dr inż. Krzysztof Chodnikiewicz Rok akademicki: 2010 - 2011

1. DYNAMIKA NAPĘDU ELEKTYCZNEGO

Spis treści

1.1. Co to jest równanie ruchu i kiedy warto lub należy się nim zajmować?

1.2. Przykłady równań ruchu

1.3. Masowy moment bezwładności

1.4. Równanie ruchu układu napędowego, w którym J ≠ const

1.5. Redukcja momentów sił oraz momentu bezwładności do wybranego elementu układu

napędowego

1.6. Człony M₀ oraz M_e występujące w równaniu ruchu układu napędowego

1.7. Równanie ruchu - statyczna charakterystyka silnika

1.8. Stabilny i niestabilny punkt pracy układu napędowego

1.9. Wstępne uwagi dotyczące układów o więcej niż jeden stopniach swobody

1.10. Model układu napędowego ze sprzęgłem ciernym

1.11. Model układu napędowego uwzględniający odkształcenia sprężyste wałów

12. Dynamiczna charakterystyka silnika napędowego

1.1. Co to jest równanie ruchu i kiedy warto się nim zajmować?

Równanie ruchu jest równanie różniczkowe (lub układ takich równań) wynikające z drugiej zasady dynamiki Newtona. W najprostszym przypadku ruchu prostoliniowego punktu materialnego o stałej masie m, na który działa siła F, równanie ruchu ma postać

lub

gdzie symbol x oznacza przemieszczenie zaś symbol v - prędkość.

W przypadku ruchu obrotowego ciała o stałym masowym momencie bezwładności J, równaniem ruchu jest

lub

gdzie M - moment obrotowy działający na obracające się ciało, α - kąt obrotu, ω - prędkość kątowa. W zagadnieniach dotyczących napędu elektrycznego najczęściej rozpatruje się równania ruchu obrotowego. Efektywne rozwiązanie równania różniczkowego, a więc i równania ruchu, wymaga znajomości warunków początkowych.

Równanie:	Warunki początkowe	Rozwiązaniem równania jest funkcja:
	i dla chwili początkowej t = t0	opisująca zależność przemieszczenia od czasu
	v = dla chwili początkowej t = t0	opisująca zależność prędkości liniowej od czasu
	i dla chwili początkowej t = t0	opisująca zależność kąta obrotu od czasu
	dla chwili początkowej t = t0	opisująca zależność prędkości kątowej od czasu
Uwaga: Bez wiedzy jakie funkcje kryją się pod symbolami F i M, powyższych równań rozwiązać nie można.

Równaniami ruchu są także równania opisujące drgania mechaniczne. Przykładowo, równaniem ruchu jest równanie różniczkowe zwyczajne opisujące drgania swobodne punktu materialnego o masie m zawieszonego na sprężynie o sztywności k

Równanie drgań wzdłużnych pręta prostego o stałym przekroju ma postać

gdzie E,
- odpowiednio moduł sprężystości podłużnej oraz gęstość materiału pręta, u - przemieszczenie osiowe przekroju pręta. Jest to równanie różniczkowe cząstkowe; można je też uważać za równanie ruchu.

W celu uzyskania odpowiedzi na pytanie: „Kiedy warto lub należy rozpatrywać równanie ruchu?” rozważmy równanie
, zakładając, że F = 0. Dzięki temu założeniu równanie przyjmuje postać
. Całkując otrzymuje się
, gdzie C jest stałą. Wyznaczenie stałej C wymaga znajomości prędkości v₀ w chwili t₀. Z podstawienia wynika
, czyli, że jeżeli F = 0, to v = v₀, a więc ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym. Jest to rozwiązanie zgodne z Pierwszą Zasadą Dynamiki Newtona. Jest ono niezbyt „interesujące”, ale można je uznać za pośrednia odpowiedź na postawione wyżej pytanie. Otóż, interesującego rozwiązania równania ruchu można oczekiwać gdy F ≠ 0 (lub M ≠ 0), gdyż w takim przypadku mamy do czynienia z ruchem nieustalonym.

1.2. Przykłady równań ruchu

Wyprowadźmy równanie układu pokazanego na rys.1.2.1: wózek o masie m podparty jest sprężyną o sztywności k. Na wózek działa siła F. Tarcie pomiędzy wózkiem i podłożem pomijamy. Pierwszym krokiem jest przyjęcie dodatniego zwrotu osi x, wzdłuż której porusza się wózek, oraz wybór początku tej osi, czyli punktu, w którym x = 0. Wybór ten jest całkowicie dowolny, ale - raz przyjęty - obowiązuje do końca rozważań. Załóżmy, że dodatni zwrot osi x jest skierowany w prawo i że punkt x = 0 odpowiada takiemu położeniu wózka, w którym siła sprężyny jest równa zero. Należy z naciskiem podkreślić, że dodatni zwrot osi x determinuje

dodatni zwrot prędkości
oraz dodatni zwrot przyspieszenia
. Wynika to stąd, że uznajemy, że różniczka dt > 0. Z fizyki wiadomo, że siła bezwładności,
, jest skierowana przeciwnie do dodatniego zwrotu przyspieszenia. Z tego powodu strzałka obrazująca tę siłę jest na rys.1.1 skierowana w lewo. Nadajmy myślowo wózkowi dodatnie przemieszczenie x. Strzałka obrazująca siłę oddziaływania sprężyny kx jest skierowana przeciwnie do przemieszczenia x, czyli też w lewo. Patrząc na blokowe strzałki na rys.1.1, można powiedzieć, że równanie ruchu wózka zostało ”narysowane”. Pozostaje je napisać:

