LD NM , Elektrotechnika-materiały do szkoły, wybrane zagadnienia z teorii obwodów Szymański


Ad.1Równanie linii długiej

Napięcie chwilowe u prąd chwilowy i obserwowany w miejscu x (odległość miejsca obserwacji od początku linii) i w czasie t opisywane są następującymi układami równań:

0x01 graphic

0x08 graphic
Rys:

Ad.2 Parametry pierwotne linii długiej.

Dla jednostkowego odcinka linii parametry te umieszczone są w jego schemacie jak na rys:

0x08 graphic

R0 - rezystancja jednostkowa w Ω/km ; L0 - indukcyjność jednostkowa w H/km; C0 - pojemność jednostkowa w F/km;

G0 - przewodność (upływność) linii w S/km. Parametry R, L zwane są również parametrami podłużnymi, a G,C parametrami jednostkowymi poprzecznymi linii. Dla torów zawierających ośrodki o charakterystykach elektrycznych i magnetycznych liniowych oraz dla torów jednorodnych (o niezmiennej geometrii przekroju poprzecznego funkcji x) parametry te nie zależą od u, i, x, t. Parametry R, L, G, C w rzeczywistości zależą od stałych materiałowych toru oraz od geometrii jego przekroju poprzecznego.

Ad.3 Określenie parametrów falowych linii długiej.

0x01 graphic

0x01 graphic

Z0 oznacza impedancje falową linii, γ nosi nazwę współczynnika przenoszenia albo stałej falowej linii, α współczynnik tłumienia albo stała tłumienia odpowiada za stratę napięcia, β współczynnik fazowy albo stała fazowa odpowiada za przesunięcie kątowe.

0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic

Ad.4 Parametry falowe linii długiej dla wybranych typów linii.

Dla bardzo małych L i G w przybliżeniu równych zeru, czyli w tzw przybliżeniu kablowym

0x01 graphic
0x01 graphic

Rys schemat jednostkowy linii

0x08 graphic

Dla bardzo dużych częstotliwości, (ω→∞) czyli, dla tzw przybliżenia mikrofalowego

0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic

Dla linii bez strat, R,G równe zeru

0x01 graphic
0x01 graphic

Dla linii niezniekształcającej, w której stosunek

0x01 graphic
; 0x01 graphic

0x01 graphic

Ad.5 Prędkość grupowa i prędkość falowa fali.

Fala sinusoidalna w linii rozchodzi się z prędkością:

0x01 graphic

gdzie: T- okres zmienności w czasie;

λ - długość fali.

W ogólnym przypadku prędkość fazowa jest funkcją częstotliwości, mówimy wówczas, że w linii występuje zjawisko dyspersji. W liniach z dyspersją obok prędkości falowej Vf wprowadza się również prędkość grupową Vg określaną jako: 0x01 graphic

Dla linii bez strat oraz linii niezniekształcającej dyspersja nie występuje. Prędkość fazowa jest równa prędkości grupowej i nie zależy od częstotliwości: 0x01 graphic

Można założyć, że podobnie dzieje się w liniach ze stratami dla sygnałów o wielkiej częstotliwości.

Prędkość fazowa jest to prędkość poruszania się punktu po sinusoidzie.

Prędkość grupowa jest to prędkość obwiedni grupy fal. W przypadku gdy Vf Vg następuje zniekształcenie sygnału.

Ad.6 Współczynnik odbicia fal.

Współczynnikiem odbicia fal w linii nazywa się stosunek powrotnej (odbitej) fali napięciowej do docelowej (pierwotnej) fali napięciowej. W miejscu odległym od końca linii o „y” współczynnik ten wygląda następująco:

0x01 graphic

na końcu linii współczynnik ten przyjmuje wartość: 0x01 graphic
tak więc: 0x01 graphic

Jeżeli linia obciążona jest impedancją falową ( Z2=Z0) wówczas odbicie nie występuje.

Ad.7 Impedancja wejściowa linii długiej.

