Nr ćwiczenia:	Temat ćwiczenia: Drgania harmoniczne sprężyny	Ocena z teorii:
Nr zespołu:	Nazwisko i imię:	Ocena z zaliczenia ćwiczenia:
Data:	Wydział: Rok: Grupa:	Uwagi:

1. Teoria:

Prawo Hooke'a: (przy małych odkształceniach) odkształcenie sprężyste ciała jest proporcjonalne do przyłożonych do ciała sił: F=-kx₀ F - siła sprężystości, k-współczynnik sprężystości sprężyny, x_o- odkształcenie ciała

Rozważamy ciężarek o masie m zawieszony na sprężynie - tzw wahadło sprężynowe.

Ciężarek spoczywa, gdy znajduje się w położeniu równowagi. Działają na niego wtedy dwie równoważące się siły: siła ciężkości P=mg oraz siła sprężystości rozciągniętej sprężyny, działająca w kierunku przeciwnym do kierunku odkształcenia

F₀=-kx_O. Z równania równowagi P+F_o=0 wynika, że mg = kx₀. Z zależności tej możemy obliczyć współczynnik sprężystości k sprężyny zależny od materiału, z którego sprężyna jest wykonana
. Gdy ciężarek jest odchylony o x od położenia równowagi, pojawia się niezrównoważona siła sprężystości F = -kx, a całkowite wydłużenie sprężyny jest równe z = x₀ + x. Równanie ruchu tego ciała możemy wtedy zapisać
, co po przekształceniu da wzór:
. Ruch ciężarka zawieszonego na wahadle sprężynowym jest więc ruchem harmonicznym.

Aby obliczyć okres drgań wahadła sprężynowego korzystamy z zasady zachowania energii: E_k + E_p = const,

E_k jest sumą energii kinetycznej ciężarka E_kc oraz energii kinetycznej sprężyny E_ks. Energia kinetyczna ciężarka dana jest wzorem:
. Aby obliczyć energię kinetyczną sprężyny bierzemy pod uwagę jej element dy, którego prędkość zależy od odległości od punktu zawieszenia sprężyny. Gdy sprężyna jest jednorodna, prędkość elementów dy przypadających na jednostkę długości sprężyny y otrzymujemy dzieląc różnicę prędkości końców sprężyny dx/dt przez długość sprężyny l, a energia kinetyczna tego elementu dana jest wzorem:

, czyli
.

Energia potencjalna układu względem stanu równowagi obliczamy jako pracę potrzebną do wydłużenia sprężyny o x:
.

Podstawiamy powyższe wzory do E_kc + E_ks + E_p = const i obliczamy pochodną tego wyrażenia po czasie . Po uproszczeniu otrzymujemy równanie ruchu układu:
.

Z zależności
, wynika że
. Wzór na okres drgań układu sprężyna-ciężarek dany jest zatem wzorem:
.

Moduł Younga
, gdzie σ jest naprężeniem normalnym, zdefiniowanym jako stosunek siły normalnej do pola przekroju ciała, a ε jest odkształceniem względnym, równym stosunkowi przyrostu długości do długości początkowej.

Moduł sztywności
, gdzie τ jest naprężeniem stycznym, zdefiniowanym jako stosunek siły stycznej do pola przekroju ciała, a γ jest odkształceniem ciała, równym tangensowi kąta nachylenia ciała pod wpływem siły stycznej.

Dla sprężyny
, gdzie n jest ilością zwojów, R promieniem zwoju, a r promieniem druta, z którego wykonano sprężynę.

2. Metodyka wykonania ćwiczenia:

Współczynnik sprężystości sprężyny można wyznaczyć dwoma metodami:

I metodą jest metoda statyczna - należy zważyć wszystkie obciążniki, a następnie wyznaczyć wydłużenie obciążonej nimi sprężyny. Współczynnik sprężystości obliczamy korzystając z zależności mg=kx.

II metodą jest metoda dynamiczna, gdy pod uwagę bierzemy również masę sprężyny. Wahadło sprężynowe wprawiamy w drgania, wyznaczamy ich okres, a następnie obliczamy k, korzystając ze wzoru na kwadrat okresu drgań takiego układu
.