Informacje zawarte w tym równaniu nie wystarczają do jego rozwiązania. Brakuje zarówno informacji dotyczących k i F, a także warunków początkowych. Przecież k, F mogą być w jednym przypadku wielkościami stałymi, w innym - zmiennymi, a od tego zależy konkretna postać równania. Do jego rozwiązania konieczna jest znajomość warunków początkowych, które określają położenie x = x₀ i prędkość wózka dx/dt=v₀ w chwili t₀ przyjętej za początkową.

W analogiczny sposób można wyprowadzić równanie ruchu obrotowego (rys.1.2.2). Niech na element, który może się obracać, a którego masowy moment bezwładności wynosi J, działa czynny (powodujący ruch) moment obrotowy M_e oraz bierny moment obrotowy M₀.

Pierwszy krok prowadzący do wyprowadzenia równania ruchu jest taki sam jak w przypadku ruchu postępowego. Należy przyjąć dodatni zwrot osi α oraz położenie kątowe obracającego się elementu, które odpowiada α = 0. Analogicznie do ruchu postępowego, moment dynamiczny J·d²α/dt² ma zwrot przeciwny do dodatniego zwrotu przyspieszenia kątowego d²α/dt², moment M_e ma zwrot zgodny ze zwrotem przyspieszenia, moment M₀ - zwrot przeciwny. Patrząc na rysunek można napisać

(1.7)

Warunki początkowe mają postać

(1.8)

Tak jak i poprzednio należy zdefiniować M_e oraz M₀.

1.3. Masowy moment bezwładności

Jak już wiadomo, w równaniach ruchu obrotowego występuje masowy moment bezwładności. Warto przypomnieć podstawowe wiadomości dotyczące tego momentu. (W dalszym tekście słowo „masowy” będzie pomijane. Nie powinno to spowodować nieporozumień; wykład dotyczy bowiem napędu a nie wytrzymałości materiałów).

Moment bezwładności J punktu materialnego o masie m względem osi 0 - 0 (rys.1.3.1)

wyraża się wzorem

gdzie r jest odległością punktu materialnego od osi O - O.

Moment bezwładności bryły

Przykład

Obliczyć moment bezwładności walca o promieniu R i długości l względem jego osi symetrii; walec jest wykonany z materiału o gęstości ρ (Rys.1.3.2).

Poniżej podano wzory, na podstawie których można wyznaczyć momenty bezwładności cienkiego pręta (Rys.1.3.3a), prostopadłościanu (Rys.1.3.3b) i kuli (Rys.1.3.3c).

Cienki pręt:

Prostopadłościan:

Kula:

Twierdzenie Steinera (patrz wzór poniżej) umożliwia obliczenie momentu bezwładności względem osi równoległej do tej, względem której znany jest moment bezwładności; znana musi też być odległość d pomiędzy osiami

Warto zwrócić uwagę, że obliczenia najkorzystniej jest wykonywać w układzie SI (kg, m, s). Jest to najbezpieczniejszy sposób prowadzenia obliczeń, taki, w którym nie trzeba stosować żadnych współczynników liczbowych.

Momenty bezwładności brył o złożonych kształtach oblicza się dzieląc te bryły na elementy składowe i dodając (lub odejmując) momenty bezwładności tychże elementów.

Momenty bezwładności wirników silników elektrycznych podawane są zazwyczaj w katalogach firm, które te silniki produkują. Jednak niekiedy, szczególnie w starszych katalogach, podawana jest wartość oznaczana GD², którą można zamienić na moment bezwładności przeprowadzając następujące przeliczenie

gdzie r_z jest promieniem zastępczym, tak dobranym, że
.

1.4. Równanie ruchu układu napędowego, w którym J ≠ const

Rozpatrzmy układ złożony z silnika S i maszyny roboczej MR. Schemat układu pokazano na rys.1.4.1a.

