Zadanie-nr-17, Studia, STUDIA PRACE ŚCIĄGI SKRYPTY


Zadanie nr 17

Korzystając z informacji zamieszczonych w tabeli poniżej, dobrać postać analityczną modelu regresji:

yi

xi

30

100

50

150

90

200

80

300

100

350

120

450

120

550

160

600

140

700

150

900

150

1000

170

1050

160

1200

Y= wydatki na odzież i obuwie(w zł)

X= wydatki ogółem (w zł)

W szacowaniu modelu posłużymy się metodą najmniejszych kwadratów. Obliczenia zostaną wykonane za pomocą programu Excel. Przy weryfikacji hipotez istotności zakładamy współczynnik α=0,05.

Rozwiązanie

Poniżej graficzna prezentacja danych do zadania

0x01 graphic

Do zbadania zależności danych oraz w celu zaproponowania modelu analitycznego modelu, przeprowadzimy analizę danych po przez :

  1. funkcję liniową

  2. funkcję Tőrnqista

Ad.1

Parametry funkcji liniowej, przedstawionej poniżej :

0x01 graphic

będziemy szacować za pomocą MNK. Wektor parametrów rozwiązania obliczamy wg wzoru:

0x01 graphic

za macierz X podstawiamy Wydatki ogółem.Macierz Y otrzymujemy przypisując do niej wydatki na odzież i obuwie.

0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic
Kolejnym krokiem jest transpozycja macierzy X :

0x01 graphic
0x01 graphic

Macierz XT mnożymy przez macierz X otrzymując macierz:

0x01 graphic

Obliczamy wyznacznik macierzy, który dla tego przypadku wynosi: 20900000 . Macierz odwrotna istnieje, więc przedstawiamy ją poniżej:

0x01 graphic

Następnym krokiem jest obliczenie ilorazu XTY, wynosi on:

0x01 graphic

Ostatnim krokiem w celu obliczenia wektora rozwiązań równania jest obliczenie iloczynu macierzy (XTX)-1(XTY)

0x01 graphic

Powyższa macierz jest macierzą parametrów naszego równania. Możemy przypisać odpowiednio

0x01 graphic
oraz 0x01 graphic

Uzyskujemy dzięki temu równanie o parametrach:

0x01 graphic
0x01 graphic

Kolejnym analizy, jest oszacowanie parametrów rozkładu składnika losowego pozwalające wnioskować o dobroci dopasowania modelu do danych empirycznych. Do pierwszego parametru należą średnie błędów szacunku estymatorów modelu. Należy obliczyć najpierw wariancje resztową 0x01 graphic
:

0x01 graphic
0x01 graphic

gdzie:

n - liczba obserwacji (dla naszego przykładu 13),

k - liczba parametrów modelu (dla naszego przypadku 2).

Obliczmy najpierw iloczyn macierzy YTY, który wynosi 201400. Iloczyn macierzy XTY mamy już obliczony powyżej, dla przypomnienia pozostaje nam obliczyć iloczyn tej macierzy i wektora rozwiązań czyli 0x01 graphic
, a wynosi on: 196605. Przejdźmy do obliczenia 0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic

Możemy już teraz przejść do obliczenia średnich błędów szacunku modelu, które liczymy wg wzoru:

0x01 graphic

gdzie cji to elementy stojące na przekątnej macierzy (XT X)-1.

Obliczamy średnie błędy szacunku dla poszczególnych parametrów strukturalnych modelu:

0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic

Model nasz możemy, więc zapisać w postaci:

0x01 graphic

Saj = (11,178) (0,0165)

W celu zbadania istotności parametrów strukturalnych modelu weryfikujemy hipotezę

0x01 graphic

wobec alternatywnej

0x01 graphic

W tym celu wyznaczamy ze statystyki

0x01 graphic

t0 dla a0, które wynosi :

0x01 graphic

oraz t1 dla a1

0x01 graphic

Z tablic rozkładu t-Studenta dla n-k stopni swobody i α = 0,05 odczytujemy: t0,05,11 =2,201.

Przedstawmy tę sytuację na wykresie:

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

Wyniki mówią nam, że parametr a0 dla którego przyjmujemy hipotezę H0 jest statystycznie różny od 0, oznacza to, że parametr ten ma wpływ na model. Parametr a1 jest istotnie różny od zera. Ma on wpływ na wielkość wydatków. Zapiszmy, więc nasz model :

0x01 graphic

Saj : (2,55) (0,14)

tj : (4,829) (6,57)

Aby sprawdzić dopasowanie oszacowanego modelu do danych rzeczywistych wyznaczamy współczynnik determinacji R2 oraz odchylenie standardowe składnika resztowego modelu s.

