46Definicja i równanie toru cząstki

torem elementu płynu nazywamy krzywą opisaną przez poruszającą się cząstkę

element toru:

d r(dx,dy,dz) ,

dt- czas potrzebny na przebycie drogi dr,

wówczas:

dr/dt=r(t)= V(x,y,z,t)

dx/Vx(x,y,z,t)=dt dla y i z tak samo. dt-> jest tutaj zmienna niezależną ( taką samą)

w równaniu tym czas występuje jako parametr, od którego zależą wartość Vx, Vy,Vz

Każdy tor jest związany z jednym elementem płynu.

47Definicja i równanie linii prądu

Równanie lini prądu: wyrażające warunek równoległości wektorów V i dr w każdym punkcie pola dla dowolnej chwili, możemy zapisać w postaci:

W mechanice płynów linia styczna w każdym punkcie do kierunku prędkości cząstki płynu. Linie prądu są liniami wektorowego pola prędkości płynu.

Wektory prędkości płynu są zawsze styczne linii prądu. Wyraża to tzw. równanie linii prądu:

gdzie: ux=Vx, uy=Vy, uz=Vz są składowymi wektora prędkości płynu w kartezjańskim układzie współrzędnych(x,y,z) .

Porównanie toru i lnii prądu: Każdy tor jest związany z 1 elementem płynu, natomiast linia prądu wskazuje prędkość różnych cząsteczek w tej samej chwili.

punkt osobliwy- punk w którym przecina sie kilka ( nieskońzenie wiele) lini prądu

punkt krytyczny- punkt na lini prądu w którym linia prądu ma prędkość równą zero.

Jeżeli przez zamknięty kontur poprowadzimy linie prądu, to w rezultacie otrzymamy powierzchnię prądu zwaną rurką prądu

struga prądu- zbiór lini prądu wypełniających w sposób ciągły rurkę prądu

Elementarna struga prądu- taka struga, której pole przekroju poprzecznego jest nieskończnie małe.

48Pojęcie ruchu potencjalnego i wirowego, 49 równanie lini wirowej

ruch potencjalny:

przepływ potencjalny - jest to przepływ, gdzie rot V=W=2w=0

Analityczny warunek:

δVz/δy=δVy/δz, δVx/δz=δVz/δx, δVy/δx=δVx/δy

powyższe warunki powodują istnienie w obszarze bezwirowego przepływu pewnej funkcji

ϕ (x,y,z), wzglednie ϕ(x,y,z,t) 0 dla przepływu nieustalonego, takiej , żę:

Vx=δ ϕ/δx itd.

czyli V=grad ϕ

W każdym punkcie pola potencjał prędkośći ma zazwyczaj inna wartość. Całkowita zmiana potencjalu dwóch sąsiednich cząsteczek jest określona różniczką zupełna d ϕ, czyli

dϕ= δϕ/δx *dx + δϕ/δy * dy+δϕ/δz *dz

miejsce gdzie d ϕ=0 -> powierzchnia jednakowego potencjału.

dϕ=Vx*dx+Vy*dy+Vz*dz

ruch wirowy:

składowe prędkości kątowej są różne od zera

ωx=/0, ω y=/0 ,ω z=/0 , gdzie ω = małe omega ( brak symbolu !!)

ruch wirowy jest określony polem wektorowym prędkośći kątowej chwilowego obrotu w zwanym polem wirowym.

z polem wirowym wiąże się: pojęcie

a)lini wirowej- linia pola wektorowego rotacji rot V = 2 ω = W <-wszystko wektory

wektor wiru jest równy podwojonemu wektorowi prędkośći katowej obrotu elementu płynu i podobnie jak w jest wektorem leżącym stale na chwilowej osi obrotu elementu.

równanie linii wirowej:

podobnie jak linie prądu tworzą powierzchnie prądu, tak linie wirowe tworzą powierzchnię. taka ( płąszczyzna przecinająca prostopadle )

b)rurki wirowej-

Jeżeli przez każdy punkt krzywej zamkniętej poprowadzimy linie wirowe, to linie te utworza rurke wirowa.

nieskończneie mała rurka wirowa tworzy elementarną rurkę wirową

Rurka wirowa wraz z liniami wirowymi znajdującymi się wewnątrz niej nazywa się strugą wirową. Jeżeli krzywa jest zamknięta nieskończenie małym konturem, linie wirowe przechodzprzez ten kontur tworzą elementarną strugę wirową/

51Równanie ciągłości ruchu jednowymiarowego i ogólnego (niedokończone)

należy się tu oprzeć na zasadzie zachowania masy. W płynie nieściśliwym (p=const) tylko takie pole prędkośći będzie spełniało tę zasadę, w którym w każdej chwili do obszaru ograniczonego powierzchnia kontrolna będzie wpływało tyle płyniu, ile w tej samej chwili wypływa.

