Rozwiazania wektory 1, Automatyka i robotyka air pwr, air, 1 rok, AiR 1 semestr


Rozwiązania zdań

Wektory. Iloczyn skalarny.

1. Dane są punkty 0x01 graphic

(a) Znaleźć wektory 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, gdzie 0x01 graphic
- środek odcinka 0x01 graphic
.

a = [-2-(-2); -1-3] = [0;-4], b = [6;0], c = [6;-4], M((-2+(-2))/2; (3+(-1))/2) = (-2;1),
d = [0;2].

W przypadku, gdy punkty 0x01 graphic
są punktami płaszczyzny Oxy to ich współrzędne w przestrzeni R3 są odpowiednio równe 0x01 graphic
Wtedy

a = [0;-4;0], b = [6;0;0], c = [6;-4;0], M((-2+(-2))/2; (3+(-1))/2;(0+0)/2) = (-2;1;0),
d = [0;2;0].

(b) Obliczyć długości wektorów 0x01 graphic
,0x01 graphic
.

0x01 graphic

(c) Obliczyć iloczyny skalarne 0x01 graphic

0x01 graphic

(d) Znaleźć wektor 0x01 graphic
, 0x01 graphic
,
0x01 graphic
,

0x01 graphic

(e) Znaleźć wektor jednostkowy (wersor) równoległy do 0x01 graphic

0x01 graphic

Znaleźć kąty 0x01 graphic
pomiędzy wektorami, odpowiednio, 0x01 graphic
.

0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic

Znaleźć 0x01 graphic
.

0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic

Znaleźć wektor 0x01 graphic
taki, że 0x01 graphic
.

0x01 graphic

Znaleźć punkt 0x01 graphic
taki, że 0x01 graphic
=0x01 graphic

Nieznane współrzędne punktu D oznaczmy przez (x,y). Wtedy wektor 0x01 graphic
=[x-(-2);y-1].
Warunek 0x01 graphic
=0x01 graphic
przekształca się w równość wektorów
[x-(-2);y-1] = 0x01 graphic
=0x01 graphic
= [0-18;-8].
Ta równość wektorowa jest równoważna równości odpowiednich współrzędnych

0x01 graphic

Punkt D ma współrzędne (-20;-7).

2. Oblicz współrzędne wierzchołków CD równoległoboku ABCD, jeżeli A=(2,3), B=(5,-1) a przekątne przecinają się w punkcie M=(4,1).

0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic

A

Z rysunku wynikają podstawowe związki wektorowe:

0x01 graphic
= 20x01 graphic
, 0x01 graphic
= 20x01 graphic
,

Gdy nieznane współrzędne punktu C oznaczmy przez (x,y), związek 0x01 graphic
= 20x01 graphic
przyjmie formę

[x-2;y-3]= 2*[4-2;1-3] = [4;-4] .

Stąd x=6, y=-1

Gdy nieznane współrzędne punktu punku D oznaczmy przez (u,v), związek 0x01 graphic
= 20x01 graphic

przyjmie formę

[u-5;v-(-1)] = 2*[4-5;1-(-1)] = [-2;4].

Stąd u=3, v=3

3. Dla jakich liczb m, k wektory [2,-5] i [2m-3, 3k+4] są przeciwne.

Przeciwieństwo wektorów [2,-5] , [2m-3, 3k+4] oznacza że

-[2,-5] = [2m-3, 3k+4] .

Porównując współrzędne 0x01 graphic

4. Udowodnij równość 0x01 graphic
i podaj jej interpretację geometryczną.

0x01 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

Z twierdzenia cosinusów dla trójkąta ABC wynika, że

0x01 graphic

Oznacza to, że

0x01 graphic

Z twierdzenia cosinusów dla trójkąta ABD wynika, że

0x01 graphic

Oznacza to, że

0x01 graphic

Ponieważ kątB = π- kątA , więc 0x01 graphic
.

