WSTĘP
Zgodnie z hipotez --> [Author:AG] ą de Brogle'a każdej mikro cząsteczce przypisuje się falę materii . Falę stowarzyszoną z cząsteczką opisuje równanie Schrodingera .
-
-Rozwiązania
te istnieją jeżeli n, l, ml są równe pewnym liczbom całkowitym , które to nazywamy liczbami kwantowymi .
n - główna liczba kwantowa
l - orbitalna liczba kwantowa
m - magnetyczna liczba kwantowa
Dla atomów wieloelektronowych obowiązuje zasada zwana Zakazem Pauliego - która mówi ,że w danym atomie żadne dwa elektrony nie mogą mieć tego samego zespołu liczb kwantowych. Dzięki temu można ustalić konfigurację elektronową danego atomu.
Tworzenie się pasm w ciałach stałych:
Gdy odległość między atomami stopniowo maleje zewnętrzne elektrony dwóch atomów zaczynają oddziaływać ze sobą ,powodując rozszczepienie pojedynczego poziomu energetycznego na dwa podpoziomy. Zbliżenie atomów powoduje obniżenie barier potencjalnych i zmniejszenie ich szerokości. Dlatego elektrony 3s mają możliwość swobodnego poruszania się od jednego atomu do drugiego.W krysztale złożonym z N atomów, każdy pojedynczy poziom energetyczny w izolowanym atomie rozszczepia się na N bardzo blisko siebie leżące podpoziomy tworząc pasmo. Szerokość pasma zależy głównie od odległości międzyatomowych w krysztale. Pasmo odpowiadające pierwszemu stanowi wzbudzenia w atomie kryształu nazywa się pasmem przewodnictwa , które w danej chwili może być puste , lub obsadzone. Pomiędzy pasmem przewodnictwa a walencyjnym jest pasmo wzbronione inaczej przerwa energetyczna, której szerokość Eg jest różna dla różnych kryształów. Zewnętrzne pole elektryczne przyłożone do kryształu może tylko wpłynąć na ruch elektronów w paśmie niewypełnionym całkowicie . W paśmie wypełnionym całkowicie nie ma wolnych poziomów i elektron nie może zmieniać swojego ruchu. Przyjmuje się ,że kryształ jest półprzewodnikiem jeżeli Eg < 3eV po wyżej tej granicy mamy do czynienia z dielektrykami.
Statystyka Maxwella-Boltzmana i Fermiego Diraca.
Układ jako całość nie
zależy od zachowania się poszczególnych cząstek ,a jego zachowanie podlega prawom statystycznym. Znając funkcję rozkładu energii można za jej pomocą obliczyć średnią wartość energii ,natomiast z funkcji rozkładu prędkości znajdujemy prędkość średnią. Funkcja rozkładu dla elektronów i innych cząsteczek o spinie połówkowym podana przez Fermiego Diraca ma postać:
Ef - energia Fermiego
Cząsteczki podlegające temu rozkładowi nazywamy fermionami.Dla T=0K i temperatur wyższych gdy E>Ef f(E)=1oznacza to ,że poziomy położone powyżej pewnego poziomu zwanego poziomem Fermiego w temp.0K nie są zajęte przez elektrony (prawdopodobieństwo obsadzeń=0) natomiast poziomy położone poniżej poziomu Fermiego są całkowicie zajęte (prawdopodobieństwo obsadzeń=1) Poziom Fermiego jest to więc najwyższy poziom zajęty przez elektrony w metalu w temp. 0K, a energia Fermiego jest max. energią jaka może mieć elektron w metalu w temp. 0K.
Zachowanie zwykłego gazu dla którego nie obowiązuje Zakaz Pauliego opisuje funkcja rozkładu Boltzmanna:
- potencjał chemiczny
f(E) ma max. dla E=0 i zbliża się asymptotycznie do zera ,dla E największe prawdopodobieństwo zapełnienia posiadają stany o niskich energiach w miarę wzrostu temp. prawdopodobieństwo obsadzenia stanów maleje.
W wysokich temp. funkcja F-D przechodzi w funkcję M-B. Z funkcji M-B można znaleźć średnią energię cząstki prędkość średnią kwadratową. Cząstki opisane statystyką F-D - fermiony nazywamy gazem zwyrodniałym (zdegenerowanym) w odróżnieniu od cząstek opisanych statystyką M-B zwanych gazem niezwyrodniałym
Zależność oporu półprzewodników od temperatury. Zasada pomiaru
przerwy energetycznej.
