WYKŁAD 2
SZEREGI LICZBOWE
Szereg liczbowy
Niech
oznacza ciąg liczbowy
który może być zbieżny albo rozbieżny.
Ciąg sum częściowych oznacza ciąg liczbowy
którego n-ty wyraz jest sumą n początkowych wyrazów ciągu
Mamy więc
ogólnie
dla każdego naturalnego n.
Przykład
Niech ciąg
o n-tym wyrazie
Ciąg
jest ciągiem sum
Ciąg
jest więc w tym przypadku następujący:
Definicja
Ciąg
sum
nazywamy szeregiem liczbowym i oznaczamy symbolem
Zamiast tego symbolu piszemy także
Definicję szeregu liczbowego można wyrazić za pomocą równości
Definicja
Liczby
nazywamy wyrazami szeregu
.
Szereg ma nieskończenie (przeliczalnie) wiele wyrazów, niekoniecznie różnych.
Wyraz n-ty ciągu
, określony wzorem
nazywamy n-tą sumą częściową szeregu
.
Wyraz ten jest sumą n początkowych wyrazów tego
szeregu.
Szereg jest ciągiem swoich sum częściowych
.
Uwaga
Z określenia szeregu liczbowego
wynika, że jest to pewien ciąg liczbowy.
Definicja
Szereg liczbowy nazywamy zbieżnym, jeżeli ciąg jego sum częściowych jest zbieżny do granicy właściwej
natomiast rozbieżnym w przypadku przeciwnym.
Definicja
Granicę
nazywamy sumą szeregu.
Szereg zbieżny ma sumę, natomiast szereg rozbieżny nie ma sumy.
Zamiast
piszemy też
Należy jednak pamiętać, że szereg i suma szeregu są to pojęcia różne, więc równość
ma charakter umowny.
Przykład
Szereg
,
czyli
jest zbieżny, ponieważ jego ciąg sum częściowych, którego n-tym wyrazem jest
ma granicę właściwą
Suma szeregu
jest równa jedności
.
1/2
1
1/8
1/4
1/16 itd.
Przykład
Szereg
jest rozbieżny, ponieważ n-ty wyraz ciągu jego sum częściowych
więc
nie istnieje.
Przykład
Zbadać zbieżność szeregu
Wyraz n-ty ciągu sum częściowych tego szeregu można przekształcić następująco:
Stąd
a więc rozpatrywany szereg jest zbieżny i jego suma wynosi 1
Definicja
Jeżeli w szeregu
pominiemy n początkowych wyrazów, to otrzymamy szereg
który nazywamy n-tą resztą szeregu
.
Twierdzenie
Szereg
i szereg
mają tę właściwość, że dla każdego n są obydwa zbieżne albo obydwa rozbieżne.
Tzn:
Jeśli w szeregu zbieżnym (albo rozbieżnym) pominiemy pewną liczbę początkowych wyrazów, to otrzymamy szereg zbieżny (albo odpowiednio - rozbieżny).
Definicja
przy czym k oznacza dowolną liczbę.
Definicja
Szereg
nazywamy sumą szeregów
i
.
Zbieżność szeregów zapewnia zbieżność ich sumy, ale twierdzenie odwrotne nie zachodzi.
Przykład
,
który jest sumą dwóch szeregów rozbieżnych:
oraz
.
Uwaga
Jeżeli szeregi:
i
są zbieżne oraz sumy ich wynoszą odpowiednio A i B, to
oraz
gdzie k jest dowolną liczbą.
Warunek konieczny zbieżności szeregu.
Jeżeli szereg
jest zbieżny, to
Dowód
Zauważmy, że
gdzie
i
oznaczają odpowiednio (n-1)-szą i n-tą resztę szeregu
.
Szereg
jest zbieżny, więc:
i
,
a zatem:
Warunek
nie jest warunkiem wystarczającym zbieżności szeregu
.
Przykład
Szereg rozbieżny spełniający warunek
(szereg harmoniczny)
, czyli szereg
Dowód /nie wprost/ rozbieżności szeregu harmonicznego
Załóżmy, że szereg harmoniczny
jest zbieżny.
Dla każdego N zbieżny byłby wtedy także szereg
=
przy czym mielibyśmy:
,
Pokażemy, że założenie takie prowadzi do sprzeczności:
Ponieważ wyrazy powyższych szeregów są dodatnie, więc
,
a zatem dla każdego N jest spełniony warunek
Jest to sprzeczne z założeniem
.
Zatem założenie o zbieżności szeregu
jest fałszywe.
Szereg harmoniczny jest więc rozbieżny, cnd.
Szereg
nazywa się harmoniczny dlatego, że każdy jego wyraz (z wyjątkiem pierwszego) jest średnią harmoniczną wyrazu poprzedniego i wyrazu następnego,
tzn. że odwrotność n-tego wyrazu
jest równa połowie sumy odwrotności wyrazów: (n-1)-go i (n+1)-go.
Badanie zbieżności szereg geometrycznego
Zbieżność szeregu geometrycznego.
, czyli
.
Jeżeli
, to szereg
jest oczywiście zbieżny i jego suma równa się 0.
Jeżeli
, to rozróżniamy dwa przypadki:
Ponieważ
,
więc
. Szereg geometryczny jest w tym przypadku zbieżny i jego sumą jest liczba
.
2.
Ponieważ dla każdego naturalnego
n
,
więc szereg
nie spełnia w tym przypadku warunku koniecznego zbieżności, a zatem jest rozbieżny.
Wniosek
Szereg geometryczny
jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy
lub
.
Jego sumą jest wówczas liczba
.
Stwierdzenie
Jeżeli ciąg sum częściowych szeregu o wyrazach nieujemnych jest ograniczony z góry, to szereg ten jest zbieżny.