Silnik przekazuje do maszyny energię E_e, która zamienia się na energię kinetyczną E_k i pracę L_U (rys.1.4.1b). Z zasady zachowania energii wynika

Energię E_e i pracę L_U można określić zależnościami

,

czyli

Podane powyżej równanie wyrażające zasadę zachowania energii można więc napisać w postaci

A zamiast P_e i P_u napisać

gdzie M_e jest momentem silnika, zaś M₀ - momentem oporowym maszyny roboczej. Moment M₀ „zawiera w sobie” zarówno moment użyteczny (z punktu działania maszyny) jak i moment oporowy, wynikający najczęściej z tarcia. Po podstawieniu

Różniczkując względem czasu

Powyższe równanie można również napisać w postaci

Jeżeli J = const, to powyższe równanie upraszcza się do znanej już postaci

1.5. Redukcja momentów sił oraz momentu bezwładności do wybranego elementu układu napędowego

Schemat układu napędowego przedstawiony na rys.1.4.1a jest bardzo prosty i wygodny do analizy. Jednak rzeczywiste układy mają budowę bardziej skomplikowaną. W układach rzeczywistych jest często wiele wałów, stosowane są przekładnie, sprzęgła, dźwignie, itd. Korzystnym sposobem uproszczenia schematu skomplikowanego układu jest „chwyt” polegający na redukcji (sprowadzeniu) elementów układu napędowego do wału silnika elektrycznego. Zasady redukcji najłatwiej jest poznać na przykładach. Rozpatrzmy układ napędowy (rys.1.5.1a), w którym pomiędzy silnikiem S i maszyną roboczą MR znajduje się przekładnia zębata. Chodzi o to, aby zamiast schematu pokazanego na rys.1.5.1a rozpatrywać schemat zastępczy pokazany na rys.1.5.1b. Należy więc zastąpić wszystkie momenty bezwładności momentem zastępczym J_Z związanym z wałem silnika, zaś moment oporowy

maszyny roboczej M₀ momentem oporowym zastępczym M_Z przyłożonym do wału silnika. Redukując momenty bezwładności wymaga się, aby energia kinetyczna układu pokazanego na rys.1.5.1b była równa energii kinetycznej układu pokazanego na rysunku rys.1.5.1a. W przypadku redukcji momentów obrotowych, wymaga się natomiast aby moc związana z momentem zastępowanym była równa mocy związanej z momentem zastępczym. W przypadku układu pokazanego na rys 1.5.1a, nazwanego „oryginalnym”, energia kinetyczna wynosi

natomiast energia kinetyczna układu zastępczego (rys.1.5.1b) jest równa

Z warunku, że energie te mają być takie same, otrzymuje się zastępczy moment bezwładności

Moc na wale maszyny roboczej, związana z zastępowanym momentem obrotowym jest równa

zaś moc na wale silnika, związana z zastępczym momentem oporowym wynosi

Ponieważ moce te mają być równe sobie, więc zastępczy moment oporowy jest określony zależnością

Zauważmy, że przy wyprowadzaniu powyższego wzoru milcząco założono, że sprawność przekładni zębatej jest równa jedności. Nie odpowiada to rzeczywistości. Uwzględniając sprawność przekładni zębatej, η, zastępczy moment oporowy należy napisać w postaci

Wiedząc już jak wyrazić zastępczy moment bezwładności oraz zastępcze momenty oporowe, można napisać równanie ruchu dla układu pokazanego na rys. 1.5.1 w postaci

Warto omówić redukcję do wału silnika mas elementów poruszających się ruchem postępowym oraz redukcję sił działających na takie elementy. W tym celu rozpatrzmy typowy układ napędowy pokazany na rys.1.5.2. Silnik napędza śrubę poprzez przekładnię zębatą, zaś śruba - suwak o masie m, na który działa siła F. Metoda obliczenia zastępczego momentu bezwładności pozostaje bez zmian.

Energia kinetyczna układu oryginalnego (rys.1.5.2a)

gdzie v oznacza prędkość suwaka. Zastępczy moment bezwładności jest równy

gdzie symbolem h oznaczono skok gwintu śruby.

Moment obrotowy (na śrubie) spowodowany działaniem siły F wynosi

gdzie d jest średnicą podziałową gwintu, γ - kątem pochylenia linii śrubowej

zaś ρ - kątem tarcia obliczanym na podstawie współczynnika tarcia

Moc na śrubie

Musi równać się mocy na wale silnika, czyli

Z tej zależności można łatwo obliczyć zredukowany do osi silnika moment obrotowy spowodowany działaniem siły F.

1.6. Człony M₀ oraz M_e występujące w równaniu ruchu układu napędowego

Symbol M₀ występujący w równaniu ruchu

oznacza moment oporowy maszyny roboczej, który składa się z momentu użytecznego (potrzebnego do wykonania procesu technologicznego) oraz momentu tarcia w maszynie roboczej oraz w silniku. Typowe charakterystyki maszyn roboczych pokazano w sposób

jakościowy na rys.1.6.1. Linia 1 odpowiada maszynom, w których moment oporowy jest stały, tzn. pompom o stałej wydajności, maszynom wyciągowym, walcarkom, itp. Linia 2 charakteryzuje wentylatory, pompy odśrodkowe i inne maszyny, w których opory ruchu są wprost proporcjonalne do kwadratu prędkości obrotowej. Linia 3 odpowiada - przykładowo - urządzeniom odwijającym, w których jest zachowana stała siła naciągu oraz stała prędkość liniowa taśmy lub drutu; maszyny takie są stosowane, między innymi, w przemyśle papierniczym.

