1. W trójkącie prostokątnym środkowa poprowadzona z wierzchołka kąta prostego dzieli ten kąt w stosunku 1:2. Wyznacz kąty ostre tego trójkąta.

2. Wierzchołki trójkąt ABC należą do okręgu o środku O. Oblicz miary kątów tego trójkąta, wiedząc, że |<ACB |=100°, |<ACO|=30°.

3. Przez wierzchołek A trójkąta ABC poprowadzono prostą l, dzielącą środkową CD w stosunku 2:3 licząc od wierzchołka C. W jakim stosunku prosta l dzieli bok BC tego trójkąta?

4. Dany jest trójkąt prostokątny ABC o przyprostokątnych CA i CB. W trójkącie tym poprowadzono wysokość CH i środkową AM. Wiedząc, że |CA|=
   i |CB|=
   , oblicz pole trójkąta MBH.

5. Dany jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych a=5cm i b=12cm. Oblicz promień okręgu wpisanego w ten trójkąt oraz okręgu opisanego na tym trójkącie.

6. Dany jest równoległobok o bokach a i b. Oblicz sinus kąta ostrego tego równoległoboku, wiedząc, że prosta prostopadła do dwóch jego boków równoległych dzieli go na dwa trapezy, w które można wpisać okręgi.

7. W równoległoboku o kącie ostrym równym 60° krótsza przekątna ma długość
   cm. Oblicz długości boków równoległoboku, wiedząc, że jeden z nich jest o 2cm dłuższy od drugiego.

8. Niech H będzie punktem przecięcia wysokości trójkąta ostrokątnego ABC. Znajdź kąty tego trójkąta, wiedząc, że |<BAH|=α i |<ABH|=β.

9. W trójkącie ABC dane są |AB|=8m |AC|=6 i |BC|=
   . Oblicz miarę kąta BAC.

10. W trójkącie ABC dane są |CB|=
    i |<BAC|=60°. Oblicz długości pozostałych boków trójkąta, wiedząc, że jeden z nich jest dwa razy dłuższy od drugiego.

11. W trójkącie prostokątnym ABC (|<BCA|=90°) z wierzchołka C poprowadzono wysokość CD. Punkty M i N są środkami odcinków AD i DB. Wiedząc, że pole trójkąta ABC jest równe S, oblicz pole trójkąta MNC.

12. W równoległoboku przekątne o długościach 12 i 10 tworzą kat o mierze 60°. Oblicz pole i obwód tego równoległoboku.

13. W trapezie długości podstaw są równe 15cm i 2cm, a długości ramion - 5cm i 12 cm. Oblicz pole trapezu.

14. Na trójkącie ABC, w którym |BC|=a, |<ABC|=α i |<BCA|=β, opisano okrąg. Dwusieczna kąta przy wierzchołku A przecina okrąg w punkcie K. Oblicz długość odcinka AK.

15. W okrąg wpisano dwa trójkąty o wspólnej podstawie. Stosunek długości ramion tych trójkątów wynosi 1:3. Oblicz stosunek długości wysokości opuszczonych na wspólny bok.

16. W trójkącie prostokątnym poprowadzono dwusieczną kąta prostego. Oblicz kąty ostre trójkąta, wiedząc, że środek okręgu wpisanego dzieli odcinek dwusiecznej w stosunku
    , licząc od wierzchołka kąta prostego.

17. Na boku AB trójkąta ABC obrano M i N tak, że |AM|:|MN|:|NB|=1:2:3. Przez punkty Mi N poprowadzono proste równoległe do boku AC, przecinające bok BC odpowiednio w punktach M' i N'. Oblicz pole czworokąta MNN'M', jeśli pole trójkąta ABC wynosi S.

18. W trójkąt wpisano okrąg o promieniu 3cm. Oblicz pole trójkąta, jeżeli punkt styczności dzieli jeden z boków na odcinki o długościach 3cm i 4cm.

19. W trapezie równoramiennym podstawy mają długości 6 i 15, a przekątna zawiera się w dwusiecznej kąta ostrego trapezu. Oblicz pole i obwód trapezu.

20. W trójkącie prostokątnym ABC zachodzą własności:

oraz
.