Aby obliczyć moduł sztywności, konieczny jest pomiar promienia drutu, z którego wykonano sprężynę oraz promienia zwoju sprężyny. Należy też policzyć liczbę zwojów z których złożona jest sprężyna. Moduł sztywności wyznacza się w oparciu o wzór
.

3. Opracowanie danych:

1. sprężyna I

Pomiar 1. Wyznaczanie współczynnika sprężystości metodą statyczną:

Pomiary wykonane na ćwiczeniach:

długość sprężyny bez odważnika [m] ± 0,001 m	masa odważnika [kg] ± 0,0002 kg	siła ciężkości działająca na odważnik F=mg, gdzie g=9,81m/s^2 [N] ± 0,0001 N	długość sprężyny po zawieszeniu odważnika [m] ± 0,001 m	wydłużenie sprężyny po zawieszeniu odważnika [m] ± 0,001 m
0,17	0,159	1,5598	0,5	0,33
		0,110	1,0791	0,402	0,232
		0,117	1,1478	0,414	0,244
		0,0906	0,8888	0,36	0,190
		0,0806	0,7907	0,338	0,168
		0,169	1,6579	0,523	0,353
		0,2326	2,2818	0,657	0,487

• Aby wykreślić zależność y = F(x) obliczam:

parametry prostej regresji dla zmierzonych wartości:

gdzie

niepewność standardową wyznaczenia współczynników a i b regresji prostej:

gdzie

	wydłużenie sprężyny x [m]	siła ciężkości P [N]
i	xi	yi	xi^2	xiyi	Δyi=yi-axi-b	(Δyi)^2
1	0,33	1,5598	0,1089	0,5147	0,0108	0,0001
2	0,232	1,0791	0,0538	0,2504	-0,0097	0,0001
3	0,244	1,1478	0,0595	0,2801	0,0027	0,0000
4	0,19	0,8888	0,0361	0,1689	-0,0027	0,0000
5	0,168	0,7907	0,0282	0,1328	0,0025	0,0000
6	0,353	1,6579	0,1246	0,5852	0,0009	0,0000
7	0,487	2,2818	0,2372	1,1112	-0,0045	0,0000
suma	2,004	9,4059	0,6484	3,0433		0,0003

Po podstawieniu do odpowiednich wzorów otrzymuję:

W = 1,1709

k = a = 4,6949 ± 0,0003

Współczynnik sprężystości dla I sprężyny obliczony metodą statyczną jest równy

4,6949 ± 0,0003
.

Pomiar 2. Wyznaczanie współczynnika sprężystości metodą dynamiczną:

Pomiary wykonane na ćwiczeniach:

masa sprężyny m bez odważnika [kg] ± 0,0002 kg	masa odważnika [kg] ± 0,0002 kg	czas 20 pełnych wahań sprężyny w zależności od obciążnika [s] ± 1 s	okres drgań sprężyny [s]
0,088	0,159	24	1,2
		0,110	21	1,05
		0,117	21	1,05
		0,0906	19	0,95
		0,0806	18	0,9
		0,169	25	1,25

• Aby wykreślić zależność y = T²(M) obliczam parametry prostej regresji dla zmierzonych wartości oraz niepewność standardową wyznaczenia współczynników a i b regresji prostej (patrz pkt. 1)

m - masa sprężyny: m = 0,088 kg = const

M - masa odważnika

	masa sprężyny z odważnikiem M+ m[kg]	kwadrat okresu drgań sprężyny T^2 [s^2]
i	xi	yi	xi^2	xiyi	Δyi=yi-axi-b	(Δyi)^2
1	0,1883	1,44	0,0355	0,2712	-0,0245	0,0006
2	0,1393	1,1025	0,0194	0,1536	0,0396	0,0016
3	0,1463	1,1025	0,0214	0,1613	-0,0178	0,0003
4	0,1199	0,9025	0,0144	0,1082	-0,0014	0,0000
5	0,1099	0,81	0,0121	0,0890	-0,0119	0,0001
6	0,1983	1,5625	0,0393	0,3099	0,0160	0,0003
suma	0,9022	6,92	0,1421	1,0933		0,0029

Po podstawieniu do odpowiednich wzorów otrzymuję:

W = 0,0386

= 4,817 ± 0,018

Współczynnik sprężystości dla I sprężyny obliczony metodą dynamiczną jest równy

4,817 ± 0,018
.