Temperaturowa zależność przewodnictwa elektrycznego półprzewodników jest ściśle związana z zależnością ruchliwości i koncentracji nośników od temperatury .
Półprzewodnikami charakteryzującymi się silną zależnością oporu od temp. są termistory.
lub
Zależność temperaturową oporu termistora charakteryzuje temperaturowy współczynnik
gdzie
Badając zależność oporu od temp. obliczamy Eg jako współczynnik kierunkowy prostej lnR(1/T).
Tabele wyników:
Podgrzewanie termistora 1.
t |
I |
u |
RT |
lnRT |
T |
1/T |
Eg |
B |
T2 |
αT |
[oC] |
[A] |
[V] |
[Ω] |
[-] |
[K] |
[K-1] |
[eV] |
[K] |
[K2] |
[K-1] |
25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 |
0.0012 0.0014 0.00165 0.0019 0.0022 0.0025 0.0028 0.00315 0.0035 0.004 0.0045 0.005 0.00555 0.0061 |
8.8 8.8 8.8 8.8 8.8 8.8 8.8 8.8 8.8 8.8 8.8 8.8 8.8 8.8 |
7333.333 6285.715 5333.333 4631.579 4000 3520 3142.857 2793.651 2514.286 2200 1955.556 1760 1585.586 1442.623 |
8.90019 8.74603 8.58173 8.44065 8.29405 8.16622 8.05289 7.9351 7.82974 7.69621 7.57843 7.47307 7.36871 7.27422 |
298 303 308 313 318 323 328 333 338 343 348 353 358 363 |
0.00335 0.0033 0.00324 0.00319 0.00314 0.00309 0.00304 0.003 0.00295 0.00291 0.00287 0.00283 0.00279 0.00275 |
0.46703 0.46703 0.46703 0.46703 0.46703 0.46703 0.46703 0.46703 0.46703 0.46703 0.46703 0.46703 0.46703 0.46703 |
2709.95 2709.95 2709.95 2709.95 2709.95 2709.95 2709.95 2709.95 2709.95 2709.95 2709.95 2709.95 2709.95 2709.95 |
88804 91809 94864 97969 101124 104329 107584 110889 114244 117649 121104 124609 128164 131769 |
-0.03051 -0.02951 -0.02856 -0.02766 -0.02679 -0.02597 -0.02518 -0.02443 -0.02372 -0.02303 -0.02237 -0.02174 -0.02114 -0.02056 |
Chłodzenie termistora 2.
t |
I |
U |
RT |
lnRT |
T |
1/T |
Eg |
B |
T2 |
αT |
||
[oC] |
[A] |
[V] |
[Ω] |
[-] |
[K] |
[K-1] |
[eV] |
[K] |
[K2] |
[K-1] |
||
90 85 80 75 70 65 60 55 50 45 40 35 30 25 |
0.3 0.26 0.22 0.175 0.145 0.122 0.101 0.084 0.068 0.056 0.045 0.036 0.03 0.024 |
2.4 2.4 2.4 2.4 2.4 2.4 2.4 2.4 2.4 2.4 2.4 2.4 2.4 2.4 |
8 9.2307 10.909 13.7142 16.5517 19.6721 23.7623 28.5714 35.2941 42.8571 53.3333 66.6666 80 100 |
2.07944 2.22253 2.38959 2.61843 2.80649 2.9792 3.1681 3.3524 3.56371 3.75787 3.97656 4.1997 4.38202 4.60517 |
363 358 353 348 343 338 333 328 323 318 313 308 303 298 |
0.00275 0.00279 0.00283 0.00287 0.00291 0.00295 0.003 0.00304 0.00309 0.00314 0.00319 0.00324 0.0033 0.00335 |
0.72547 0.72547 0.72547 0.72547 0.72547 0.72547 0.72547 0.72547 0.72547 0.72547 0.72547 0.72547 0.72547 0.72547 |
4209.55 4209.55 4209.55 4209.55 4209.55 4209.55 4209.55 4209.55 4209.55 4209.55 4209.55 4209.55 4209.55 4209.55 |
131769 128164 124609 121104 117649 114244 110889 107584 104329 101124 97969 94864 91809 88804 |
-0.03194 -0.03284 -0.03378 -0.03475 -0.03578 -0.03684 -0.03796 -0.03912 -0.04034 -0.04162 -0.04296 -0.04437 -0.04585 -0.0474 |
||
Tabela błędów
R1 |
