: 1.r(A)=r(A
)=n-ilość niewiadomych-jedno rozwiązanie

2. r(A)=r(A
)=k<n-nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od n-k parametrów.

3. r(A)≠r(A
)-układ sprzeczny-brak rozwiązań

Def. iloczynu skalarnego. Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem R, odwzorowanie g: V
→R spełniające warunki:

1.∀x,y,z∈V g(x+y,z)=g(x,z)+g(y,z) g(x,y+z)=g(x,y)+g(x,z)

2.∀x,y,z∈V ∀λ∈R g(λx,y)=g(x,λy)=λg(x,y) - odwzorowanie jest liniowe

3.∀(x,y)∈V g(x,y)=g(y,x)

4.∀x≠0 g(x,x)>0 nazywamy mnożeniem skalarnym w przestrzeni V, a wartość

tego odwzorowania na wektorach (
) nazywamy iloczynem skalarnym tych wektorów x°y=|
| |
| cosϕ . Przestrzeń liniowa, w której wprowadzono

iloczyn skalarny nosi nazwę przestrzeni unitarnej.

Własności iloczynu skalarnego: 1.∀x,y∈V |x+y|≤|x|+|y| - nierówność Minkowskiego. 2.∀x,y∈V |x*y|≤|x|*|y| - nierówność Coshy-Buniakowskiego.

Dowód: λ∈R (λx+y)(λx+y)=λ
x
+2λxy+y
≥0 dla każdego x

Δ≤0 Δ=(2x°y)
-4x
y
=4((x°y)
- x
y
)≤0 (x°y)
≤ x
y
|x°y|≤|x| |y|

3.
4.
, α∈R 5.

Def. iloczynu wektorowego. Mnożeniem wektorowym w R
nazywamy odwzorowanie f:R
×R
→R
spełniające warunki: 1.∀a,b∈R
a×b=-b×a

2.∀a,b,c∈R
a×(b+c)=a×b+a×c (a+b)×c=a×c+b×c

3.∀λR∈ ∀a,b∈R
(λa)×b=a×(λb)=λ(a×b) 4.

Własności: 1.Jeśli wektory a,b są kolinearne to
∃λ∈R b=λa

ale z war.1.

2. Wektory a i b są ortogonalne do wektorów a×b

Iloczyn mieszany Iloczynem mieszanym uporządkowanej trójki wektorów a,b,c nazywamy liczbę określoną wzorem: abc=a°(b×c). Własności:

1.
2.Trzy niezerowe wektory a,b,c są współpłaszczyznowe (komplementarne) jeśli abc=0 3. Jeśli a,b,c∈R
a,b,c=det(a,b,c)

4.det(a,b,c) jest równy objętości równoległościanu rozpiętego na wektorach a,b,c

Macierze i wyznaczniki Definicja macierzy

Macierzą wymiaru m×n nazywamy wartość odwzorowania, którego dziedziną jest iloczyn kartezjański {1,2,...,m}×{1,2,...,n} a wartości są z pewnego zbioru (ciała) K : {1,2,...,m}×{1,2,...,n}→a
∈K

Def.Wyznacznikiem macierzy kwadratowej A
nazywamy wartość odwzorowania det:
zbioru macierzy stopnia n, które spełnia warunki : 1.jednorodność
∀λ∈K

det(a
,...,λa
,...,a
)=λ(a
,...,a
,...a
) 2.addytywność
det
=det
+det

3.
det
=-det

4.detE=det
=1 E- macierz jednostkowa

Własności:1.detA=detA
wszystkie własności sformułowane dla kolumn są prawdziwe dla wierszy.2.det(0
)=0 z własności 1.

3.Pomnożyć wyznacznik przez liczbę, znaczy pomnożyć 1 kolumnę macierzy przez tę liczbę.4.Zamiana miejscami dwóch kolumn macierzy powoduje zmianę znaku wyznacznika.5.Macierz o dwóch identycznych kolumnach ma wyznacznik równy 0 lub macierz o dwóch kolumnach proporcjonalnych ma wyznacznik równy zero.

det
=-det
detA=0 6.Macierz o

kolumnie zerowej ma wyznacznik równy 0 det
=det
= det
+(-1)det
=0 7.Jeżeli w

macierzy jedna kolumna jest kombinacją liniową pozostałych kolumn, to wyznacznik macierzy równa się zero det
=

det
+det
+...+det
=0

8.Wyznacznik macierzy nie zmieni wartości, Jeśli do jego dowolnej kolumny dodamy kombinację liniową pozostałych.

9.Wyznacznik macierzy jest równy 0⇔, gdy kolumny tej macierzy są liniowo zależne. 10.(twierdzenie Cauchy'ego)-Wyznacznik iloczynu macierzy równy jest iloczynowi wyznaczników macierzy. det(A*B)=(detA)*(detB) jeśli AB#BA det(AB)=det(BA)

Def. minoraMinorem M
elementu a
macierzy A nazywamy wyznacznik macierzy, którą otrzymamy usuwając z macierzy A i-ty wiersz i j-tą kolumnę.

Def.Dopełnieniem algebraicznym A
elementu a
macierzy A nazywamy liczbę określoną wzorem A
:=(-1)
M

Def.Macierz kwadrat. A nazywamy macierzą nieosobliwą jeśli jej wyzn. jest różny od 0; jeśli detA=0, to A nazywamy macierzą osobli.

Def.Jeżeli macierze A,B∈
oraz AB=BA=E to macierz B

nazywamy odwrotną do macierzy A i oznaczamy ją symbolem A
.

Def.Niech U i V będą przestrzeniami liniowymi nad tym samym ciałem K. Odwzorowanie f:U→V spełniające warunki:

1.∀a,b∈U f(a+b)=f(a)+f(b) - addytywność odwzorowania

2.∀λ∈K ∀a∈U :f(λa)=λf(a) - jednorodność odwzorowania - nazywamy przekształceniem liniowym przestrzeni U w V

(1.i 2.)⇔ ∀λ
,λ
∈K ∀a,b∈U f(λ
a+λ
b)=λ
f(a)+λ
f(b)

Jeśli V=R to przekształcenie nazywamy formą liniową. F(U) podprzestrzeń liniowa przestrzeni V.

Def. rzędu macierzy.Rzędem niezerowej macierzyA=( a
,a
,... ,a
) nazywamy ilość liniowo niezależnych wierszy bądź kolumn tych macierzy.Uwaga 1: Rzęd.macierzy A nazyw. największy stopień jej minora różnego od 0.Uwaga 2: DimL=( a
,a
,...,a
)=r(A)

Własności rzędu macierzy:1.r(A)=0⇔ A=0 2.r(A)=r(A
)

3.r(A)≤min(m,n) jeśli A∈

4.Rząd macierzy nie zmieni się jeśli dokonamy na kolumnach tej macierzy operacji, które nie zmienią wartości wyznacznika. W szczególności rząd macierzy nie zmieni się jeśli usuniemy z niej kolumnę zerową, lub z dwóch kolumn proporcjonaln. usuniemy jedną.