Impedancja wejściowa odcinka linii o długości y nazywa się stosunek napięcia do prądu na jego wejściu:

0x01 graphic

lub przez współczynnik odbicia:

0x01 graphic

Impedancja wejściowa linii jest jednym z najważniejszych parametrów opisujących właściwości linii.

Ad.8 Linia długa bez strat.

Linia bez strat jako najczęściej stosowane przybliżenie linii radiowych i mikrofalowych jest najczęstszym przypadkiem z punktu widzenia praktycznego. Napięcia i prąd w linii, współczynnik odbicia, impedancja wejściowa są opisane w tym przypadku zależnościami prostszymi w porównaniu z zależnościami podanymi dla przypadku ogólnego. Wynika to z faktu, że Z0 i γ=jβ. Odpowiednio uproszczone zależności dla napięcia i prądu oraz impedancji wejściowej uzyskuje się dzięki wprowadzeniu wyrażeń:

chjβ = cos β;

shjβ = jsin β;

thjβ = jtg β.

Rozkład napięcia i prądu w linii przy x liczonym od początku linii.

0x01 graphic

W linii bez strat stała tłumienia α = 0 , a stała fazowa jest wprost proporcjonalna do częstotliwości

0x01 graphic

Impedancja falowa linii wynosi:

0x01 graphic

jest ona liczbą rzeczywistą i odpowiada impedancji falowej linii ze stratami przy częstotliwości dążącej do nieskończoności.


NUMERYCZNE METODY OBLICZENIOWE

Ad 1 Metoada różnic skończonych (MRS).

Zaproponowana przez C.F. Gaussa w 1823r znalazła szersze zastosowanie po II w św. Jest to ogólna metoda rozwiązywania równań różniczkowych, polega na zastąpieniu tych równań układem równań różniczkowych. Idea metody RS (zwanej metodą siatek) przybliżonego rozwiązania zagadnień brzegowych dla równania dwuwymiarowego Laplace'a, Poissona, Henholtza jest następująca:

W obszarze płaskim, w którym poszukiwany jest potencjał tworzy się siatkę złożoną z oczek o znanych wymiarach. Najczęściej stosuje się siatki kwadratowe, a także trójkątne, prostokątne i sześciokąty foremne.

Dane równanie różniczkowe zastępuje się w węzłach siatki odpowiednim równaniem różnicowym. Oznacza to że potencjał zmieniający się w sposób ciągły zastępowany jest przez układ wartości dyskretnych w punktach przecięcia się siatki zwanych węzłami.

Na podstawie wartości brzegowych ustala się wartości szukanego rozwiązania w węzłach siatki. Rozwiązując równanie różnicowe otrzymamy wartości szukanego potencjału w węzłach siatki, służące do określenia parametrów pola elektromagnetycznego.

Ad.2 Metoda kolejnych przybliżeń

Zgodnie z warunkiem brzegowym Dirichleta węzłom granicznym przypisuje się znane wartości AS, a dla pozostałych węzłów siatki przyjmuje się dowolne wartości oznaczone An(0) funkcji poszukiwanej (np. wartości zerowe lub takie jakich można oczekiwać na podstawie zdobytego doświadczenia). Jest to przybliżenie zerowe. Następnie korzystając z zadanych wartości brzegowych AS w węzłach granicznych oblicza się z podanych wzorów różnicowych L,P,H pierwsze przybliżenie wartości funkcji An(1) w każdym węźle wychodząc z danych węzłów sąsiednich (wartości przybliżenia zerowego w tym węźle odrzucamy). Następnie powtarzamy operację tyle razy aż dla funkcji siatkowej An w każdym węźle osiągniemy dokładność: max [An(j+1)-An(j)] ≤ε

j=1,2,3…numer kolejnej interakcji ε założona dokładność rzędu 10-4, 10-6

Ad. 3 Metoda relaksacji

Proces iteracji można znacznie przyspieszyć, jeżeli zamiast średniej wartości węzłów sąsiednich obliczonej dla równań różnicowych L, P,H do węzła ik wstawimy wartości

0x01 graphic

Aśr jest to wartość średnia wielkości A w węzłach sąsiednich: Aśr = 1/4( Ai+1,k+Ai-1,k+Ai,k-1

r - współczynnik relaksacji; r >1 metoda nadrelaksacyjna; r<1 metoda podrelaksacyjna; r=1 metoda interacyjna. Przez dobór r>1 zwykle 1,1 do 1,3 można uzyskać znaczne przyspieszenie redukcji błędu. Należy dodać, że trafny dobór przybliżenia zerowego w metodzie kolejnych przybliżeń może jeszcze bardziej przyspieszyć rozwiązanie układu równań.