B1 |
Eg |
|
R2 |
B2 |
Eg |
|
[] |
[] |
[eV] |
[] |
[] |
[] |
[eV] |
[] |
491.6666 376.5306 284.8485 225.2077 177.2727 144.48 120.9184 100.8314 85.95918 70.49999 59.40741 51.12 44.1685 38.7799 |
83.5235 83.5235 83.5235 83.5235 83.5235 83.5235 83.5235 83.5235 83.5235 83.5235 83.5235 83.5235 83.5235 83.5235 |
0.01439 0.01439 0.01439 0.01439 0.01439 0.01439 0.01439 0.01439 0.01439 0.01439 0.01439 0.01439 0.01439 0.01439 |
0.00099 0.00095 0.00092 0.00089 0.00086 0.00084 0.00082 0.00075 0.00076 0.00074 0.00072 0.0007 0.00068 0.00066 |
0.564 0.58615 0.69272 0.87085 1.05103 1.24918 1.50891 1.81428 2.24117 2.72142 3.38666 4.23333 5.08 6.35 |
179.0938 179.0938 179.0938 179.0938 179.0938 179.0938 179.0938 179.0938 179.0938 179.0938 179.0938 179.0938 179.0938 179.0938 |
0.03086 0.03086 0.03086 0.03086 0.03086 0.03086 0.03086 0.03086 0.03086 0.03086 0.03086 0.03086 0.03086 0.03086 |
0.0014 0.00144 0.00148 0.00152 0.00157 0.00162 0.00162 0.00174 0.00177 0.00183 0.00189 0.00195 0.00202 0.00209 |
Przykładowe obliczenia:
Rezystancja termistora: [Ω]
dla termistora 1 [Ω]
dla termistora 2 [Ω]
Stała materiałowa B: [K]
dla termistora 1 B = [K]
dla termistora 2 B = [K]
Szerokość przerwy energetycznej: [eV]
gdzie k =1.3806⋅10-23 [J/K] - stała Boltzmana
eV więc k = 0.86169555⋅10-4 [eV/K]
dla termistora 1: [eV]
dla termistora 2: [eV]
Temperaturowy współczynnik oporu: [K-1]
dla termistora 1: [K-1]
dla termistora 2: [K1]
Obliczenia
gdzie - opór termistora w temperaturze nieskończenie wysokiej
- opór termistora w temperaturze 25oC
dla termistora 1: [Ω]
dla termistora 2: [Ω]
Przykładowe obliczenia błędów metodą różniczki zupełnej
Błąd popełniony przy wyznaczaniu ⇒
gdzie: ΔU, ΔI - błędy bezwzględne mierników
[V]
[A] [A]
dla termistora 1: [Ω]
dla termistora 2: 4 [Ω]
Błąd popełniony przy wyznaczaniu ⇒
gdzie:ΔT=1[K]
dla termistora 1:
[K]
dla termistora 2:
[K]
`
Błąd popełniony przy wyznaczaniu ⇒
dla term.1: [eV]
dla term.2: [eV]
Błąd popełniony przy wyznaczaniu ⇒ 1
dla termistora 1: [K-1]
dla termistora 2: [K-1]
WNIOSKI
Na podstawie wykonanego ćwiczenia stwierdziliśmy słuszność twierdzenia, że w miarę wzrostu temperatury w półprzewodnikach jest możliwe wystąpienie przewodnictwa przez wzbudzenie termiczne. Przerwa energetyczna maleje czyli przewodnictwo elektryczne wzrasta. Dzieje się tak gdyż elektrony przechodzą z pasma walencyjnego do pasma przewodnictwa gdzie mogą się swobodnie poruszać i brać udział w przewodzeniu prądu. W przewodnictwie tym biorą udział zarówno elektrony w paśmie przewodnictwa, jak i dziury w paśmie walencyjnym .
Na błędy w ćwiczeniu wpływ miała niedokładność odczytu z przyrządów pomiarowych, klasa amperomierza 0.8 i klasa woltomierza 1.5. Błąd także wprowadzał termometr o najmniejszej podziałce 1oC. Jednak niedokładności wprowadzane przez przyrządy nie przeszkodziły w sprawdzeniu słuszności założeń teoretycznych.