0x01 graphic
=0x01 graphic
+ 0x01 graphic
=0x01 graphic
+ 0x01 graphic
= 0x01 graphic

5. Mamy dane : 0x01 graphic
Wiedząc, że kąt między tymi wektorami wynosi 0x01 graphic
, oblicz , korzystając z tw. cosinusów długość sumy tych wektorów.

0x01 graphic
= 9+25-3*5*1/2 = 26,5 0x01 graphic

6. Dla jakiej liczby a wektory [2a+3, a-2] , [ a-4, 3a] są prostopadłe ?

Korzystamy z twierdzenia

(a0x01 graphic

[2a+3, a-2] ۰[ a-4, 3a] = (2a+3 )* (a-4 )+(a-2)*(3a) = (2a2-5a-12)+(3a2-6a) = 5a2-11a-12 = 0

Rozwiązując równanie

5a2-11a-12 = 0 0x01 graphic
, a1=(11-19)/10 = -0,8 , a2= 3

7. Dane są punkty A=(2,4) i B=(-3,2). Znaleźć punkt X , który dzieli odcinek AB w stosunku 0x01 graphic
.

Nieznane współrzędne punktu X oznaczmy przez (x,y). Wtedy wektor 0x01 graphic
.
Ponieważ punkt X , który dzieli odcinek AB w stosunku 0x01 graphic
. Oznacza to, że 0x01 graphic
.

Stąd

0,4*[-5;-2] = [x-2;y-4] 0x01 graphic

Dane są punkty 0x01 graphic

0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic

(a) Znaleźć wektory 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, gdzie 0x01 graphic
- środek odcinka 0x01 graphic
.

a = [-2-(-1);-1-(-2);4-3] = [-1;1;1] , b = [6;0;-3] , c = [5;1;-2]

M ((-1+(-2))/2;(-2+(-1))/2;(3+4)/2) = (-(3/2);-(3/2);7/2),

d= [-1/2;1/2;1/2]

(b) Obliczyć długości wektorów 0x01 graphic

0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic

(c) Obliczyć iloczyny skalarne 0x01 graphic
, 0x01 graphic
.

0x01 graphic
, b۰c = 36, a۰c = =6, a۰d = 1/2,

(d) Znaleźć wektor 0x01 graphic
, 0x01 graphic
.

0x01 graphic
= 2[-1;1;1] +(-3) [6;0;-3] + [5;1;-2] = [-2;2;2] + [-18;0;9] + [5;1;-2] = [-15;3;-9]

0x01 graphic
= [3/2-2-20;-3/2+2-4;-3/2+2+8] = [-201/2;1-41/2;81/2]

0x08 graphic
(e) Znaleźć wektor jednostkowy (wersor) równoległy do 0x01 graphic

wb= = [0x01 graphic
]

(f) Znaleźć kąty 0x01 graphic
pomiędzy wektorami, odpowiednio, 0x01 graphic

cos α = 0x01 graphic
= 0x01 graphic
, cos β = 0x01 graphic
, cos γ = 0x01 graphic
,

(g) Znaleźć 0x01 graphic

0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic

(h) Znaleźć wektor 0x01 graphic
taki, że 0x01 graphic
.

Od strony formalnej wektor 0x01 graphic
nie istnieje, gdyż nie można wykonywać działań na wektorach w różnych przestrzeniach. (na różnej ilości współrzędnych wektorów).

Z drugiej strony wektor [3;-2] często oznacza wektor leżący w płaszczyźnie Oxy podprzestrzeni R3. Wtedy jego jego trzecia współrzędna w R3 jest równa 0.

Wówczas równanie 0x01 graphic
ma postać 0x01 graphic
i usunięte zostały formalne przeszkody w rozwiązaniu tego równania wektorowego.

-4x = [3:-2;0]-3a-2d ↔ x = (-1/4)( [3:-2;0]-3a-2d ) = [0x01 graphic
] =

[-7/4;3/2;1]

(i) Znaleźć punkt 0x01 graphic
taki, że 0x01 graphic
=0x01 graphic
.

Nieznane współrzędne punktu D oznaczmy przez (x,y,z). Wtedy wektor 0x01 graphic
.