Wyróżnia się bierne i czynne momenty (siły) oporowe. Momenty (siły) oporowe bierne są związane z wykonywaniem procesu technologicznego i pokonywaniem tarcia. Mówiąc inaczej: praca momentu (siły) oporowego biernego jest pracą użyteczną lub pracą tarcia. Moment (siła) oporowy bierny ma zawsze zwrot przeciwny do zwrotu prędkości. Obrazują to na rys.1.6.2 linie A1 i A2.

Czynny moment (siła) oporowy jest niezależny od zwrotu prędkości. Obrazuje to linia B na rys.1.6.2. W przypadku czynnego momentu (siły) oporowego należy wyróżnić dwie sytuacje, które łatwo wyjaśnić na przykładzie windy. Jeżeli winda porusza się do góry, to moment oporowy przeciwdziała ruchowi. Jeżeli natomiast winda zjeżdża w dół, to moment oporowy staje się momentem czynnym i „pomaga” temu ruchowi; silnik może w tym przypadku oddawać energię do źródła. Innym przykładem jest siła spowodowana odkształceniem sprężystym elementu maszyny. W obydwu tych przypadkach mamy do czynienia z energią potencjalną. W przypadku windy - z energią potencjalną związaną z polem grawitacyjnym, w przypadku elementu maszyny - z energią potencjalną odkształceń sprężystych, która jest najpierw akumulowana, a następnie może być oddana.

Dyskusję na temat członu M_e występującego w równaniu ruchu układu napędowego należy rozpocząć od rozróżnienia statycznych i dynamicznych charakterystyk silnika elektrycznego. Charakterystyka statyczna silnika to taka, którą uzyskano na hamowni zmieniając bardzo wolno obciążenie silnika. „Bardzo wolno” oznacza, że zmiana obciążenia nie powoduje ani momentów dynamicznych, ani procesów przejściowych w silniku. Każdy silnik określonego typu ma inną charakterystykę statyczną, która jest także nazywana charakterystyką mechaniczną. Jako przykład rozpatrzmy, charakterystykę statyczną silnika indukcyjnego, którą pokazano schematycznie na rys.1.6.3. Charakterystykę tę w przybliżeniu opisuje tzw.

wzór Klossa

gdzie s oznacza poślizg silnika, równy

- prędkość kątowa,

- prędkość kątowa synchroniczna.

Symbole ω_k , s_k , M_k oznaczają kolejno: krytyczną prędkość kątową, krytyczny poślizg i krytyczny (maksymalny) moment silnika. Poślizg krytyczny można obliczyć ze wzoru

gdzie M_n oznacza moment znamionowy. Dla poślizgów znacznie mniejszych od poślizgu krytycznego zachodzi zależność s_k/s >>s/s_k , dzięki czemu wzór Klossa można napisać w postaci

.

Wykonując stosowane przekształcenia otrzymuje się

oraz

Charakterystyka statyczna silnika innego niż indukcyjny ma oczywiście odmienną postać, jednak jest to zawsze zależność wiążąca moment M_e z prędkością kątową silnika.

1.7. Równanie ruchu - statyczna charakterystyka silnika

Rozpatrzmy najpierw najprostszy przypadek równania ruchu, który odpowiada założeniu, że obydwa momenty, M_e i M₀, mają wartości stałe. Zastosujmy to założenie do oszacowania czasu rozruchu silnika indukcyjnego. Przyjmijmy, że moment M₀ jest znany i mniejszy od momentu rozruchowego M_r (rys.1.6.3). W czasie rozruchu prędkość kątowa wzrasta od
do
, gdzie
oznacza prędkość ruchu ustalonego, czyli sytuację, w której M_e = M₀. Korzystając z charakterystyki silnika można powiedzieć, że rozruch rozpoczyna się od punktu (0, M_r) i kończy w punkcie (
, M₀). Przyjmijmy upraszczając, że w czasie rozruchu moment silnika wynosi

.

Równanie ruchu przyjmuje postać

Zauważmy, że powyższe równanie opisuje ono ruch obrotowy jednostajnie przyspieszony i mogłoby być rozwiązane sposobem znanym ze szkoły średniej. My rozwiążemy to równanie nieco „mądrzej” pisząc

gdzie C jest stałą, która należy obliczyć z warunku początkowego: dla t = 0 jest ω = 0. Uzyskuje się

Rozruch, którego czas wynosi t_r , kończy się gdy prędkość osiągnie wartość
. Stąd wynika czas rozruchu

Uzyskanemu rozwiązaniu można zarzucić, że w rzeczywistości moment silnika nie jest stały, a więc przyspieszenie też nie jest stałe. Rozwiązanie to ma jednak ogromną zaletę. Jest ono proste, a w technice bardzo często przedkłada się prostotę rozwiązania nad jego dokładność.

