P O L I T E C H N I K A W A R S Z A W S K A
WYDZIAŁ MECHATRONIKI
INSTYTUT METROLOGII I SYSTEMÓW POMIAROWYCH
ANALIZA WYNIKÓW POMIARÓW
LABORATORIUM
ĆWICZENIE 1
Wyznaczanie niepewności pomiaru bezpośredniego
Opracował dr inż. Jerzy Arendarski
Współpraca: mgr inż. Anna Ostaszewska
Warszawa, 2008
1. Cel ćwiczenia
Celem ćwiczenia jest ugruntowanie wiedzy z zakresu wyrażania i wyznaczania niepewności pomiarów.
2. Wprowadzenie teoretyczne
Pomiar jest bezpośredni, jeżeli wartość wielkości mierzonej otrzymuje się bezpośrednio z przyrządu pomiarowego, bez potrzeby wykonywania dodatkowych obliczeń opartych na zależności funkcyjnej wielkości mierzonej od innych wielkości.
Przykłady pomiarów bezpośrednich:
pomiar długości za pomocą suwmiarki,
pomiar długości za pomocą mikrometru,
pomiar masy na wadze z podzielnia,
pomiar napięcia za pomocą woltomierza,
pomiar natężenia prądu za pomocą amperomierza,
pomiar temperatury za pomocą termometru.
Równanie pomiaru bezpośredniego (wzór na wynik pomiaru), uwzględniające istotne źródła niepewności ma postać:
(1)
gdzie:
W - wskazanie przyrządu lub średnia z serii wskazań,
Pw - poprawka wskazania przyrządu,
Prw -poprawka kompensująca błąd rozdzielczości przyrządu,
Pws - poprawka lub suma poprawek związanych z warunkami środowiskowymi.
Poprawki i niepewności poprawek wyznacza się według niżej przedstawionych zasad:
Pw - Przy ustalaniu tej poprawki korzysta się ze świadectwa wzorcowania przyrządu,
które może zawierać wyniki w jednej z trzech następujących wersji:
szczegółowa tablica poprawek lub krzywa kalibracji + niepewność wzorcowania,
błędy wskazania lub poprawki wskazania w wybranych punktach zakresu pomiarowego + niepewność wzorcowania,
błędy wskazania lub poprawki wskazania w wybranych punktach zakresu pomiarowego + niepewność wzorcowania + potwierdzenie, że błędy wskazania nie przekraczają granic błędów dopuszczalnych Eg.
W pierwszym przypadku, dla określonego wskazania W, ze świadectwa wzorcowania, odczytuje się wartość Pw oraz U(Pw) na poziomie ufności 1-α =.0,95.
W drugim przypadku ustala się symetryczny względem zera przedział ± Ek, w którym mieszczą się wyniki wzorcowania i przyjmuje się, że Pw= (0 ± Ek). Obliczając niepewność poprawki uwzględnia się wtedy również niepewność wzorcowania U(Ew):
(2)
Tę składową można również wyznaczyć z zależności:
(3)
W trzecim przypadku przyjmuje się, że Pw= (0 ± Eg), a niepewność standardową poprawki oblicza się według wzoru:
(4)
Prw - Przyjmuje się, że Prw = (0 ± d/2), a jej niepewność standardową wyznacza się z zależności:
(5)
Pws - jeżeli poprawką związaną z warunkami środowiskowymi jest poprawka temperaturowa, to, przy pomiarach długości, wyznacza się ją zgodnie ze wzorem:
(6)
gdzie:
W - wskazanie przyrządu (długość mierzona),
ၡ - uśredniony współczynnik rozszerzalności cieplnej materiałów przyrządu i mierzonego elementu,
ၤt- różnica temperatur przyrządu i mierzonego elementu.
Niepewność standardową poprawki temperaturowej określa wzór
(7)
Równanie niepewności standardowej złożonej ma ogólną postać:
(8)
Niepewność standardową u(W) wyznacza się metodą typu A, na podstawie serii pomiarów wykonanych w określonych warunkach, jako tzw. niepewność standardową połączoną up(W). Następnie przy pomiarach wykonywanych w podobnych warunkach wykorzystuje się tę niepewność jako znaną.
Jeżeli kolejne pomiary wykonuje się jako jednokrotne, to
u(W) = up(W) (9)
W takiej sytuacji wartość wyznaczona ze wzoru (9) obejmuje również wpływ rozdzielczości (u(W) >> u(Prw)), dlatego we wzorze (8), trzecią składową (związaną z rozdzielczością) można pominąć.
