WYKŁAD 2

SZEREGI LICZBOWE

Szereg liczbowy

Niech
oznacza ciąg liczbowy

który może być zbieżny albo rozbieżny.

Ciąg sum częściowych oznacza ciąg liczbowy

którego n-ty wyraz jest sumą n początkowych wyrazów ciągu

Mamy więc

ogólnie

dla każdego naturalnego n.

Przykład

Niech ciąg
o n-tym wyrazie

Ciąg
jest ciągiem sum

Ciąg
jest więc w tym przypadku następujący:

Definicja

Ciąg
sum

nazywamy szeregiem liczbowym i oznaczamy symbolem

Zamiast tego symbolu piszemy także

Definicję szeregu liczbowego można wyrazić za pomocą równości

Definicja

• Liczby

nazywamy wyrazami szeregu
.

Szereg ma nieskończenie (przeliczalnie) wiele wyrazów, niekoniecznie różnych.

• Wyraz n-ty ciągu
  , określony wzorem

nazywamy n-tą sumą częściową szeregu
.

Wyraz ten jest sumą n początkowych wyrazów tego

szeregu.

Szereg jest ciągiem swoich sum częściowych
.

Uwaga

• Z określenia szeregu liczbowego
  wynika, że jest to pewien ciąg liczbowy.

Definicja

Szereg liczbowy nazywamy zbieżnym, jeżeli ciąg jego sum częściowych jest zbieżny do granicy właściwej

natomiast rozbieżnym w przypadku przeciwnym.

Definicja

Granicę

nazywamy sumą szeregu.

Szereg zbieżny ma sumę, natomiast szereg rozbieżny nie ma sumy.

Zamiast
piszemy też

Należy jednak pamiętać, że szereg i suma szeregu są to pojęcia różne, więc równość
ma charakter umowny.

Przykład

Szereg

,

czyli

jest zbieżny, ponieważ jego ciąg sum częściowych, którego n-tym wyrazem jest

ma granicę właściwą

Suma szeregu
jest równa jedności
.

1/2

1

1/8

1/4

1/16 itd.

Przykład

Szereg

jest rozbieżny, ponieważ n-ty wyraz ciągu jego sum częściowych

więc
nie istnieje.

Przykład

Zbadać zbieżność szeregu

Wyraz n-ty ciągu sum częściowych tego szeregu można przekształcić następująco:

Stąd

a więc rozpatrywany szereg jest zbieżny i jego suma wynosi 1

Definicja

Jeżeli w szeregu
pominiemy n początkowych wyrazów, to otrzymamy szereg

który nazywamy n-tą resztą szeregu
.

Twierdzenie

Szereg
i szereg

mają tę właściwość, że dla każdego n są obydwa zbieżne albo obydwa rozbieżne.

Tzn:

Jeśli w szeregu zbieżnym (albo rozbieżnym) pominiemy pewną liczbę początkowych wyrazów, to otrzymamy szereg zbieżny (albo odpowiednio - rozbieżny).

Definicja

przy czym k oznacza dowolną liczbę.

Definicja

Szereg

nazywamy sumą szeregów
i
.

Zbieżność szeregów zapewnia zbieżność ich sumy, ale twierdzenie odwrotne nie zachodzi.

Przykład

,

który jest sumą dwóch szeregów rozbieżnych:

oraz
.

Uwaga

Jeżeli szeregi:
i

są zbieżne oraz sumy ich wynoszą odpowiednio A i B, to

oraz

gdzie k jest dowolną liczbą.

Warunek konieczny zbieżności szeregu.

Jeżeli szereg
jest zbieżny, to

Dowód

Zauważmy, że

gdzie
i
oznaczają odpowiednio (n-1)-szą i n-tą resztę szeregu
.

Szereg
jest zbieżny, więc:

i
,

a zatem:

Warunek
nie jest warunkiem wystarczającym zbieżności szeregu
.

