RODZIAŁ V RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY FUNKCJI RZECZYWISTYCH WIELU ZMIENNYCH

Niech będzie dana przestrzeń metryczna
z metryką
tzn. dla dowolnych elementów
jest określona ich odległość
, przy czym:

1. 
   

2. 
   

3. 
   

.

PRZYKŁADY:

1. 
   -przestrzeń euklidesowa rzeczywista n-wymiarowa. Jest to zbiór ciągów

n-wyrazowych liczb rzeczywistych z metryką:

,

gdzie
.

2. 
   -przestrzeń euklidesowa zespolona n-wyrazowa. Jest to zbiór n-wyrazowych ciągów liczb zespolonych z metryką:

,

gdzie
.

3. Przestrzeń funkcji ciągłych na przedziale domkniętym
   . Jest to zbiór funkcji ciągłych na
   z metryką:

,

gdzie
.

W przestrzeni metrycznej
, kulą otwartą o środku
i promieniu r>0 nazywamy zbiór
.

Kulę otwartą
nazywamy także otoczeniem punktu x₀. Zbiór
nazywamy otwartym, jeżeli każdy punkt tego zbioru należy do A wraz z pewnym swym otoczeniem.

Punkt
nazywamy punktem skupienia zbioru
, jeżeli każde otoczenie
o dowolnie małym promieniu r zawiera, co najmniej jeden element zbioru A. Zbiór
nazywamy domkniętym, jeżeli A zawiera wszystkie swoje punkty skupienia.

PRZYKŁADY:

1. Zbiory otwarte w
   :

• przedział otwarty (a,b),

• otoczenie punktu
  ; r>0

Zbiory otwarte w
, gdzie

• otoczenie punktu
  , tzn. koła o środku
  i promieniu r>0, bez okręgu

3. Zbiory otwarte w przestrzeni euklidesowej
   , kula o środku
   o promieniu r>0, bez sfery

4. Zbiory domknięte:

1. 
   ; przedział domknięty
   

2. 
   ; (
   -określone jak w punkcie 2), koło o środku
   o promieniu r>0, ze sferą

3. przestrzeń euklidesowa
   , kula o środku
   , promieniu r>0 wraz ze sferą.

1. Przykładami zbiorów, które nie są ani otwarte ani domknięte są np. w
   przedziały
   .

1. GRANICA I CIĄGŁOŚĆ:

Niech
będą przestrzeniami metrycznymi odpowiednio z metryką
.

Niech
, funkcja
, p-punkt skupienia zbioru E.

DEFINICJA: Mówimy, że funkcja f posiada granicę
w punkcie p przy
, jeżeli:

.

Piszemy wtedy:

.

DEFINICJA: Mówimy, że funkcja
jest ciągła w punkcie
, jeżeli granica:

.

W szczególności niech
.

Wtedy funkcję
nazywamy funkcją rzeczywistą n-zmiennych. Będziemy stosować zapis dla tych funkcji:

.

Z powyższych definicji: granicy i ciągłości wynika, że:

,

gdzie

f jest ciągła w punkcie p gdy:

2. POCHODNE KIERUNKOWE ORAZ POCHODNE CZĄSTKOWE:

W dalszym ciągu wektorem
w przestrzeni euklidesowej
nazywamy odwzorowanie przestrzeni R^h na tę przestrzeń, przyporządkowującą każdemu punktowi

(1)

gdzie
.

Wektor
oznaczamy symbolem:
przy czym liczby rzeczywiste a₁,...a_n to

współrzędne wektora
.

Zbiór wszystkich wektorów w R^h oznaczamy symbolem: W_n.

Punkt (1) będziemy oznaczać symbolem: p+
tzn.
.

Wektor zerowy
.

DZIAŁANIA ALGEBRAICZNE NA WEKTORACH:

1. iloczyn liczby rzeczywistej
   i wektora
   :

2. suma wektorów
   
   

Niech:

dla dowolnego wektora:

zachodzi równość:

Wektory
nazywamy wersonami.

Niech
, gdzie G jest zbiorem otwartym w R^h.

DEFINICJA: Pochodną funkcji f w punkcie
w kierunku wektora
, nazywamy granicę:

przy założeniu istnienia granicy właściwej lub niewłaściwej.

Pochodną funkcji f w kierunku wektora
nazywamy funkcję
, która każdemu punktowi
, dla którego istnieje granica (1), przyporządkowuje wyrażenie
.

Dla funkcji
, gdzie
, G zbiór otwarty, oznaczamy:

,

gdzie
.