Przy n pomiarach i wyznaczaniu
, niepewność standardową wyznacza się wg zależności:
(10)
W takich przypadkach zdarza się, że u(W) < u(Prw) i wtedy, przy obliczaniu niepewności wzorcowania, uzasadnione jest uwzględnienie obu tych składowych. Rutynowe uwzględnianie we wszystkich przypadkach obu składowych spowoduje, że w odniesieniu do części pomiarów składowa od rozdzielczości będzie uwzględniona podwójnie, co zawyży nieco wartość niepewności złożonej i ocena niepewności będzie bardziej asekuracyjna. W niżej podanych przykładach uwzględniono oba warianty. Czytelnik może więc ocenić, czy pominięcie składowej liczonej wg wzoru (4) w istotnym stopniu zmieni niepewność pomiaru.
3. Przebieg ćwiczenia
Każdy student przeprowadza analizę niepewności pomiaru bezpośredniego wybranej wielkości zgodnie z załączonym przykładem. W bazie danych są dostępne świadectwa wzorcowania przyrządów pomiarowych oraz wyniki badania powtarzalności wskazań przyrządów.
4. Przykładowe rozwiązanie zadania
Dane wejściowe:
według wymagań technologicznych, średnica trzpienia powinna się zawierać w przedziale [184,95; 185,00],
z pojedynczego pomiaru, wykonanego za pomocą mikrometru o numerze inwentarzowym 020/M, uzyskano wskazanie W1 = 184,995 mm
w trzech powtórzonych pomiarach w tym samym przekroju otrzymano: W2 = 184,994 mm, W3 = 184,997 mm, W4 = 184,998 mm
w procesie pomiarowym zapewnia się takie warunki, że różnica temperatur przyrządu i mierzonego elementu δt = (0 ± 3) °C,
wyniki wcześniejszych badań rozrzutu wskazań mikrometru przedstawiono w Tablicy 1: „Wyniki badania powtarzalności przyrządów pomiarowych”,
w pliku świadectwa wzorcowania, jest aktualne świadectwo wzorcowania mikrometru - potwierdzona zgodność z wymaganiami normy PN-82/M-53200.
Sporządzić budżet niepewności, podać wynik dla pojedynczego pomiaru oraz dla średniej z czterech pomiarów. Ponadto odpowiedzieć na pytanie czy kontrolowany trzpień jest zgodny z wyżej określonym wymaganiem, uwzględniając każdy z otrzymanych wyników
Obliczenia:
4.1. Równanie pomiaru
4.2. Równanie niepewności standardowej złożonej pomiaru
4.2.1. Współczynniki wpływu
4.2.2. Niepewności standardowe składowe
u(W)=
= 0,0012 mm
Budżety niepewności przedstawiono w tablicach 1 i 2.
Tablica 1. Budżet niepewności dla pojedynczego pomiaru
Wielkość |
Oszaco-wanie |
Szerokość połówkowa |
Wsp. rozrzutu |
Niepewn. stand. |
Wsp. wpływu |
Składowe niepewn. złożonej |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
Xi |
xi |
0,5Ri |
k* |
u(Xi) |
ci |
ui(Y) |
W |
184,995 |
- |
- |
0,0012 |
1 |
0,0012 |
PW |
0 |
0,007 |
|
0,0040 |
1 |
0,0040 |
Prw |
0 |
0,0005 |
|
0,0003 |
1 |
0,0003 |
δt |
0 |
3 |
|
1,73 |
0,00213 |
0,0037 |
D |
184,995 |
|
|
|
|
0,00559 |
U(D) = 2 u(D) = 0,01117 mm ≈ 0,011 mm
Końcowy wynik pomiaru: D = (184,995 ± 0,011) mm
Tablica 2. Budżet niepewności dla średniej z czterech pomiarów
Wielkość |
Oszaco-wanie |
Szerokość połówkowa |
Wsp. rozrzutu |
Niepewn. stand. |
Wsp. wpływu |
Składowe niepewn. złożonej |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
Xi |
xi |
0,5Ri |
k* |
u(Xi) |
ci |
ui(Y) |
W |
184,996 |
- |
- |
0,0006 |
1 |
0,0006 |
PW |
0 |
0,007 |
|
0,0040 |
1 |
0,0040 |
Prw |
0 |
0,0005 |
|
0,0003 |
1 |
0,0003 |
δt |
0 |
3 |
|
1,73 |
0,00213 |
0,0037 |
D |
184,995 |
|
|
|
|
0,00549 |
U(D) = 2 u(D) = 0,01098 mm ≈ 0,011 mm
Końcowy wynik pomiaru: D = (184,996 ± 0,011) mm
Wnioski: Zmierzony trzpień nie może być uznany za zgodny z wymaganiami, ponieważ niepewność wykracza poza pole tolerancji , co zilustrowano na rysunku 1.
Rys. 1. Graficzne przedstawienie wyników pomiarów na tle tolerancji
Literatura
Arendarski J.: Niepewność pomiarów, OWPW, Warszawa 2006
Mała encyklopedia metrologii, WNT, Warszawa 1989
3. Jakubiec W., Malinowski J.: Metrologia wielkości geometrycznych, WNT, Warszawa 2005
- 7 -