Warunek ten jset zatem identyczny dla przepływów ustalonych i nieustalonych.

Dla płyny ściśliwego: również jest zachowanu warunek zachowania masy, dla przepływu ustalonego, bo masa zawarta wewnatrz powierzchni kontrolnej jest niezmienna w czasie.

Dla przepływu nieustalonego: z upływem czasu gęstość moze ulegać lokalnym zmianom, co może wywołąć zmianę masy płynu objętej powierzchnią kontrolną.

52Równanie Bernoulliego ruchu jednowymiarowego

Ec= Ep + E p' + Ek

Energia potencjalna polożenia

Ep= dm g z1= ρ * V gz1= ρ* A*ds*g*z1=ρ*A*v*dt*g*z1=ρQdt g z1

Energia potencjalna ciśnienia:

Ep=F*ds=p*dA*ds=p*Q*dt

Energia kinetyczna

Ek=(mv^2)/2 = 1/2(ρ*V ) *v^2= 1/2(ρ* ds*A)*v^2=1/2* (ρ *Q dt) v^2

Ec1=Ep1+Epp1+Ek1

Ec2=Ep2+Epp2+Ek2

Ec1=Ec2

ρgz1+p1+ρ(v1^2)/2=ρgz2+p2+ρ(v2^2)/2

postać wysokościowa:

53. Interpretacja graficzna równania Bernoulliego

Linai energii jest linia prosta zgodnie z zależnoscia z+ p/ρg + V^2/2g = H = const.

Przebieg osi strugi i lini ciśnień natomiast zależy od położenia strugi względem poziomu odniesienia oraz kształtu strugi.

56 Rurka Prandtla - schemat, przeznaczenie, wzory obliczeniowe

Rurka Prandtla - przyrząd do pomiaru prędkości przepływu płynu poprzez pomiar ciśnienia w przepływającym płynie (cieczy oraz gazów).

Składa się on z dwóch osadzony w sobie rurek, z czego pierwsza wewnętrzna służy do badania ciśnienia całkowitego płynu, natomiast zewnętrzna do badania ciśnienia statycznego.

Rurka poprzez otworek na półkulistym nosku rurki mierzy ciśnienie całkowite p1 (ciśnienie spiętrzenia), a poprzez otwór w powierzchni bocznej oddalony od przodu rurki, ciśnienie statyczne p2.

57 Pomiar strumienia przepływu metodą zwężkową

Rozpisujemy tu równanie Bernouliego, przyjmując poziom porównawczy z linia przerywaną

v2=[2(p2-p1)/ρ(1-(d2/d1)^2)]^1/2

oraz Równanie ciągłości

A1*v1=A2*V2

58. Prędkość wypływu cieczy przez mały otwór

59. Zjawisko kontrakcji strugi, współczynniki prędkości, kontrakcji i wypływu

kontrakcja strumienia: obserwując strumień wypływający przez otwór ostro bieżny, stwierdzamy, że pole przekroju strumienia Ac w pewnej odległości (na ogół równej ½ średnicy otworu) od otworu wylotowego jest mniejszy od pola otworu A. Zjawisko to powodują siły bezwładność

współczynnik kontrakcji: ϰ=Ac/A - zależy od liczby reynoldsa, kształtu i usytuowania otworu wypływowego

współczynnik prędkości : φ=vr/v , gdzie Vr- prędkość rzeczywista, V- teoretyczna prędkość

współczynnik wypływu: Rzeczywiste natężenie wypływu obliczamy z zależnosci:

Q=vr*Ac= φv * ϰ A=μ vA μ=φϰ <-współczynnik wypływu.