Odchylenie standardowe reszt jest niczym innym jak pierwiastkiem kwadratowym z 0x01 graphic
czyli

0x01 graphic

w naszym przypadku wynosi ono 20,88 i mówi nam że przeciętne odchylenie wartości empirycznych od wartości rzeczywistych wynosi 20,88 zł.

Współczynnik determinacji obliczamy wg wzoru:

0x01 graphic

n - liczba obserwacji (13)

0x01 graphic
- średnia z macierzy = 116,9231

Pozostałe wartości tego równania mamy już obliczone powyżej i po podstawieniu otrzymujemy

0x01 graphic

Model nasz jest więc słabo dopasowany do danych empirycznych, bo wyjaśnia tylko 79,75 % obserwacji. Posiadając obliczony współczynnik determinacji 0x01 graphic
możemy obliczyć współczynnik zbieżności 0x01 graphic
, który liczymy jako różnice : 1 - R2 .

0x01 graphic

Wysoka wartość współczynnik zbieżności świadczy o mało dokładnym dopasowaniu modelu do danych empirycznych. Współczynnik ten mierzy tę część całkowitej zaobserwowanej zmienności zmiennej Y, która wynika z działania czynników losowych ( przypadkowych).

Współczynnik korelacji wielorakiej, to kolejna miara dopasowania modelu do danych empirycznych. Jest on pierwiastkiem kwadratowym z R2. Dla naszego modelu:

0x01 graphic
0x01 graphic

Ostatnią miarą dopasowania modelu jest współczynnik zmienności losowej, czyli

0x01 graphic

Dla naszego modelu, uzyskujemy

0x01 graphic

Współczynnik V informuje nas , jaki procent średniego poziomu zaobserwowanej zmienności zmiennej objaśnianej Y stanowią odchylenia przypadkowe w danym równaniu trendu. Sytuacja ze statystycznego punktu widzenia jest tym lepsza im wartość V jest bliższa 0.

Współczynnik ten jest wysoki co oznacza, że cechy wykazują zróżnicowanie statystycznie istotne.

Aby odpowiedzieć na to pytanie,czy występuje autokorelacja zastosujmy statystykę

Durbina-Watsona. Musimy wykonać obliczenia pomocnicze, które przedstawiamy w tabeli poniżej.

x

yt

Yt

et

et2

et-1

et-12

et -et-1

et et-1

(et -et-1)2

100

30

64,82

-34,82

1212,66

-

-

-

-

-

150

50

70,24

-20,24

409,79

-34,82

1212,66

14,58

704,94

212,58

200

90

75,66

14,34

205,54

-20,24

409,79

34,58

-290,22

1195,78

300

80

86,50

-6,50

42,29

14,34

205,54

-20,84

-93,24

434,31

350

100

91,92

8,08

65,23

-6,50

42,29

14,58

-52,53

212,58

450

120

102,76

17,24

297,10

8,08

65,23

9,16

139,22

83,91

550

120

113,60

6,40

40,92

17,24

297,10

-10,84

110,26

117,51

600

160

119,02

40,98

1679,09

6,40

40,92

34,58

262,12

1195,78

700

140

129,86

10,14

102,75

40,98

1679,09

-30,84

415,37

951,11

900

150

151,54

-1,54

2,38

10,14

102,75

-11,68

-15,64

136,42

1000

150

162,38

-12,38

153,35

-1,54

2,38

-10,84

19,11

117,51

1050

170

167,80

2,20

4,83

-12,38

153,35

14,58

-27,20

212,58

1200

160

184,06

-24,06

579,04

2,20

4,83

-26,26

-52,86

689,59

0x08 graphic

-

-

-

4794,98

-

263,31

-

-76,60

1156,09

Dla zastosowania tej statystyki musimy zastosować poniższe wzory

0x01 graphic

co po podstawieniu naszych danych z tabeli daje nam r = -0,068

0x01 graphic

po podstawieniu danych z tabeli pomocniczej otrzymujemy d =0,241.

Z tablic wartości krytycznych statystyki Durbina-Watsona, dla α=0,05 oraz n=13 i k=2 odczytujemy odpowiednie statystyki dL=0,861 oraz du=1,562. Testujemy hipotezę

0x01 graphic

wobec hipotezy alternatywnej

0x01 graphic

Nanieśmy nasze dane na wykres.