Ad. 4 Metoda równań całkowych.

W zagad. elektrodynamiki środowisk przew. nieznane są warunki na gr. badanego ciała, gdyż ich ostateczny opis zależy od odp. środowisk na znane pierwotne pole wym. Zagad. to nierzadko sprawia kłopoty w rozw. Trudności te można obejść sprowadzając zagadnienie do rozw. R. całkowego Fredholma II rzędu w postaci:

0x01 graphic

gdzie: y(x)-f. poszukiwana; g(x)-f. dana, K(x,s)-f. dana nazwana jądrem r. całkowego określona dla każdej pary liczb kwadratów a≤ x,s ≤ b; λ-określony parametr liczbowy rzecz. lub zesp. R. Fredholma jest jednocz. r. Eulera -Fredholma wariacyjnego problemu ekstrem. funkcjonału kwadrat. w postaci:

0x01 graphic

Jeżeli są speł. war.: g(x) jest całk. w przedziale a,b

0x01 graphic

to r. Fredholma ma jedno i tylko jedno rozwiązanie w przedziale ab w postaci sumy jednostajnie zbieżnego szeregu Neumana zwanego sz. Borna. R. Fredholma rozwiązuje się zwykle numerycznie.

0x01 graphic

0x01 graphic

Ad. 5 Przybliżone metody wariacyjne.

Podstawowym zagadnieniem rachunku wariacyjnego jest wyznaczenie takich niewiadomych funkcji ui (x,y) nazywanych ekstremami żeby całka I pewnej komb. tych f. i ich pochodnych przybierała wartość ekstrem. Całka I będąca f. zależną od łącznego przebiegu jednej lub kilku dowolnych f. spełniających rolę argumentów nazywana jest funkcjon. W zagadnieniach elektrodyn. i elektromech. najważniejsze znacz. ma funkcjonał typu:

0x01 graphic
gdzie 0x01 graphic

przy czym poszukiwana funkcja u(x) jest ciągła wraz ze swymi pochodnymi w obszarze Ω i przybiera na gr. obszaru S zadane wartości. Rozwiązaniem zagadnienia wariacyjnego jest równanie Eulera

0x01 graphic

Do bezpośredniego znajdowania ekstremum funkcjon. stosuje się przybliżoną metodę Ritza z 1909r oraz jej rozwinięcia nazwane metodami Galernika, Trefftza Kantorowicza.

Ad. 6 Metoda Ritza

Celem metody jest przybliżone rozwiązanie problemu wariacyjnego typu (wzór I) przez znalezienie takiego zbioru kombinacji liniowych:0x01 graphic

dowolnie dobranego ciągu funkcji:

0x01 graphic
liniowo niezależnych w przedziale (0,s) by funkcja powyższa realizowała minimum funkcjonału. Funkcja φ0(x,y) spełnia przy tym warunki brzegowe zadane dla funkcji u(x,y) tzn u(p)= f(p) dla p należącego do brzegu s. Funkcje pozostałe przybierają wartości zerowe na granicy s obszaru Ω tzn φ1(0)=0, φn(c) =0 dla n=1,2,3… Zagadnienie sprowadza się więc do n parametrów (współczynników) a1, a2, a3,…an ekstremalizujących funkcjonał I wyrażony tym razem jako funkcja parametrów I=I(a1,a2,…an) Na zasadzie twierdzenia Femata o warunku koniecznym istnienia ekstremum funkcji różnych współczynniki (parametr ak) nazywa się z warunku istnienia ekstremum funkcjonału:0x01 graphic