Obecnie zastosujmy znaną już zależność

opisującą charakterystykę silnika indukcyjnego dla małych poślizgów, do odpowiedzi na następujące pytania: (a) jak zmienia się prędkość silnika jeżeli moment obciążający zmieni się skokowo z M₀₁ na M₀₂? , (b) jak długo trwa zmiana prędkości? Zakładamy, że do chwili t = 0 silnik jest obciążony momentem M₀₁. Momentowi M₀₁ odpowiada prędkość kątowa

gdzie

Dla t > 0 równanie ruchu ma postać

czyli

Oznaczając

otrzymujemy równanie

(*)

w którym a i b są stałymi. Równanie uproszczone ma postać

a jego rozwiązaniem jest

Rozwiązanie szczególne
, przy czym D = const. Podstawiając do równania (*) otrzymuje się
, czyli rozwiązanie ogólne równania (*) ma postać

Korzystając z warunków początkowych (dla t = 0 jest ω = ω₁) otrzymuje się

i ostatecznie

Zauważmy, że gdy
, to
, co pozwala napisać rozwiązanie końcowe w postaci

Zauważmy, ze zależność określająca czas rozruchu została wyprowadzona przy założeniu, że moment silnika jest stały, natomiast zależność dotycząca skokowej zmiany momentu oporowego - przy założeniu, że moment silnika jest liniową funkcją poślizgu. Można byłoby zamiast tych założeń próbować wprowadzić do równania ruchu pełny wzór Klossa. Jednak w tym wzorze moment silnika jest nieliniową funkcja poślizgu, a więc nieliniową funkcją prędkości kątowej. Jest to poważne utrudnienie, gdyż równanie ruchu przestaje być równaniem liniowym. Większość równań nieliniowych nie ma rozwiązań, które można by było zapisać w postaci wzoru analitycznego. Nieliniowe równanie różniczkowe można zawsze rozwiązać numerycznie ale rozwiązanie numeryczne nie ma charakteru ogólnego; dotyczy konkretnego przypadku. Z tego powodu - jeżeli to tylko nie wpływa na istotę rozpatrywanych zjawisk - unika się założeń, które prowadzą do nieliniowych równań ruchu. Zalecenie to dotyczy nie tylko napędu elektrycznego.

1.8. Stabilny i niestabilny punkt pracy układu napędowego

Stabilny układ (niekoniecznie napędowy) to taki, w którym małe odchylenie od stanu, w którym on się znajduje, jest samoczynnie likwidowane i układ wraca do stanu wyjściowego. Bardzo często pojęcie stabilności wyjaśnia się rozpatrując zachowanie kulki na powierzchni wklęsłej (stabilne położenie kulki) oraz na powierzchni wypukłej (położenie niestabilne). Stabilność układu napędowego można natomiast wyjaśnić posługując się wykresami momentów (silnika M_e i oporowego M₀) w funkcji prędkości kątowej. Rozpatrzmy dwie różne sytuacje pokazane na rys.3.8.1 i przeanalizujmy odchylenia układu od punktu równowagi, czyli od punktu S (rys.3.8.la) przecięcia charakterystyk M_e(ω) i M₀(ω). Załóżmy że moment oporowy wzrósł o ΔM₀ . Zgodnie z charakterystyką M₀(ω), wzrostowi temu odpowiada wzrost prędkości kątowej. Powinien mu towarzyszyć wzrost momentu silnika M_e. Tak jednak nie jest, gdyż wraz ze wzrostem prędkości kątowej moment silnika zmniejsza się. Oznacza to, że w punkcie P układ napędowy nie może pracować i powróci do stabilnego punktu pracy S. Inaczej jest w sytuacji pokazanej na rys.3.8.1b. Jeżeli moment oporowy na chwilę by się zmniejszył, to układ powinien przejść do punktu R. Praca układu w tym punkcie nie jest jednak możliwa, ponieważ zwiększonej prędkości kątowej towarzyszy większy

moment silnika. Nadwyżka momentu silnika w porównaniu z momentem oporowym spowoduje wzrost obrotów i dalsze zmniejszenie momentu oporowego. Oznacza to, że punkt N jest niestabilnym punktem pracy silnika.

Z powyższego rozumowania wynika, że aby punkt pracy układu napędowego był stabilny, musi być spełniony warunek

.

Powyższy warunek pozwala stwierdzić, że w przypadku silnika indukcyjnego (rys.3.8.2) punkt S₁ jest punktem pracy stabilnej. Podobnie stabilnym punktem pracy jest punkt S₂ jednak w punkcie tym długotrwała praca silnika nie jest możliwa z uwagi na duży prąd płynący w uzwojeniach silnika, który spowodowałby niedopuszczalny wzrost temperatury tych uzwojeń.

Załóżmy teraz, że na silnik, pracujący stabilnie w punkcie S₁, zaczyna działać zwiększony moment oporowy jak to umownie pokazuje strzałka skierowana od punktu S₁ w górę. Silnik, odpowiadając spadkiem prędkości i zwiększeniem momentu, przechodzi do nowego punktu stabilnej pracy. Dzieje się tak aż do osiągnięcia momentu maksymalnego (krytycznego). Jeżeli moment oporowy nadal by wzrastał, to silnik by się po prostu zatrzymał. W powyższej analizie pominęliśmy nagrzewanie się silnika. W rzeczywistości silnik nie może długo pracować będąc obciążony momentem większym od momentu znamionowego (nominalnego).