Przykład
Zbadać zbieżność szeregu
Wyrazy szeregu
są dodatnie.
Ponieważ dla każdego n
,
więc ciąg
jest ograniczony z góry liczbą 1 i szereg
jest zbieżny.
Kryteria zbieżności szeregów o wyrazach dodatnich
Kryterium porównawcze.
Jeżeli wyrazy szeregów
oraz
są nieujemne, a ponadto istnieje taka liczba naturalna N, że dla każdego
jest spełniona nierówność
to:
zbieżność szeregu
zapewnia zbieżność szeregu
rozbieżność szeregu
zapewnia rozbieżność szeregu
Kryterium porównawcze można wykorzystać zarówno
w dowodzie zbieżności, jak i w dowodzie rozbieżności szeregu liczbowego.
Przykład
Szereg
jest rozbieżny, ponieważ dla każdego n
(szereg harmoniczny)
a szereg
jest rozbieżny.
Przykład
Szereg
jest zbieżny, ponieważ dla każdego n
(szereg geometryczny)
a szereg
jest zbieżny.
Szereg harmoniczny i szereg geometryczny przyjmujemy często za szeregi porównawcze.
Równie często przyjmowany jest za szereg porównawczy tzw. szereg Dirichleta
,
gdzie
oznacza dowolną liczbę rzeczywistą.
Badanie zbieżności szeregu Dirichleta.
Szereg
jest
rozbieżny dla
,
zbieżny dla
/dowód na ćwiczeniach/
Przykład
Zbadać zbieżność szeregu
.
Ponieważ dla każdego naturalnego n
,
przy czym szereg
jest zbieżny, więc szereg
jest także zbieżny na podstawie kryterium porównawczego.
Przykład
Zbadać zbieżność szeregu
.
Ponieważ dla każdego naturalnego n
,
przy czym szereg
jest rozbieżny, więc szereg
jest także rozbieżny.
Przykład
Zbadać zbieżność szeregu
.
Ponieważ
dla
, a ponadto
, więc dla każdego n
,
a zatem szereg
jest rozbieżny.
Kryterium d'Alemberta.
Jeżeli istnieje granica (właściwa albo niewłaściwa)
,
to szereg o wyrazach dodatnich
jest
zbieżny, gdy
,
rozbieżny, gdy
.
(Jeśli g = 1, wówczas nie możemy nic powiedzieć o zbieżności tego szeregu)
Przykład
Zbadać zbieżność szeregu
.
Mamy tu
,
,
więc
Stąd
,
a więc szereg
jest zbieżny na podstawie kryterium d'Alemberta.
Przykład
Zbadać zbieżność szeregu
.
Postępując tak, jak w przykładzie poprzednim, otrzymamy
Stąd
, a więc szereg
jest rozbieżny na mocy kryterium d'Alemberta.
Kryterium Cauchy'ego.
Jeżeli istnieje granica (właściwa albo niewłaściwa)
,
to szereg o wyrazach nieujemnych
jest
zbieżny, gdy
,
rozbieżny, gdy
.
(Jeśli g = 1, wówczas nie możemy nic powiedzieć o zbieżności tego szeregu)
Przykład
Zbadać zbieżność szeregu
.
Mamy tu
stąd
,
a więc szereg
jest zbieżny.
Szeregi o wyrazach dowolnych
Definicja
Szereg
nazywamy szeregiem naprzemiennym.
Wyrazy tego szeregu są na przemian dodatnie i ujemne.
Kryterium Leibniza.
Jeżeli
ciąg
jest nierosnący, tzn.
oraz
to szereg naprzemienny
jest zbieżny.
Przykład
Szereg
jest zbieżny, ponieważ spełnia założenia kryterium Leibniza:
jest to szereg naprzemienny,
dla każdego n mamy
, gdyż
.
Można udowodnić, że suma S szeregu
równa jest
.
Przykład (do domu)
Szereg
jest zbieżny na podstawie kryterium Leibniza.
Definicja
Szereg zbieżny
nazywamy bezwzględnie zbieżnym, jeżeli jest zbieżny szereg
.
Przykład
Szereg
jest zbieżny na mocy kryterium Leibniza.
Ponieważ szereg
,
także jest zbieżny, więc szereg
jest zbieżny bezwzględnie.
Twierdzenie
Jeśli szereg jest zbieżny bezwzględnie to jest zbieżny.
Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe:
Szereg
jest zbieżny na mocy kryterium Leibniza.
Natomiast szereg
, jest rozbieżny.
Przykład
Zbadać zbieżność szeregu
.
Rozważmy szereg utworzony z bezwzględnych wartości wyrazów szeregu
:
do którego możemy zastosować kryterium porównawcze.
Ponieważ dla każdego naturalnego n
,
więc szereg
jest zbieżny.
Na podstawie twierdzenia wynika stąd, że szereg
jest zbieżny i to bezwzględnie.
Mnożenie szeregów
Definicja
Szereg
o wyrazach
nazywamy iloczynem Cauchy'ego szeregów
i
.
Uwaga
Zbieżność szeregów
i
nie zapewnia zbieżności ich iloczynu Cauchy'ego.
Można tak dobrać dwa szeregi warunkowo zbieżne, żeby ich iloczyn Cauchy'ego był szeregiem rozbieżnym.
Twierdzenie
Jeżeli szeregi
i
są zbieżne, przy czym co najmniej jeden z nich jest bezwzględnie zbieżny, to ich iloczyn
jest zbieżny, przy czym
Przykład
Szereg
jest bezwzględnie zbieżny.
Obliczymy iloczyn Cauchy'ego
Mamy tu
=
Stąd
Analiza Matematyczna I
1
28