Przykład

Szereg rozbieżny spełniający warunek

(szereg harmoniczny)

, czyli szereg

Dowód /nie wprost/ rozbieżności szeregu harmonicznego

Załóżmy, że szereg harmoniczny
jest zbieżny.

Dla każdego N zbieżny byłby wtedy także szereg

=

przy czym mielibyśmy:

,

Pokażemy, że założenie takie prowadzi do sprzeczności:

Ponieważ wyrazy powyższych szeregów są dodatnie, więc

,

a zatem dla każdego N jest spełniony warunek

Jest to sprzeczne z założeniem
.

Zatem założenie o zbieżności szeregu
jest fałszywe.

Szereg harmoniczny jest więc rozbieżny, cnd.

Szereg
nazywa się harmoniczny dlatego, że każdy jego wyraz (z wyjątkiem pierwszego) jest średnią harmoniczną wyrazu poprzedniego i wyrazu następnego,

tzn. że odwrotność n-tego wyrazu
jest równa połowie sumy odwrotności wyrazów: (n-1)-go i (n+1)-go.

Badanie zbieżności szereg geometrycznego

Zbieżność szeregu geometrycznego.

, czyli
.

• Jeżeli
  , to szereg
  jest oczywiście zbieżny i jego suma równa się 0.

• Jeżeli
  , to rozróżniamy dwa przypadki:

1. 
   

Ponieważ

,

więc
. Szereg geometryczny jest w tym przypadku zbieżny i jego sumą jest liczba
.

2.

Ponieważ dla każdego naturalnego

n
,

więc szereg
nie spełnia w tym przypadku warunku koniecznego zbieżności, a zatem jest rozbieżny.

Wniosek

Szereg geometryczny

jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy
lub
.

Jego sumą jest wówczas liczba
.

Stwierdzenie

Jeżeli ciąg sum częściowych szeregu o wyrazach nieujemnych jest ograniczony z góry, to szereg ten jest zbieżny.

Przykład

Zbadać zbieżność szeregu

Wyrazy szeregu
są dodatnie.

Ponieważ dla każdego n

,

więc ciąg
jest ograniczony z góry liczbą 1 i szereg

jest zbieżny.

Kryteria zbieżności szeregów o wyrazach dodatnich

• Kryterium porównawcze.

Jeżeli wyrazy szeregów
oraz
są nieujemne, a ponadto istnieje taka liczba naturalna N, że dla każdego
jest spełniona nierówność
to:

1. zbieżność szeregu
   zapewnia zbieżność szeregu
   

2. rozbieżność szeregu
   zapewnia rozbieżność szeregu
   

Kryterium porównawcze można wykorzystać zarówno

w dowodzie zbieżności, jak i w dowodzie rozbieżności szeregu liczbowego.

Przykład

Szereg
jest rozbieżny, ponieważ dla każdego n

(szereg harmoniczny)

a szereg
jest rozbieżny.

Przykład

Szereg
jest zbieżny, ponieważ dla każdego n

(szereg geometryczny)

a szereg
jest zbieżny.

Szereg harmoniczny i szereg geometryczny przyjmujemy często za szeregi porównawcze.

Równie często przyjmowany jest za szereg porównawczy tzw. szereg Dirichleta

,

gdzie
oznacza dowolną liczbę rzeczywistą.

Badanie zbieżności szeregu Dirichleta.

Szereg
jest

• rozbieżny dla
  ,

• zbieżny dla
  

/dowód na ćwiczeniach/

Przykład

Zbadać zbieżność szeregu
.

Ponieważ dla każdego naturalnego n

,

przy czym szereg
jest zbieżny, więc szereg
jest także zbieżny na podstawie kryterium porównawczego.

Przykład

Zbadać zbieżność szeregu
.

Ponieważ dla każdego naturalnego n

,

przy czym szereg

jest rozbieżny, więc szereg

jest także rozbieżny.