1.9. Wstępne uwagi dotyczące układów o więcej niż jeden stopniach swobody

Rozpocznijmy od definicji: „Stopień swobody jest to liczba niezależnych zmiennych opisujących jednoznacznie stan modelu układu fizycznego.” Z definicji wynika, że wszystkie analizowane dotychczas modele układów miały jeden stopień swobody.

Stosując model o jednym stopniu swobody, nie można opisać wielu zjawisk zachodzących w układzie napędowym. Przykładami takich właśnie zjawisk są:

- proces włączania sprzęgła ciernego,

- drgania skrętne wałów,

- zjawiska zachodzące w silniku elektrycznym podczas rozruchu układu napędowego.

W wyżej wymienionych, i w wielu innych, przypadkach trzeba zastosować modele o większej liczbie stopni swobody. Zwiększenie liczby stopni swobody modelu wynika często z dążenia do większej dokładności opisu działania układu. Jednak zwiększając liczbę stopni swobody modelu należy zawsze wykazywać ostrożność; musimy być pewni, że znamy dostatecznie dokładnie wartości liczbowe parametrów występujących w równaniach. Mówiąc inaczej: bardziej skomplikowany model nie oznacza „automatycznie” dokładniejszych wyników analizy.

Pamiętając o powyższych uwagach, rozpatrzmy najpierw układ pokazany na rys.1.9.1. W skład układu wchodzą dwie masy: m₁ i m₂ połączone sprężyną k₂. Sprężyna k₁ łączy masę m₁ z nieruchomą ścianą.

Zachowanie układu będzie znane, jeżeli w każdej chwili znane będą położenia mas m₁ i m₂. Położenia te określone są dwoma współrzędnymi x₁ i x₂, co oznacza, ze układ ma dwa stopnie swobody. Na rys.1.9.1 narysowane zostały siły działające na obydwie masy. Chcąc uzyskać równania ruchu wystarczy zsumować „narysowane” siły i sumę przyrównać do zera.

Układ o dwóch stopniach swobody jest opisany układem dwóch równań różniczkowych i wymaga znajomości położeń i prędkości obydwu mas w chwili uznanej za początkową, czyli

Podobnie, dwa stopnie swobody ma układ pokazany na rys.1.9.2 składający się z dwóch obracających się elementów (1 i 2) połączonych elastycznym wałem. Niech elementy 1 i 2 cechują się momentami bezwładności J₁ i J₂. Wał łączący elementy ma sztywność kątowa k₁₂ (sztywność skrętna mierzona jest w Nm/rad). Odkształcenie sprężyste wału powoduje, że na elementy 1 i 2 działają momenty skręcające k₁₂(α₁-α₂). równe co do wartości bezwzględnej, lecz przeciwnie skierowane.

Na element 1 działa także moment M_S, zaś na element 2 - moment oporowy M₀₂. Stan układu wymaga znajomości dla dowolnej chwili t zarówno kąta obrotu α₁ elementu 1 jak i kąta obrotu α₂ elementu 2.

Trzy masy połączone elementami sprężystymi lub tłumiącymi maja trzy stopnie swobody, cztery masy - cztery, itd. Bryła (np. pręt, płyta, układ prętów, itp.) wykonana z rzeczywistego, sprężystego materiału ma nieskończenie wiele stopni swobody.

1.10. Model układu napędowego ze sprzęgłem ciernym

Rozpatrywać będziemy układ napędowy, w którym silnik napędza maszynę roboczą poprzez sprzęgło cierne, przykładowo takie jak na rys.1.10.1a. Schemat układu pokazano na rys. 1.10.1.b. Zakładamy, że przed włączeniem sprzęgła silnik i tak zwane czynne części sprzęgła

obracają się; części bierne są nieruchome. Przyjmijmy, że części bierne sprzęgła zostają dosunięte do części czynnych w chwili t = 0. Skutkiem dosunięcia, moment przenoszony przez sprzęgło wzrasta skokowo (rys.1.10.1c) od zera do M_sp. Skokowy wzrost momentu jest uproszczeniem, które ułatwia rozwiązanie równań ruchu. Schemat układu dla t > 0 pokazano na rys.1.10.1d. W czasie zasprzęglania układ jest opisany dwoma równaniami różniczkowymi. Pierwsze dotyczy obrotu elementów czynnych układu, równanie drugie - elementów biernych:

gdzie
, przy czym J_S jest momentem bezwładności wirnika silnika, a J_c - momentem bezwładności części czynnych sprzęgła; M_e - moment silnika, M_C0 - moment obrotowy wynikający z oporów ruchu części czynnych układu, M_b0 - moment obrotowy wynikający z oporów ruchu części biernych. Warunki początkowe mają następującą postać: dla t = 0 jest
oraz
. Powyższe równania obowiązują do chwili, w której
stanie się równe
.

