[zazwyczaj 
]
P1. RÓWNANIE O ZMIENNYCH ROZDZIELONYCH
[zazwyczaj
]
P2. RÓWNANIE JEDNORODNE WZGLĘDEM x I y
P3. RÓWNANIE LINIOWE
P4. RÓWNANIE BERNOULLIEGO
P5. UKŁAD RÓWNAŃ O STAŁYCH WSPÓŁCZYNNIKACH, JEDNORODNY
P6. UKŁAD RÓWNAŃ O STAŁYCH WSPÓLCZYNNIKACH NIEJEDNORODNY
P7. RÓWNANIA WYŻSZYCH RZĘDÓW JEDNORODNE
P8. RÓWNANIA WYŻSZYCH RZĘDÓW NIEJEDNORODNE
P7. WZORY
P1. RÓWNANIE O ZMIENNYCH ROZDZIELONYCH
[zazwyczaj 
] D=…
Sprawdzamy g(y)=0 y=a
Definiujemy funkcję y(x)=a dla 
Zatem funkcja ta jest rozwiązaniem równania
Załóżmy, że 
…
P2. RÓWNANIE JEDNORODNE WZGLĘDEM x I y
D=…
Niech 
=> 
I otrzymujemy równanie o zmiennych rozdzielonych
Obliczamy a na końcu podstawiamy 
P3. RÓWNANIE LINIOWE
D=…
Jest to równanie liniowe w którym p(x)=…, g(x)=..
Szukamy kolejno
1° rozwiązania równania 
Ale szybciej jest ze wzoru 
, 
, dla 
…
2° 
METODA UZMIENNIANIA STAŁEJ
Podstawiamy do 
i wyznaczamy 
(lub 
i całkujemy)
METODA PRZEWIDYWAŃ GDY 
i 
ma postać:
I) 
, k=1 gdy 
II) 
, l=max(n,m)
III) 
k=1 gdy 
i 
Mamy 
…
Podstawiamy do głównego wzoru
BONUS
Gdy 
P4. RÓWNANIE BERNOULLIEGO
,
Gdy 
stała funkcja 
jest rozwiązaniem równania
Szukamy rozwiązania 
I mamy równanie liniowe
P5. UKŁAD RÓWNAŃ O STAŁYCH WSPÓŁCZYNNIKACH, JEDNORODNY
Jest to układ równań liniowych o stałych współczynnikach, jednorodny
Równanie charakterystyczne ma postać
, gdzie E-macierz jednostkowa
, 
Dla r1=.. o kr(r1)=.. szukamy rozwiązania w postaci
dla kr=1 lub 
dla kr=2
Następnie wstawiamy do układu
Dla r2=… …
P6. UKŁAD RÓWNAŃ O STAŁYCH WSPÓLCZYNNIKACH NIEJEDNORODNY
1° Szukamy rozwiązania ogólnego
2°Szykamy 
rozwiązania szczególnego układu pełnego
Szukamy rozwiązania
dla b(t)=t lub 
dla b(t)=e^t (a jak coś nie pasuje to zwiększamy stopień wielomianu)
Wyliczamy współczynniki podstawiając do wzoru
P7. RÓWNANIA WYŻSZYCH RZĘDÓW JEDNORODNE
D=…
Równanie charakterystyczne
…
… tyle pierwiastków jaka krotność i każdy kolejny pomnożony przez x
dla 
, gdzie 
JEŻELI:
P8. RÓWNANIA WYŻSZYCH RZĘDÓW NIEJEDNORODNE
1° Szukamy rozwiązania ogólnego
2° 
METODA UZMIENNIANIA STAŁEJ
Z tw. Cramera
METODA PRZEWIDYWAN
I)
, k - krotność pierwiastka 
równania charakterystycznego
II) 
gdzie l=max(n,m), k=1 gdy 
jest pierwiastkiem równaniacharakterystycznego
III)
gdzie l=max(n,m), a k oznacza krotność pierwiastka 
równania charakterystycznego
RÓŻNE:
Przez części: 