0x01 graphic

Z powyższego wykresy wynika, że przyjmujemy hipotezę H1. W naszym modelu mamy do czynienia z dodatnią autokorelacją składników losowych.

Jesteśmy zmuszeni wprowadzić macierz 0x01 graphic
, którą określamy jako

0x08 graphic


Jest to macierz, której na przekątnej wpisujemy 1+r2 , jedynie pierwszy i ostatni element przekątnej to 1. w pola sąsiadujące z przekątną wpisujemy -r . W pozostałe pola wpisujemy 0.

Macierz Ω-1 ma wymiary 13x13 . Uwzględniając macierz Ω-1, wektor rozwiązań naszego modelu znajdziemy z wzoru:

0x01 graphic

Pierwszy człon tego równania 0x01 graphic
jest równy:

0x01 graphic

Drugi człon tego równania 0x01 graphic
jest równy:

0x01 graphic

Po wymnożeniu obu macierzy otrzymujemy nowy wektor rozwiązań modelu :

0x01 graphic

Ostatecznie model nasz możemy zapisać :

0x01 graphic

Poniżej przedstawiamy graficzną prezentację danych otrzymanych przy pomocy powyższego wzoru.

0x01 graphic

Ad.2

0x01 graphic

aby wykonać obliczenia, musimy dokonać przekształceń:

0x01 graphic

po uproszczeniu:

0x01 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

0x01 graphic

Uzyskujemy, więc macierz X w postaci:

0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic

Model ten, tak ja i poprzedni możemy obliczyć MNK, czyli wg wzoru:

0x01 graphic

Wynik naszej operacji na macierzach (XTX)-1, jest macierz:

0x01 graphic

Macierz XTY wygląda następująco:

0x01 graphic

Po wymnożeniu naszych macierzy, uzyskujemy 0x01 graphic
:

0x01 graphic

Model nasz możemy zapisać w postaci:

0x01 graphic

Kolejnym krokiem będzie obliczenie wariancji resztowej 0x01 graphic
:

0x01 graphic
0x01 graphic

gdzie:

n - liczba obserwacji (dla naszego przykładu 13),

k - liczba parametrów modelu (dla naszego przypadku 2).

Iloczyn macierzy YTY wynosi 0,002282, natomiast iloczyn 0x01 graphic
- 0,002236. Po obliczeniu uzyskujemy, więc 0x01 graphic
= 4,2054E-06.

Możemy już teraz przejść do obliczenia średnich błędów szacunku modelu, które liczymy- dla przypomnienia wg wzoru:

0x01 graphic

gdzie cji to elementy stojące na przekątnej macierzy (XT X)-1

Obliczamy średnie błędy szacunku dla poszczególnych parametrów strukturalnych modelu:

0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic

Model nasz możemy, więc zapisać w postaci:

0x01 graphic

Saj : (8,63*10-4) (0,217)

W celu zbadania istotności parametrów strukturalnych modelu zakładamy weryfikujemy hipotezę

0x01 graphic

wobec alternatywnej

0x01 graphic

W tym celu wyznaczamy ze statystyki

0x01 graphic

t0 dla a0, które wynosi :

0x01 graphic

oraz t1 dla a1

0x01 graphic

Z tablic rozkładu t-Studenta dla n-k stopni swobody i α = 0,05 odczytujemy: t0,05,11 =2,201.

Przedstawmy tę sytuację na wykresie:

0x08 graphic

Już z wykresu widzimy, że wszystkie nasze parametry modelu są istotnie różne od zera. Oszacowane przez nas parametry modelu mają istotny wpływ na wielkość wydatków. Zapiszmy nasz model w postaci:

0x01 graphic

Saj : (8,63*10-4) (0,217)

tj : (312,86) (12,67)

Aby sprawdzić dopasowanie oszacowanego modelu do danych rzeczywistych wyznaczamy współczynnik determinacji R2 oraz odchylenie standardowe składnika resztowego modelu s.

Odchylenie standardowe reszt jest niczym innym jak pierwiastkiem kwadratowym z 0x01 graphic
czyli

0x01 graphic

w naszym przypadku wynosi ono 2,05*10-3 co oznacza, że przeciętne odchylenie wartości empirycznych od wartości rzeczywistych wynosi 2,05*10-3 zł. Obliczmy 0x01 graphic
, który obliczamy wg wzoru:

0x01 graphic

n - liczba obserwacji (13)

0x01 graphic
- średnia z macierzy = 0,0110

Pozostałe wartości tego równania mamy już obliczone powyżej i po podstawieniu otrzymujemy

0x01 graphic

Model nasz jest więc bardzo dobrze dopasowany do danych empirycznych, bo wyjaśnia aż 93,58 % obserwacji. Posiadając obliczony współczynnik determinacji 0x01 graphic
możemy obliczyć

współczynnik zbieżności 0x01 graphic
, który liczymy jako różnice : 1 - R2 .