Ad.7 Metoda Kantorowicza

Uzmienniając współczynniki ak w metodzie Ritza w formie a1(x), a2(x), … an(x) nadamy równaniu postać bardziej ogólną

0x01 graphic

co umożliwia uzyskanie dokładniejszych przybliżeń. Po podstawieniu równania na I i scałkowaniu względem y otrzymuje się nowy funkcjonał zależny od niewiadomych funkcji ak(x) w postaci

0x01 graphic

0x01 graphic

Warunkiem koniecznym istnienia ekstremum ostatnio napisanego funkcjonału jest równanie Eulera w postaci

0x01 graphic

z którego przy danych warunkach brzegowych znajduje się funkcje a1(x), a2(x)…an(x).

Ad. 8 Metoda Galernika

Jest to metoda rozwiązywania pewnego typu równań L(y)=0 zarówno cząstkowych jak i zwyczajnych przez sprowadzenie ich do odpowiedniego zagadnienia wariacyjnego w postaci (wzór I Ad5). Po sformułowaniu funkcjonału odpowiadającego danemu równaniu różniczkowemu poszukujemy takich kombinacji liniowych ciągu funkcji φ0(x,y), φ1(x,y)… by funkcjonał ten przyjął wartość zerową

0x01 graphic
p=1,2,…n

Z układu n równań wyznacza się z kolei n współczynników a1, a2, … an szukanej kombinacji liniowej funkcji φk(x)

Ad.9 Metoda elementów skończonych

Polega na numerycznej minimalizacji funkcjonału. Jej koncepcja powstała w oparciu o ideę głoszącą, że każdą ciągłą wielkość fizyczną można aproksymować przez model dyskretny zbudowany z funkcji kawałkami ciągłych określonych na ograniczonych zbiorach. Idea analizy problemów fizyki ta metoda pojawiła się w 1943 a szerszą interpretację aplikacyjną otrzymała w 1965 O.C Zienkiwicz. Kontynuacja modelu dyskretnego jest realizowana w nast. sposób Obszar Ω o brzegu S którym jest minimalizowany funkcjonał I(u) jest dzielony na podobszary zwane elementami skończonymi oznaczone Ωe. Najczęściej stosowanymi elementami skończonymi są elementy trójkątne. Elementy te muszą wypełniać całkowicie obszar Ω. Istnieją trzy podstawowe warunki ograniczające dowolność takiej dyskretyzacji:

-elementy skończone muszą pokrywać cały obszar

-elementy mogą mieć wspólny bok lub węzeł

-boki elementów muszą być współmierne

Taka dyskretyzacja pozwala określić liczbę i umiejscowić ilość elementów w rozpatrywanym obszarze. Każdy element jest zdefiniowany za pomocą węzłów i,j,k. Rozwiązanie ograniczamy do zagadnień dwuwymiarowych. W każdym elemencie e zakłada się następującą postać szukanej funkcji u(x,y)

0x01 graphic

N - macierz funkcji kształtu

U-wektor poszukiwanych funkcji zmiennych pola i przedstawia się go za pomocą sumy

Określa się funkcjonał danego zagadnienia i przedstawia go za pomocą sumy Ie funkcjonałów elementarnych określonych w poszczególnych elementach skończonych. Minimalizację funkcjonału globalnego I dokonuje się względem wartości funkcji U we wszystkich węzłach obszaru Ω wraz z brzegiem S. Całkowity funkcjonał jest sumą funkcjonałów dla poszczególnych elementów

0x01 graphic
zatem typowe równanie układu równań przyjmuje postać 0x01 graphic

Układ równań globalny przybiera postać

0x01 graphic
Rozwiązaniem minimalizującego układ równań jest wektor U szukanej wartości funkcji pola w węzłach elementów. Na podstawie znajomości wartości zmiennej polowej w węzłach dyskretyzacji rozpatrywanego obszaru określa się parametry pola.

L

C

U2

G

R

U1

C

U2

R

U1

I2

I

I1

U2

Z2

l

x

y

U1

U1



Wyszukiwarka