Porównanie wartości współczynnika k otrzymanych za pomocą metody statycznej i dynamicznej:

	wartość współczynnika sprężystości k	k minimalne	k maksymalne
metoda dynamiczna	4,817 ± 0,018	4,799	4,835
metoda statyczna	4,6949 ± 0,0003	4,6946	4,6952

Wniosek: Pomiędzy wartościami k wyznaczonymi metodą I i II są bardzo niewielkie różnice, być może wynikające z niedokładnych pomiarów czasu wahań sprężyny w przypadku pomiaru II.

Pomiar 3. Wyznaczanie modułu sztywności materiału sprężyny:

liczba zwojów sprężyny n	promień zwoju sprężyny R [m]	promień drutu sprężyny r [m]
128 ± 1	0,014 ± 0,00005	0,00075 ± 0,000005

• Wyznaczam niepewność wielkości
  korzystając z metody różniczki zupełnej:

Niepewność bezwzględną złożoną A = f(x₁, x₂, x_3, ..., x_k) obliczam ze wzoru:

czyli dla wartości będącej iloczynem dowolnych potęg mierzonych bezpośrednio wielkości x₁ .... x_k:

Błąd względny dany jest wzorem:

Obliczenia dla A = G(k,n,R,r) =
:

wielkość mierzona	wartość wielkości mierzonej	niepewność wielkości mierzonej	pochodna G	przyczynek do błędu bezwzględnego ΔG/G
współczynnik sprężystości [N/m]	k = 4,6949	Δk = 0,0003	Δk
liczba zwojów sprężyny	n = 128	Δn = 1	Δn
promień zwoju sprężyny [m]	R = 0,014	ΔR = 0,00005	ΔR	3
promień drutu sprężyny [m]	r = 0,00075	Δr = 0,000005	Δr	4

Niepewność bezwzględną G obliczam ze wzoru:

czyli ΔG = 9,43E+08

Niepewność względną G obliczam ze wzoru:

σ = 4,53%

Z powyższych obliczeń wynika, że
.

1. sprężyna II

Pomiar 1. Wyznaczanie współczynnika sprężystości metodą statyczną:

Pomiary wykonane na ćwiczeniach:

długość sprężyny bez odważnika [m] ± 0,001 m	masa odważnika [kg] ± 0,0002 kg	siła ciężkości działająca na odważnik F=mg, gdzie g=9,81m/s^2 [N] ± 0,0001 N	długość sprężyny po zawieszeniu odważnika [m] ± 0,001 m	wydłużenie sprężyny po zawieszeniu odważnika [m] ± 0,001 m
0,17	0,159	1,5598	0,223	0,06
		0,110	1,0791	0,208	0,045
		0,117	1,1478	0,21	0,047
		0,0906	0,8888	0,198	0,035
		0,0806	0,7907	0,195	0,032
		0,169	1,6579	0,23	0,67
		0,2326	2,2818	0,252	0,094

• Aby wykreślić zależność y = F(x) obliczam:

parametry prostej regresji dla zmierzonych wartości:

gdzie

niepewność standardową wyznaczenia współczynników a i b regresji prostej:

gdzie

	wydłużenie sprężyny x [m]	siła ciężkości P [N]
i	xi	yi	xi^2	xiyi	Δyi=yi-axi-b	(Δyi)^2
1	0	0	0,0000	0,0000	0,0108	0,0001
2	0,06	1,5598	0,0036	0,0936	-0,0097	0,0001
3	0,045	1,0791	0,0020	0,0486	0,0027	0,0000
4	0,047	1,1478	0,0022	0,0539	-0,0027	0,0000
5	0,035	0,8888	0,0012	0,0311	0,0025	0,0000
6	0,032	0,7907	0,0010	0,0253	0,0009	0,0000
7	0,067	1,6579	0,0045	0,1111	-0,0045	0,0000
8	0,094	2,2818	0,0088	0,2145
suma	0,38	9,4059	0,0234	0,5781		0,0003

Po podstawieniu do odpowiednich wzorów otrzymuję:

W = 0,04286

k = a =

Współczynnik sprężystości dla II sprężyny obliczony metodą statyczną jest równy

.