Przykład

Zbadać zbieżność szeregu
.

Ponieważ
dla
, a ponadto
, więc dla każdego n

,

a zatem szereg
jest rozbieżny.

• Kryterium d'Alemberta.

Jeżeli istnieje granica (właściwa albo niewłaściwa)

,

to szereg o wyrazach dodatnich
jest

• zbieżny, gdy
  ,

• rozbieżny, gdy
  .

(Jeśli g = 1, wówczas nie możemy nic powiedzieć o zbieżności tego szeregu)

Przykład

Zbadać zbieżność szeregu
.

Mamy tu
,

,

więc

Stąd

,

a więc szereg

jest zbieżny na podstawie kryterium d'Alemberta.

Przykład

Zbadać zbieżność szeregu

.

Postępując tak, jak w przykładzie poprzednim, otrzymamy

Stąd

, a więc szereg

jest rozbieżny na mocy kryterium d'Alemberta.

• Kryterium Cauchy'ego.

Jeżeli istnieje granica (właściwa albo niewłaściwa)

,

to szereg o wyrazach nieujemnych
jest

• zbieżny, gdy
  ,

• rozbieżny, gdy
  .

(Jeśli g = 1, wówczas nie możemy nic powiedzieć o zbieżności tego szeregu)

Przykład

Zbadać zbieżność szeregu
.

Mamy tu

stąd

,

a więc szereg

jest zbieżny.

Szeregi o wyrazach dowolnych

Definicja

Szereg

nazywamy szeregiem naprzemiennym.

Wyrazy tego szeregu są na przemian dodatnie i ujemne.

Kryterium Leibniza.

Jeżeli

• ciąg
  jest nierosnący, tzn.

• oraz
  

to szereg naprzemienny
jest zbieżny.

Przykład

Szereg

jest zbieżny, ponieważ spełnia założenia kryterium Leibniza:

• jest to szereg naprzemienny,
  

• dla każdego n mamy
  , gdyż
  .

Można udowodnić, że suma S szeregu

równa jest
.

Przykład (do domu)

Szereg
jest zbieżny na podstawie kryterium Leibniza.

Definicja

Szereg zbieżny
nazywamy bezwzględnie zbieżnym, jeżeli jest zbieżny szereg
.

Przykład

Szereg
jest zbieżny na mocy kryterium Leibniza.

Ponieważ szereg

,

także jest zbieżny, więc szereg

jest zbieżny bezwzględnie.

Twierdzenie

Jeśli szereg jest zbieżny bezwzględnie to jest zbieżny.

Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe:

Szereg
jest zbieżny na mocy kryterium Leibniza.

Natomiast szereg

, jest rozbieżny.

Przykład

Zbadać zbieżność szeregu
.

Rozważmy szereg utworzony z bezwzględnych wartości wyrazów szeregu
:

do którego możemy zastosować kryterium porównawcze.

Ponieważ dla każdego naturalnego n

,

więc szereg
jest zbieżny.

Na podstawie twierdzenia wynika stąd, że szereg

jest zbieżny i to bezwzględnie.

Mnożenie szeregów

Definicja

Szereg
o wyrazach

nazywamy iloczynem Cauchy'ego szeregów
i
.

Uwaga

Zbieżność szeregów
i
nie zapewnia zbieżności ich iloczynu Cauchy'ego.

Można tak dobrać dwa szeregi warunkowo zbieżne, żeby ich iloczyn Cauchy'ego był szeregiem rozbieżnym.

Twierdzenie

Jeżeli szeregi
i
są zbieżne, przy czym co najmniej jeden z nich jest bezwzględnie zbieżny, to ich iloczyn
jest zbieżny, przy czym

Przykład

Szereg
jest bezwzględnie zbieżny.

Obliczymy iloczyn Cauchy'ego

Mamy tu

=

Stąd

Analiza Matematyczna I

1

28