0x01 graphic

Niska wartość współczynnik zbieżności świadczy o dokładnym dopasowaniu modelu do danych empirycznych.

Współczynnik korelacji wielorakiej, jest on pierwiastkiem kwadratowym z R2. Dla naszego modelu:

0x01 graphic
0x01 graphic

Ostatnią miarą dopasowania modelu jest współczynnik zmienności losowej, czyli

0x01 graphic

Dla naszego modelu, uzyskujemy

0x01 graphic

Współczynnik ten jest wysoki co oznacza, że cechy wykazują zróżnicowanie statystycznie istotne.

Zastosujmy statystykę Durbina-Watsona dla Yt. wg wzoru:

0x01 graphic

gdzie 370,37 to 0x01 graphic

a 1018,18 to β - wartość otrzymana z proporcji 2,7491= β / 370,37

Musimy wykonać obliczenia pomocnicze, które prezentujemy w tabeli poniżej.

x

yt

Yt

et

et2

et-1

et-12

et -et-1

et et-1

(et -et-1)2

100

30

33,123

-3,12

9,75

-

-

-

-

-

150

50

47,557

2,44

5,97

-3,12

9,75

5,57

-7,63

30,97

200

90

60,807

29,19

852,23

2,44

5,97

26,75

71,31

715,57

300

80

84,291

-4,29

18,41

29,19

852,23

-33,48

-125,27

1121,19

350

100

94,746

5,25

27,61

-4,29

18,41

9,55

-22,55

91,11

450

120

113,52

6,48

42,00

5,25

27,61

1,23

34,05

1,51

550

120

129,9

-9,90

97,97

6,48

42,00

-16,38

-64,15

268,27

600

160

137,33

22,67

514,00

-9,90

97,97

32,57

-224,40

1060,78

700

140

150,89

-10,89

118,63

22,67

514,00

-33,56

-246,93

1126,49

900

150

173,78

-23,78

565,28

-10,89

118,63

-12,88

258,96

166,00

1000

150

183,52

-33,52

1123,38

-23,78

565,28

-9,74

796,88

94,89

1050

170

188,03

-18,03

325,23

-33,52

1123,38

15,48

604,45

239,71

1200

160

200,36

-40,36

1629,27

-18,03

325,23

-22,33

727,94

498,63

0x08 graphic

-

-

-

5329,73

-

3700,46

-

1802,65

5415,13

Dla obliczenia tej statystyki musimy zastosować poniższe wzory

0x01 graphic

co po podstawieniu naszych danych z tabeli daje nam r = 0,406

0x01 graphic

po podstawieniu danych z tabeli pomocniczej otrzymujemy d =1,016.

Z tablic wartości krytycznych statystyki Durbina-Watsona, dla α=0,05 oraz n=13 i k=2 odczytujemy odpowiednie statystyki dL=0,861 oraz du=1,562.

Testujemy hipotezę

0x01 graphic

wobec hipotezy alternatywnej

0x01 graphic

Nanieśmy nasze dane na wykres.

0x01 graphic

W naszym przypadku (dla tego modelu ) nie możemy odpowiedzieć na pytanie o występowanie autokorelacji. Dla tego modelu mamy zbyt małą liczebność próby, by odpowiedzieć na to pytanie.

Nanieśmy jeszcze nasze dane uzyskane za pomocą ekstrapolacji naszą funkcją na wykres.

0x01 graphic

Wadą pierwszego modelu jest występowanie autokorelacji składników losowych. Występuje tu też wyższy niż w innych prezentowanych modelach współczynnik zmienności losowej V.

Ogólne miary dopasowania świadczą o tym, że to drugi model ,model funkcji Tőrnqista jest najlepiej dopasowany do danych empirycznych. Model ten również ma najniższy błąd standardowy s czyli przeciętne odchylenie ilości rzeczywistej od ilości wyznaczonej na podstawie modelu. Z tego powodu model ten w postaci:

0x01 graphic

uznaliśmy za dobry i wybraliśmy go jako końcowy efekt naszej pracy.

15

H1

H1

H0

tj

t1=6,57

t0=4,829

tα

-tα

0x01 graphic

0x01 graphic

t0=312,86

t1=12,67

tα

-tα

tj

H0

H1

H1

0x01 graphic



Wyszukiwarka