Zadanie1. (Zad. 6, zestaw 1)

W gospodarwstwie doświadczalnym ustalono, że karma dla zwierząt jest odpowiednia tylko wówczas, gdy każde z nich otrzyma w racji dziennej nie mniej niż:60 j. białka, 120 j. cukrów oraz 40 j. tłuszczów. Zawartość poszczególnych składników w dwóch produktach przedstawia tabelka.

Składniki	P1	P2
Białko	20	10
Cukry	20	40
Tłuszcze	0	40

Cena jednego kg karmy wynosi: P₁ - 5 zł, P₂ - 6 zł. Należy ustalić jaką ilość karmy każego rodzaju należy podawać dziennie, aby zachować jej optymalny skład oraz zminimalizować koszty zakupu.

Rozwiązanie:
:

K(x) = 5x₁ + 6x₂ → MIN

Odp. Należy podać 2 kg karmy P₁ i 2 kg karmy P₂, aby zachować optymalny skład, najmniejszym możliwym kosztem (22 zł dziennie).

Zadanie 2 ( Zad. 9, zestaw 1)

Tartak otrzymał zamówienie na wykonanie co najmniej 300 kompletów belek. Każdy komplet składa się z 7 belek o długości 0,7 m oraz 4 belek o długości 2,5 m. W jaki sposób powinno być realizowane zamówienie, aby odpad powstały w procesie cięcia dłużyc o długości 5,2 m był minimalny? Ile wyniesie wielkość odpadu przy minimalnym cięciu?

Rozwiązanie:

Długości belek	Sposoby cięcia dłużyc			Wymagana liczba belek
		1	2		3
0,7	0	3	7	2100
2,5	2	1	0	1200
Odpad	0,2	0,6	0,3

Model matematyczny

Model dualny

Miejsca zerowe

Dla:
	-
			-

Koordynaty punktu P₂

Warunek
I		Spełniony słabo (0,2= 0,2)
II		Spełniony ostro
III		Spełniony słabo (0,3= 0,3)

Odpowiedź:

Minimalna liczba dłużyc, które trzeba pociąć to 1172 sztuki w tym: 996 sztuk na sposób 1, 8 sztuk na sposób 2 i 168 sztuk na sposób 3.

Minimalna ilość odpadów to 254,4 metrów bieżących odpadów.

Zadanie 3. (Zad. 3, zestaw 2)

W przedsiębiorstwie wytwarza się dwa wyroby (A i B) zużywając w procesie produkcyjnym 3 czynniki produkcji (S₁, S₂, S₃). Normy zużycia poszczególnych czynników produkcji na jednostkę każdego wyrobu oraz ich zasoby przedstawia poniższa tabela.

Czynnik produkcji	Wyrób		Zasób
		A		B
S1	1	1	12
S2	2	4	42
S3	1	0	11

1. Wiedząc, że zyski jednostkowe ze sprzedaży obu wyrobów wynoszą odpowiednio 3 zł i 4 zł;

2. Sformułuj zagadnienie pierwotne i dualne;

3. Wyznacz wielkości produkcji obu wyrobów, które maksymalizują zysk przedsiębiorstwa - użyj metody simplex;

4. Oblicz maksymalny zysk przedsiębiorstwa;

5. Zadecyduj, czy zasoby wszystkich czynników produkcji zostaną całkowicie wykorzystane; jeśli nie, to podaj ich nazwy i określ niewykorzystane wielkości;

6. Sporządź rysunek ilustrujący rozwiązanie problemu.

Rozwiązanie:

Model matematyczny (pierwotny)

Model pierwotny (postać kanoniczna)

Model dualny

d)Model dualny (postać kanoniczna)

Startowa tablica simpleksowa

Baza							Wyraz wolny	Iloraz
				3	4	0			0	0
	0	1	1	1	0	0	12	12
	0	2	4	0	1	0	42
	0	1	0	0	0	1	11
		0	0	0	0	0	0
		3	4	0	0	0

Do bazy wchodzi x₂ a wychodzi s₂.

Druga iteracja

Baza							Wyraz wolny	Iloraz
				3	4	0			0	0
	0		0	1		0		3
	4		1	0		0		21
	0	1	0	0	0	1	11	11
		2	0	0	1	0	42
		1	4	0	-1	0

Do bazy wchodzi x₁ a wychodzi s₁.