Oblicz miary kątów.

21. W trójkącie ABC poprowadzono środkową z wierzchołka C, która przecina bok AB w punkcie D. Przez środek środkowej CD poprowadzono prostą równoległą do boku AC, która przecina boki AB i CB odpowiednio w punktach E i F. Wiedząc, że |CF|=5, znajdź długość odcinka BF.

22. Dany jest trójkąt równoramienny ABC, gdzie długość ramion AC i BC wynosi
    . Wysokość opuszczona na podstawę trójkąta jest równa odcinkowi łączącemu środek podstawy ze środkiem ramienia.

1. Oblicz różnicę między długością promienia opisanego na trójkącie ABC i długością promienia wpisanego w dany trójkąt ABC.

2. Do okręgu wpisanego w trójkąt ABC poprowadzono styczną równoległą do podstawy, przecinającą ramiona trójkąta w punktach M i N. Znajdź długość odcinka MN.

23. W trapezie równoramiennym ABCD, gdzie AB || CD, kąty ostre mają miarę 30°. Stosunek dłuższej podstawy do krótszej wynosi 5:3. Przekątne trapezu tworzą z jego ramionami kąt 135°.

1. Oblicz pole i obwód trapezu, jeżeli długość ramienia BC wynosi 2.

2. Wyznacz stosunek promienia okręgu opisanego na trójkącie ABD do promienia okręgu opisanego na trójkącie BCD.

24. W trójkącie ABC wysokość |CD|=4, bok |BC|=8, |<BAC|=60°. Punkty M, N, P są środkami boków trójkąta ABC. Oblicz długości boków i pole trójkąta MNP.

1. Na bokach AB, BC i CA trójkąta ABC dane są odpowiednio punkty M, N i P takie, że
   . Wyznacz k, jeśli pole trójkąta MNP jest równe
   pola trójkąta ABC.

25. Dany jest trójkąt ABC, w którym miara kąta BCA wynosi 90°, a kąt CAB jest dwa razy mniejszy od kąta ABC. Obwód okręgu wpisanego w ten trójkąt wynosi
    . Prosta przechodząca przez wierzchołek C tworzy z krótszą przyprostokątną kąt o mierze 30° i przecina przeciw prostokątną AB i punkcie D.

1. Oblicz pole koła opisanego na trójkącie oraz wyznacz stosunek długości odcina DB do długości odcinka DA.

2. Oblicz odległość punktu D od środka okręgu wpisanego w trójkąt ABC.

26. W trapezie równoramiennym dane są długości podstaw a i b ( a > b ) i kąt ostry α=60°. Środki sąsiednich boków trapezu połączono odcinkami. Oblicz pole czworokąta, którego bokami są te odcinki oraz wyznacz stosunek pola trapezu do pola powstałego czworokąta.

27. W trapezie równoramiennym ABCD ( AB || CD ), w którym kąt ostry jest równy 45°, przekątna AC długości 2 tworzy z podstawą AB kąt 30°.

1. Oblicz pole i obwód trapezu.

2. Wykaż, że długości promieni okręgów opisanych na trójkątach ABC i ACD są równe długości ramienia trapezu.

28. W równoległoboku ABCD dale są długości boków |AB|=5, |AD|=3 oraz miara kąta ostrego DAB równa 60°. Punkty E i F są odpowiedni środkami boków BC i DC.

1. Oblicz długości przekątnych równoległoboku oraz pole czworokąta BEFD.

2. Wyznacz sumę kwadratów sinusów katów wewnętrznych trójkąta ABD.

29. W trójkącie równobocznym ABC o polu
    na boku BC obrano punkt M tak, że |BM|=
    |MC|.

1. Oblicz sinus kąta MAB oraz długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt MAB.

2. Jakie długości mają odcinki, na które symetralna AM dzieli bok AB?

30. W trapezie równoramiennym ABCD (gdzie AB || CD ) kąty ostre mają miarę 30°. Stosunek długości dłuższej podstawy do krótszej wynosi 5:3. Przekątne trapezu tworzą z jego ramionami kąt 135°.