0x01 graphic
=0x01 graphic
= 2a-3b = [-20;2;11}

Porównując współrzędne 0x01 graphic


2. Dany jest wektor 0x01 graphic
. Obliczyć 0x01 graphic
.
0x08 graphic
=0x01 graphic
=

0x08 graphic
3* = 3*0x01 graphic

3. Dane są wektory 0x01 graphic
, 0x01 graphic
0x01 graphic
. Obliczyć 0x01 graphic
.

0x08 graphic
= 0x01 graphic
= 0x01 graphic

4. Dla jakich liczb m, k wektory [2,-5,-7] i [2m-2, 3k-2,-3m+k ] są przeciwne.

Przeciwieństwo wektorów [2,-5,-7] , [2m-3, 3k+4,-3m+k] oznacza że

-[2,-5,-7] = [2m-3, 3k+4,-3m+k].

Porównując współrzędne 0x01 graphic
otrzymujemy sprzeczny układ równań.

Nie istnieją takie liczby m, k by wektory [2,-5,-7] i [2m-2, 3k-2,-3m+k ] były przeciwne

5. |a| = 4 , |b| = 4 , < a,b = π/3. Oblicz:

a) |4a-3b|

|4a-3b|2 = (4a-3b)۰ (4a-3b) = 16(a۰a) - 12(a۰b) - 12(b۰a) +9(b۰b) = 16|a|2 -24|a||b|cos< a,b +9|b|2 = 16*16 - 24*4*4*1/2+ 9*16 = 16*(16 -12+9)= 208 → |4a-3b| = 0x01 graphic

b) (2a+3b)۰(-4a+5b)

(2a+3b)۰(-4a+5b) = -8(a۰a)-2(a۰b)+15(b۰b) = -8*16-2*4*4*1/2+15*16 = 16*6 = 96

6. Dla jakiego m wektory [m+1;m-1;2], [3;2m;-5] są prostopadłe?


Prostopadłość wektorów [m+1;m-1;2], [3;2m;-5] jest równoważna temu, że

([m+1;m-1;2]۰ [3;2m;-5]) = 0 = 3*(m+1)+ m*(m-1) -10 = m2+ 2m+3 = 0.

Równanie m2+ 2m+3 = 0 nie ma rozwiązań, gdyż jego ∆= 4-12<0

7. Dane są punkty A(2-m;3;m+1), B(2;m-1;4), C(2;m;-1). Dla jakiego m wektory
0x01 graphic
są prostopadłe?
Prostopadłość wektorów 0x01 graphic
jest równoważna temu, że 0x01 graphic
.

0x01 graphic
= [ 2-(2-m);m-1-3;4-(m+1)] = [m;m-4;-m+3], 0x01 graphic
= [m;m-3;-m-2].
0x01 graphic
≡ [m;m-4;-m+3]۰ [m;m-3;-m-2] = m2+(m-4)*(m-3)+(-m+3)*(-m-2) =
3m2-7m-m-6 = 3m2-8m-6 = 0

∆= 64+72 = 136 stąd 0x01 graphic
, 0x01 graphic
.

8. |a| = 2 , |b| = 4 , < a,b = π/4. Dla jakiego t wektory 3a-tb , a są prostopadłe?

Prostopadłość wektorów 3a-tb , a jest równoważna temu, że (3a-tb)۰a = 0 .

0 = (3a-tb)۰a = 3a۰a- ta۰b = 3|a|2- t*|a|*|b|*cos< a,b = 12 -4t*0x01 graphic
. Stąd

0x01 graphic
.

9. Dla jakich m wektory [m+2;m-1;3], [4m;m;3m] sa równoległe?

Równoległość wektorów [m+2;m-1;3], [4m;m;3m] jest równoważna temu, że

[m+2;m-1;3] = t[4m;m;3m] = [4tm;tm;3tm].

Porównując współrzędne 0x01 graphic
otrzymujemy tm = 1, m=2 .

C

D

M

B

D

C

a+b

a

a-b

B

A

b

A3

b

c

d

a

A1

M

A2

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic



Wyszukiwarka