Zauważmy, że do chwili pełnego zasprzęglenia (
) rozpatrywany układ ma dwa stopnie swobody, po zasprzęgleniu - jeden.

1.11. Model układu napędowego uwzględniający odkształcenia sprężyste wałów

Rozpatrzmy model układu (rys.1.11.1), który jest podobny do pokazanego na rys.1.5.1. Różnica polega na odmiennych założeniach. Rozpatrując układ pokazany na rys.1.5.1 zakładaliśmy, że wszystkie elementy układu są sztywne. Obecnie odstępujemy od tego założenia i zakładamy co następuje:

- sztywność kątowa wału łączącego silnik S z kołem zębatym 1 wynosi k_S1;

- sztywność kątowa wału łączącego koło 2 z elementem 3 wynosi k₂₃; element 3, który

symbolizuje maszynę robocza cechuje się momentem bezwładności J₃ ;

- pomija się bezwładność kół zębatych 1 i 2 oraz odkształcenia sprężyste zębów tych kół.

Rozpatrywany układ ma dwa stopnie swobody. Jego stan jest zdefiniowany kątem obrotu wirnika silnika α_S i kątem α₃ obrotu elementu 3. Równania ruchu układu można napisać na dwa sposoby. Pierwszy nie wymaga redukcji momentu bezwładności J₃ oraz sztywności kątowej k₂₃ do wału silnika, drugi te redukcje wykorzystuje. Zastosujemy najpierw sposób pierwszy.

Równania ruchu układu pokazanego na rys.1.11.1 maja postać

Definiując przełożenie przekładni 1 - 2 jako
można napisać

Eliminując z powyższych równań kąty α₁ oraz α₂ uzyskuje się równania, identyczne z tymi, które zostaną wyprowadzone przy zastosowaniu redukcji momentu bezwładności i sztywności do wału silnika. Z treści podpunktu 1.5 wiadomo, że moment bezwładności J₃ zredukowany do wału silnika wynosi
. Redukcja sztywności do wału silnika opiera się na warunku równości energii odkształceń sprężystych elementu oryginalnego i zredukowanego. Energia odkształceń sprężystych elementu o sztywności k wyraża się wzorem

Energia odkształceń sprężystych zakumulowana w oryginalnym (przed redukcją) wale 2-3 wynosi
. Jeżeli wał 2-3 zostanie zredukowany do wału silnika, to energia zredukowanego wału wyniesie k_23,R(α₂-α₃)²i², gdzie k_23,R oznacza sztywność zredukowaną. Zgodnie z warunkiem równości energii odkształceń sprężystych można napisać

czyli

.

Model układu po redukcji elementu 3 oraz wału 2-3 do wału silnika pokazano na rys.1.11.2a. Model można dalej przekształcić zauważając, że wał o sztywności k_S1 i wał o sztywności zredukowanej k_23,R są połączone szeregowo. W celu znalezienia sztywności zastępczej obydwu wałów dodaje się odwrotności ich sztywności

W wyniku tych przekształceń powstaje model układu pokazany na rys.1.11.2b. Równania ruchu tego układu pokazanego mają postać

Efektywne rozwiązanie powyższego układu równań wymaga znajomości warunków początkowych.

1.12. Dynamiczna charakterystyka silnika napędowego

W rozpoczynanym punkcie rozpatrzymy układ, w którym zwiększenie liczby stopni swobody wynikać będzie z uwzględnienia dynamicznej charakterystyki silnika. Pojęcie to, wzmiankowane w podrozdziale 1.6, nie zostało tam wyjaśnione. Przypomnijmy, że charakterystyka statyczna silnika opisana była zależnością algebraiczną wiążącą moment silnika z jego obrotami. Zmiana obrotów silnika powodowała natychmiastową zmianę momentu. Charakterystyka dynamiczna silnika ma postać równania (lub równań) różniczkowych, co powoduje, że zmiana momentu na skutek zmiany obrotów (a więc obciążenia) nie jest natychmiastowa.

Rozpatrzmy model układu napędzanego obcowzbudnym silnikiem prądu stałego (rys.1.12.1) przy następujących założeniach:

- wał łączący silnik z maszyną roboczą jest elementem sztywnym,

- napięcie uzwojenia wzbudzenia U_m = const.

Równania opisujące działanie rozpatrywanego układu mają postać

gdzie:

J - moment bezwładności wirnika i napędzanej maszyny,

M₀ - moment oporowy,

I i U_Z - odpowiednio prąd i napięcie twornika,

R_A i L - rezystancja i indukcyjność uzwojenia twornika,

- strumień magnetyczny.