1. Oblicz pole i obwód trapezu, jeżeli długość ramienia |BC|=2.

2. Wyznacz stosunek promienia okręgu opisanego na trójkącie ABD do promienia okręgu opisanego na trójkącie BCD.

31. W trójkącie ABC dane są długości boków |AB|=
    , |AC|=10 oraz
    .

1. Oblicz odległość wierzchołka A od prostej BC.

2. Oblicz sumę długości promieni okręgu opisanego na trójkącie ABC i okręgu wpisanego w trójkąt ABC.

32. Udowodnij, że pole trójkąta wyraża się wzorem:
    .

33. Promień okręgu opisanego na trójkącie ABC wynosi 3. Wiedząc, że
    oraz
    , oblicz długości boków BC i BA.

34. W trójkącie równoramiennym ABC kąt między ramionami wynosi α. Oblicz stosunek długości promienia okręgu wpisanego w trójkąt ABC do długości promienia okręgu opisanego na trójkącie ABC.

35. Długości podstaw trapezu ABCD wynoszą a i c. Znajdź miary kątów i długości przekątnych tego trapezu.

Podstawa

36. Różnica pól dwóch kwadratów jest równa 36. Oblicz wartość bezwzględną różnicy pól kół opisanych na tych kwadratach.

37. Różnica pól dwóch trójkątów równobocznych jest równa
    . Oblicz wartość bezwzględną różnicy pól kół wpisanych w te trójkąty.

38. Pole prostokąta, w którym jeden z boków jest o 4 cm dłuższy od drugiego, jest równe 96 cm². Oblicz pole koła opisanego na tym prostokącie. Wynik podaj w mm² z zaokrągleniem do drugiego miejsca po przecinku.

39. Bok rombu ma długość 20 cm, a jego kąt ostry miarę 80°, Oblicz długość dłuższej przekątnej tego rombu. Wyniki podaj w mm z zaokrągleniem do pierwszego miejsca po przecinku.

40. W trójkącie ABC wysokość CD dzieli bok AB na odcinki Ad i DB takie, że
    . Miara kąta ABC jest równa 30°. Uzasadnij, ze trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym.

41. Przekątne równoległoboku ABCD mają długości 18 cm i 22 cm. Środki boków tego równoległoboku są wierzchołkami czworokąta KLMN. Oblicz obwód czworokąta KLMN.

42. W trapezie równoramiennym ABCD, w którym AB || CD oraz |AB|=20, |CD|=12, |AD|=|BC|=8, przedłużono boki AD i BC do przecięcia w punkcie E. Oblicz:

1. długość odcinka AE,

2. odległość punktu E od prostej AB.

43. W trójkącie równoramiennym, w którym ramiona mają długość 10 cm i sinus kąta przy podstawie jest równy 0,(6), połączono środki ramion, dzieląc w ten sposób trójkąt wyjściowy na trójkąt i czworokąt. Oblicz obwód czworokąta. Wynik podaj w cm z zaokrągleniem do drugiego miejsca po przecinku.

44. W trójkącie ABC, w którym |AB|=10 cm, |BC|=8 cm, cos|<ABC|=0,(3), na boku BC wybrano punkt D taki, że |BD|=2 cm. Prosta równoległa do prostej AB przechodząca przez punkt D przecina bok AC w punkcie E. Oblicz pole czworokąta ABDE. Wynik podaj w mm² z zaokrągleniem do drugiego miejsca po przecinku.

45. W trójkącie równoramiennym ABC : |AB|=24 i |AC|=|BC|= 13 . W trójkąt ten wpisano kwadrat DEFG tak, że bok DE zawarty jest w podstawie trójkąta, a wierzchołki F i G należą do ramion trójkąta. Oblicz długość boku tego kwadratu.

46. W trójkącie równoramiennym ABC : |AB|=16 i |AC|=|BC|=10. W trójkąt ten wpisano prostokąt DEFG tak, że bok DE jest zawarty w podstawie trójkąta, a wierzchołki F i G należą do ramion trójkąta. W tym prostokącie |DE|:|EF|=6:1. Oblicz długości boków tego prostokąta.