Trzecia iteracja

Baza							Wyraz wolny	Iloraz
				3	4	0			0	0
	3	1	0	2		0	3
	4	0	1	-1		0	9
	0	0	0	-2		1	8
		3	4	2		0	45
		0	0	-2		0

Odpowiedź:

Przedsiębiorstwo maksymalizuje swój zysk sprzedając 3 sztuki wyrobu A i 9 sztuk wyrobu B. Dla takiej sprzedaży zysk wynosi 45zł. Wielkość niewykorzystanych czynników produkcji to 8 sztuk surowca S₃.

Rozwiązanie graficzne

Zadanie 4. (Zad. 4, zestaw 2)

Przedsiębiorstwo może wytwarzać 3 typy maszyn A, B, C zużywa przy tym m. in. energie (220 kWh) tygodniowo i stal (160 kg tygodniowo). Jednostkowe zapotrzebowanie na energię i stal oraz zysk ze sprzedaży gotowych wyrobów przedstawia tabela:

Maszyna	A	B	C	Ograniczenia
Energia	3	2	4	220 (kWh)
Stal	1	5	2	160 (kg)
Przychód	11	16	5

Zakład zainteresowany jest maksymalizacja swego przychodu

1. Sformułuj problem w postaci zadania programowania liniowego,

2. Sformułuj i rozwiąż zadanie dualne. Zinterpretuj wartości optymalnych zmiennych dualnych,

3. Na podstawie rozwiązania zadania dualnego ustal optymalny plan produkcji. Ile wynosi optymalna wartość funkcji celu?,

4. jak należałoby sformułować zadanie, jeśli maszyny sprzedawane by było
   w zestawach, a na każdy zestaw składałyby się 1 maszyna A, 2 maszyny B
   i 3 maszyny C.

Rozwiązanie:

Model pierwotny

Postać kanoniczna

Model dualny

Postać kanoniczna

Startowa tablica simpleksowa (model pierwotny)

Baza							Wyraz wolny	Iloraz
				11	16	5			0	0
	0	3	2	4	1	0	220	110
	0	1	5	2	0	1	160	32
		0	0	0	0	0	0
		11	16	5	0	0

Wchodzi x₂ a wychodzi s₂.

Druga iteracja

Baza							Wyraz wolny	Iloraz
				11	16	5			0	0
	0		0		1		156	60
	16		1		0		32	160
			16		0		512
			0		0

Wchodzi x₁ a wychodzi s₁.

Trzecia iteracja

Baza							Wyraz wolny	Iloraz
				11	16	5			0	0
	11	1	0				60
	16	0	1				20
		11	16	16	3	2	980
		0	0	-11	-3	-2

Odpowiedź:

Przedsiębiorstwo maksymalizuje swój przychód wytwarzając 60 sztuk wyrobu A i 20 sztuk wyrobu B. Przychód przy takiej kombinacji wynosi 980zł. Produkcja wyrobu C jest nie opłacalna.

Zadanie dualne

Wnioski:

Jeżeli zwiększymy zasoby Energii to wartość pierwotnej funkcji celu wzrośnie o y₁=3. Natomiast jeśli zwiększymy zasoby Stali to wartość pierwotnej funkcji celu wzrośnie o y₂=2 jednostki.

Zestaw 1A , 2B i 3C

Zadanie 5. (Zad. 5, zestaw 2)

Zakład może produkować dwa wyroby zużywając dwa środki produkcji. Normy zużycia przedstawia tabela:

	W1	W2	Zasób
S1	2	2	60
S2	6	3	120
Cena ($)	5	4

Całą nadwyżkę S₂ można sprzedać uzyskując cenę 1$ za jednostkę.

1. Sformułuj problem postaci ZPL, jeśli wiadomo, że zakład maksymalizuje osiągany przychód;

2. Podaj optymalną wartość funkcji celu. O ile zmieni się ta wartość jeśli zasób W₁ wzrośnie o 2 jednostki?

Rozwiązanie:

Model matematyczny

Postać kanoniczna

Model dualny

X₁

X₂

P₁=[0,6]

P₂=[2,2]

P₃=[4,1]

P₁=[0, 0.1]

Y₁

Y₂

P₃=[3/70, 0]

P₂=[3/70, 0.1]

C₁

X₂

X₁

C₂

C₃

P₃[0,10.5]

P₅[11,0]

P₆[3,9]

P₇[11,1]

Z[3,4]

---