Ponieważ:

więc przy
otrzymujemy:

.

Ze względu na to, że:

.

Otrzymaliśmy dla każdego
równość:

.

Ze względu na powyższy związek, między pochodną kierunkową i pochodną zwykłą funkcji

rzeczywistej, zachodzą następujące równości:

Dla funkcji
,
gdzie
, G zbiór otwarty.

1. 
   

2. 
   , gdzie
   -stała rzeczywista

3. 
   

4. 
   , przy czym
   

Powyższe równości rozumiemy następująco. Jeżeli istnieją skończone pochodne po prawej stronie wzorów to istnieje pochodna po lewej stronie i zachodzi równość:

,

gdzie

stąd:

TWIERDZENIE 1: (o wartości średniej)

Jeżeli:

1. odcinek o końcach
   zawiera się w zbiorze otwartym
   

2. w każdym punkcie tego odcinka istnieje skończona pochodna kierunkowa
   ,

to:

gdzie:
.

DOWÓD:

Z założenia a) wynika, że funkcja pomocnicza
zbudowana dla funkcji f jest określona na przedziale
. Z założenia b) wynika, że
posiada skończoną pochodną w każdym

punkcie przedziału
.

Z twierdzenia Lagrange'a o wartości średniej dla
otrzymujemy:

,

gdzie
czyli:

.

POCHODNE CZĄSTKOWE:

Niech będzie dana funkcja
, gdzie
, G zbiór otwarty.

DEFINICJA: pochodne kierunkowe funkcji f w kierunku wektorów osi współrzędnych tzn. w kierunku wektorów:
nazywamy pochodnymi cząstkowymi funkcji f względem zmiennych odpowiednio:
i oznaczamy symbolami:

,

przy założeniu istnienia tych pochodnych.

Wartością skończonej pochodnej cząstkowej funkcji f względem j-tej zmiennej x_j w punkcie
jest liczbą:

Zatem pochodna cząstkowa
jest pochodną funkcji f jednej zmiennej x_j postaci:

gdzie zmienną jest x_j a
są ustalone

POCHODNE WYŻSZYCH RZĘDÓW:

W dalszym ciągu pochodne kierunkowe i cząstkowe
będziemy nazywać

pochodnymi kierunkowymi i cząstkowymi I-go rzędu.

Niech będzie dana funkcja
, gdzie
, zbiór otwarty posiada skończoną pochodną kierunkową
w pewnym otoczeniu punktu
.

Można wtedy rozważać pochodną kierunkową funkcji
w punkcie p w kierunku wektora
.

Jeżeli pochodna ta istnieje (w sensie właściwym lub niewłaściwym) to oznaczamy ją symbolem:
i nazywamy pochodną kierunkową II-rzędu funkcji f w kierunku

wektora
.

Funkcję
określoną w zbiorze tych punktów
, w których istnieje pochodna
przyporządkowująca punktom
wartości
nazywamy pochodną kierunkową

funkcji f II-rzędu, w kierunku wektorów
.

KOLEJNOŚĆ RÓŻNICZKOWANIA JEST WAŻNA!!!

Na ogół

są różne.

Zachodzi TWIERDZENIE SHWARZ'A:

Jeżeli pochodne kierunkowe II-go rzędu
,
istnieją i są ciągłe na zbiorze G, to są równe
, dla każdego
.

DEFINICJA: Pochodne cząstkowe II-rzędu funkcji f w kierunku wersorów
to pochodna postaci

. Oznaczamy ją symbolem:

.

Symbol:
oznacza, że funkcję f zróżniczkowano względem x_i, a potem względem x_j.

Jeżeli
to pochodna cząstkową
nazywamy pochodną zmienną.

Jeżeli
, to piszemy:
.

Jeżeli w otoczeniu punktu
istnieje skończona pochodna kierunkowa (m-1)-go rzędu funkcji f
to pochodną m-tego rzędu funkcji f w kierunku wektorów
definiujemy przyjmując:

,

przy założeniu istnienia granicy właściwej lub niewłaściwej.

Pochodne kierunkowe rzędu m w kierunku wersorów:
nazywamy pochodnymi cząstkowymi rzędu m funkcji f i oznaczamy symbolami:

.

W przypadku gdy kilkakrotnie powtarza się różniczkowanie względem tej samej zmiennej, np. różniczkujemy funkcję f kolejne cztery razy względem x_j , stosujemy zapis:
.

Dziękuje wszystkim za współprace i pomoc w realizacji tego skryptu !

Arczi

79

A-zbiór otwarty