47. W trójkąt ostrokątny ABC, w którym |AB|=8 oraz wysokość |CH|=6, wpisano kwadrat DEFG tak, że bok DE jest zawarty w boku AB, a wierzchołki F i G należą do boków AC i BC. Oblicz pole tego kwadratu.

48. W trapezie ABCD, w którym AB || CD i |AB|=2|CD|, punkt O jest punktem wspólnym przekątnych trapezu. Oblicz stosunek pola trójkąta ABO do pola trapezu.

49. W trójkącie prostokątnym kotangens jednego z kątów ostrych jest równy 2. Oblicz stosunek promienia okręgu opisanego na tym trójkącie do promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt.

50. Promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny o obwodzie 40 cm jest równy 4 cm. Oblicz długość przeciwprostokątnej tego trójkąta.

51. W koło w pisano kwadrat, a następnie w ten kwadrat wpisano koło. Wartość bezwzględna różnicy pól tych kół jest równa 8π cm². Oblicz pole kwadratu.

52. W trójkącie równoramiennym ramię o długości 30 cm jest nachylone do podstawy pod kątem, którego sinus jest równy 0,6. Oblicz odległość od środka koła wpisanego w ten trójkąt od wierzchołków podstawy.

53. W trójkącie prostokątnym wysokość poprowadzona z wierzchołka kąta prostego dzieli przeciwprostokątną na odcinki o długościach 24 cm i 48 cm. Oblicz promień okręgu wpisanego w ten trójkąt.

54. W trapezie równoramiennym podstawy mają długości 27 cm i 18 cm, a ramię tworzy z dłuższą podstawą kąt, którego cosinus jest równy 0,6. Oblicz odległości punktu przecięcia przekątnych tego trapezu od podstaw.

55. Podstawy trapezu mają długości 13 cm i 11 cm. Odcinek łączący środki ramion trapezu dzieli ten trapez na dwa czworokąty. Oblicz stosunek pól tych czworokątów.

56. W trapezie równoramiennym, który nie jest równoległobokiem, przekątna o długości 10 cm jest nachylona do podstawy pod kątem, którego tangens jest równy 0,5. Oblicz pole tego trapezu.

57. W trapezie równoramiennym ABCD, w którym AB || CD, przekątna AC ma długość 80 cm. Punkt O jest środkiem koła opisanego na tym trapezie i |<BOC|=80°. Oblicz pole tego trapezu. Wynik podaj w cm² z zaokrągleniem do drugiego miejsca po przecinku.

58. Trapez równoramienny jest opisany na kole o promieniu 10 cm. Ramię tego trapezu tworzy z dłuższą podstawą kąt, którego cosinus jest równy 0,(2). Oblicz pole tego trapezu. Wynik podaj w cm² z zaokrągleniem do drugiego miejsca po przecinku.

59. Dany jest zbiór wszystkich równoległoboków o obwodzie równym 80 cm i kącie ostrym o mierze 48°. Oblicz pole równoległoboku należącego do tego zbioru, który ma największe pole. Wynik podaj w cm² z zaokrągleniem do drugiego miejsca po przecinku.

60. W trójkąt prostokątny ABC, w którym |<ACB|=90°, sin|<CAB|=
    i |AB|=34 cm, wpisujemy prostokąt CDEF tak, że punkt D należy do boku AC, punkt E należy do boku AB punkt F należy do boku BC. Oblicz wymiary prostokąta o największym polu.

61. W trójkąt równoramienny ABC, w którym |AC|=|BC|=12 i cos |<ABC|=0,(3), wpisujemy prostokąty tak, że jeden bok prostokąta zawarty jest w podstawie AB a dwa pozostałe wierzchołki należą do ramion trójkąta. Oblicz wymiary prostokąta o największym polu.

62. Dany jest prostokąt ABCD, w którym AB || CD, a przekątna AC o długości 26 cm tworzy z dłuższym bokiem kąt, którego sinus jest równy
    . Punkt E należy do boku AB, punkt F należy do boku BC, punkt G należy do boku CD, punkt H należy do boku AD i |AE|=|BF|=|CG|=|DH|=x. Oblicz wartość x, dla której czworokąt EFGH ma najmniejsze pole.

---