Pomiar 2. Wyznaczanie współczynnika sprężystości metodą dynamiczną:

Pomiary wykonane na ćwiczeniach:

masa sprężyny m bez odważnika [kg] ± 0,0002 kg	masa odważnika [kg] ± 0,0002 kg	czas 20 pełnych wahań sprężyny w zależności od obciążnika [s] ± 1 s	okres drgań sprężyny [s]
0,035	0,159	10	0,25
		0,110	8	0,16
		0,117	8	0,16
		0,0906	7	0,1225
		0,0806	6	0,09
		0,169	10	0,25

• Aby wykreślić zależność y = T²(M) obliczam parametry prostej regresji dla zmierzonych wartości oraz niepewność standardową wyznaczenia współczynników a i b regresji prostej (patrz pkt. 1)

m - masa sprężyny: m = 0,035 kg =const

M - masa odważnika

	masa sprężyny z odważnikiem M+ m [kg]	kwadrat okresu drgań sprężyny T^2 [s^2]
i	xi	yi	xi^2	xiyi	Δyi=yi-axi-b	(Δyi)^2
1	0,1940	0,25	0,0376	0,0485	-0,0117	0,0001
2	0,1217	0,16	0,0148	0,0195	0,0112	0,0001
3	0,1287	0,16	0,0166	0,0206	0,0003	0,0000
4	0,1023	0,1225	0,0105	0,0125	0,0040	0,0000
5	0,0923	0,09	0,0085	0,0083	-0,0129	0,0002
6	0,1807	0,25	0,0326	0,0452	0,0091	0,0001
suma	0,8195	1,0325	0,1206	0,1546		0,0005

Po podstawieniu do odpowiednich wzorów otrzymuję:

W = 0,0521

= 25,3 ± 0,0028

Współczynnik sprężystości dla I sprężyny obliczony metodą dynamiczną jest równy

4,817 ± 0,122
.

Porównanie wartości współczynnika k otrzymanych za pomocą metody statycznej i dynamicznej:

	wartość współczynnika sprężystości k	k minimalne	k maksymalne
metoda dynamiczna	25,3 ± 0,0028	25,2972	25,3028
metoda statyczna		24,453	24,555

Wniosek: Pomiędzy wartościami k wyznaczonymi metodą I i II są bardzo niewielkie różnice, być może wynikają one z niedokładnych pomiarów czasu wahań sprężyny w przypadku pomiaru II.

Pomiar 3. Wyznaczanie modułu sztywności materiału sprężyny:

liczba zwojów sprężyny n	promień zwoju sprężyny R [m]	promień drutu sprężyny r [m]
162 ± 1	0,0055 ± 0,0001	0,0005 ± 0,000005

• Wyznaczam niepewność wielkości
  korzystając z metody różniczki zupełnej:

Niepewność bezwzględną złożoną A = f(x₁, x₂, x_3, ..., x_k) obliczam ze wzoru:

czyli dla wartości będącej iloczynem dowolnych potęg mierzonych bezpośrednio wielkości x₁ .... x_k:

Błąd względny dany jest wzorem:

Obliczenia dla A = G(k,n,R,r) =
:

wielkość mierzona	wartość wielkości mierzonej	niepewność wielkości mierzonej	pochodna cząstkowa z G	przyczynek do błędu bezwzględnego ΔG/G
współczynnik sprężystości [N/m]	k = 24,504	Δk = 0,051	Δk
liczba zwojów sprężyny	n = 162	Δn = 1	Δn
promień zwoju sprężyny [m]	R = 0,0055	ΔR = 0,0001	ΔR	3
promień drutu sprężyny [m]	r = 0,0005	Δr = 0,000005	Δr	4

Niepewność bezwzględną G obliczam ze wzoru:

czyli ΔG = 4,35 E+09

Niepewność względną G obliczam ze wzoru:

σ = 10,28%

Z powyższych obliczeń wynika, że
.

1

---