Symbole c_m i c_E oznaczają stałe, zaś
, tak jak dotychczas - prędkość kątową wirnika silnika. Niezależnymi zmiennymi (funkcjami), które opisują stan układu są prędkość kątowa wirnika
oraz prąd twornika I. Pierwsze równanie jest równaniem ruchu, w którym zamiast moment obrotowy silnika M_e wyrażono poprzez prąd twornika. Drugie równanie dotyczy obwodu twornika. Zauważmy, że uzupełnienie równania ruchu równaniem różniczkowym dotyczącym obwodu twornika spowodowało zwiększenie o jeden liczby stopni swobody układu. Jest zrozumiałe, że równanie obwodu twornika można dołączać do układów równań omówionych w podrozdziałach 1.10 i 1.11. Takie działania spowoduje zwiększenie o jeden liczby stopni swobody układu. Należy dodać, że rozwiązanie powyższych równań wymaga znajomości warunków początkowych, czyli wartości prędkości kątowej i prądu twornika dla chwili uznanej za początkową.

Model dynamiczny silnika indukcyjnego jest bardziej skomplikowany niż podany wyżej model silnika prądu stałego. Jeden z modeli dynamicznych silnika indukcyjnego jest opisany równaniem

gdzie
jest elektryczną stałą czasowa silnika,

Użyte symbole powinny są już znane: M_k i s_k są momentem i poślizgiem krytycznym, ω_s jest synchroniczną prędkością kątową. Można zauważyć, że podana wyżej, zaczerpnięta z literatury, charakterystyka dynamiczna silnika indukcyjnego jest charakterystyką uproszczoną, gdyż nie występują w niej wielkości elektryczne. Ma ona jednak tę zaletę, że współczynniki występujące w powyższym równaniu są wielkościami katalogowymi, lub na ich podstawie mogą być obliczone.

14

m

k

F

+x, + dx/dt, +d²x/dt²

kx

m (d²x/dt²)

x

Rys.1.2.1

+α +dα/dt +d²α/dt²

M_e M₀ J·d²α/dt²

Rys.1.2.2

J

!!!

y

z

Rys.1.3.2

l

r

dr

R

Rys.1.3.1

m

0

0

r

x

x

l

l/2

(a)

Rys.1.3.3

a

z

y

x

(b)

b

c

(c)

R

M_r

Rys.1.6.2

B

A2

M₀

ω

0

A1

Rys.1.6.1

3

2

1

M₀

ω

0

ω_k ω _n ω_S

M_n

E_k

L_U

ω

S

MR

M_e

M₀

Rys.1.4.1

E_e

(a)

(b)

J_S - moment bezwładności wirnika silnika J_M - moment bezwładności części wirujących

M_e - moment obrotowy silnika M₀ - moment oporowy maszyny roboczej

J₁ - moment bezwładności koła zębatego 1 ω_S - prędkość kątowa wału silnika

z₁ - liczba zębów koła zębatego 1 ω_M - prędkość kątowa wału maszyny

J₂ - moment bezwładności koła zębatego 2 S - silnik; MR - maszyna robocza

z₂ -liczba zębów koła zębatego 2

Rys.1.5.1

ω_S

J_Z

S

M_e

M_Z

(b)

ω_M

ω_S

M₀ J_M

J₂ z₂

J₁ z₁

S

MR

J_S M_e

(a)

F

ω_M

ω_S

m

J₂ z₂

J₁ z₁

S

J_S M_S

(a)

ω_S

J_Z

S

M_S

M_Z

(b)

Rys.1.5.2

s_k

1

s

0

0

M_e

M_k

ω

Rys.1.6.3

(b)

J_c J_b

J_S

Części czynne

(włączające)

S

Części bierne

(włączane)

ω_c

Rys.1.10.1

(c)

0

t

M_sp

R

P

N

S

ΔM₀

ΔM₀

(b)

(a)

M₀

M_e

ω

M_e

M₀

ω

Rys.1.8.1

Rys.1.8.2

M₀₂

S₂

S₁

M₀₁

ω_S

0

M_e

ω

M_k

S

2 z₂

α_S

α₂

k₂₃

J₃

α ₃

(a)

(e)

Części czynne Części bierne

J_z dω_c/dt M_e M_C0 M_sp M_sp M_b0 J_bdω_b/dt

ω_b

ω_c

(d)

S

N

k₂(x₂-x₁)

x₂

k₂

+x₁, + dx₁/dt, +d²x₁/dt² +x₂, +dx₂/dt, +d²x₂/dt²

x₁

k₁

m₁

m₂

F₂

k₁x₁

m₁ (d²x₁/dt²)

k₂(x₂-x₁)

m₂ (d²x₂/dt²)

F

Rys.1.9.1

k₁₂

2

J₂

1

J₁

ω₁

ω₂

M₀₂

J₂d²ω₂/dt²

J₁d²α₁/dt²

M_S

k₁₂(α₁-α₂)

Rys.1.9.2

J_S M_e k_S1 α₁ 1 z₁

3

Rys.1.11.1

M

J_S M_e k_S1 α₁

J₃ / i²

k_Z

J₃ / i²

α_S

S

J_S M_e

iα₃

3_R

(b)

k_23,R

3_R

S

(a)

α_S

iα₃

Rys.1.11.2

U_Z U_m

Rys.1.12.1

---