5. Jednowymiarowe przepŁywy cieczy

5.1. Równanie Bernoulliego dla cieczy doskonałej

Model przepływu jednowymiarowego jest bardzo często przyjmowany w praktyce inżynierskiej w takich zagadnieniach, w których określenie głównego kierunku ruchu nie sprawia żadnych trudności, a różnice w warunkach przepływu w kierunkach poprzecznych do kierunku głównego są mniej istotne niż zmiany w kierunku głównym.

W przypadku ruchu jednowymiarowego poruszający się ośrodek jest nazywany strumieniem , a parametry przepływu panujące w dowolnym przekroju σ są funkcją tylko jednej współrzędnej s (rys. 5.1). Rzeczywiste rozkłady prędkości, ciśnienia, gęstości i ewentualnie innych parametrów przepływu muszą być zatem uśrednione i zastąpione rozkładem równomiernym jak np. (3.21). W dalszej części tego rozdziału, w celu uproszczenia zapisu, znaczek „śr” będziemy opuszczać.

Rys. 5.1

Podstawowymi równaniami opisującymi stacjonarne przepływy jednowymiarowe cieczy doskonałej są: równanie ciągłości (3.23) i równanie Bernoulliego (4.10).

Wyznaczymy funkcję ciśnienia (2.11), która jest równa

(5.1)

oraz założymy, że ruch odbywa się w ziemskim polu grawitacyjnym (2.18), w którym potencjał pola (2.14) jest wyrażony wzorem

(5.2)

dla osi z zwróconej pionowo ku górze. Podstawiając uzyskane wyrażenia do równania (4.10) otrzymujemy szczególną postać równania Bernoulliego

(5.3)

Równanie to wyraża również zasadę zachowania energii mechanicznej, co łatwo możemy stwierdzić rozpatrując masę płynu m zawartą w elementarnej strudze

gdzie
oznacza energię kinetyczną,
- energię potencjalną położenia,
- energię potencjalną ciśnienia.

Równanie (5.3) jest jedną z możliwych postaci równania Bernoulliego, odniesioną do jednostki masy. To samo równanie można zapisać dla jednostki objętości

(5.4)

lub też w odniesieniu do jednostki ciężaru

(5.5)

wprowadzając, dla zwięzłości zapisu, ciężar właściwy .

Wymiarem wyrazów równania (5.4) jest ciśnienie, dlatego wyrazy te nazywane są następująco:

- ciśnienie dynamiczne,

p - ciśnienie statyczne,

- ciśnienie położenia (hydrostatyczne).

Suma ciśnień: dynamicznego, statycznego i położenia jest więc stała wzdłuż przepływu; w przypadku, gdy ciśnienie położenia jest wielkością małą w stosunku do pozostałych, ciśnienie całkowite jest sumą ciśnienia dynamicznego i ciśnienia statycznego.

W przypadku równania (5.5) wymiarem jego wyrazów jest długość, dlatego poszczególne jego wyrazy nazwano jako:

- wysokość prędkości,

- wysokość ciśnienia,

z - wysokość położenia.

Posługując się tymi określeniami treść równania (5.5) wypowiemy następująco: suma wysokości prędkości, ciśnienia i położenia wzdłuż przepływu jest wielkością stałą.

Równanie Bernoulliego może być odniesione do dwu dowolnych, poprzecznych przekrojów obranej strugi (rys. 5.1); w przypadku np. równania (5.5) otrzymamy

(5.6)

5.2. Wyp*yw cieczy ze zbiornik*w

Rozważymy wypływ cieczy ze zbiorników przez małe i duże otwory.

Załóżymy najpierw, że w ścianie lub dnie otwartego zbiornika znajduje się mały otwór o dowolnym kształcie (rys 5.2). Oznacza to, że w skończonych przedziałach czasu nie obserwujemy praktycznie żadnej zmiany położenia zwierciadła cieczy; można więc przyjąć, że wypływ jest ustalony.

Rys. 5.2

Obierając dowolny poziom odniesienia i pisząc równanie Bernoulliego (5.6) dla przekrojów 1-1 i 2-2 wybranej strugi

otrzymamy znany wzór Torricelliego

(5.7)

Rys. 5.3

Obliczenia prędkości wypływu cieczy przez mały otwór mogą być powtórzone przy nieco ogólniejszych założeniach, dotyczących wypływu zatopionego (rys. 5.3). Ciecz nie wypływa teraz swobodnie, lecz przepływa do naczynia wypełnionego cieczą, której zwierciadło znajduje się nad otworem.

Przyjmując poziom zerowy na wysokości środka ciężkości otworu zastosujemy równanie Bernoulliego dla przekrojów 1-1 i 2-2

Wzór ten redukuje się również do wzoru Torricelliego (5.7)

(5.8)

ale tym razem prędkość wypływu nie zależy od zagłębienia otworu, lecz od różnicy poziomów zwierciadeł cieczy w naczyniach.

*

Rozważając wypływy cieczy przez małe otwory zakładaliśmy milcząco, że prędkość wypływu jest stała w całym przekroju otworu. Założenie to musi być uchylone w przypadku, gdy pionowy wymiar otworu jest tego samego rzędu co jego zagłębienie; w tym przypadku strugi dolne mają bowiem znacznie większą prędkość wypływu niż górne.

Sytuacja taka występuje przy wypływie cieczy przez duży prostokątny otwór w pionowej ścianie zbiornika otwartego (rys. 5.4). Przyjmujemy, że wypływ jest ustalony, H = const, a przekrój otworu jest wielokrotnie mniejszy od poziomego przekroju zbiornika.

Rys. 5.4

W przekroju otworu na głębokości z wyodrębniamy elementarną powierzchnię o wysokości i szerokości b. Stosując wzór Torricelliego (5.7) do strugi wypływającej przez tę powierzchnię otrzymamy

i możemy następnie obliczyć wydatek cieczy przez cały otwór

(5.9)

Rys. 5.5

Rozpatrzymy jeszcze wypływ cieczy przez mały otwór w dnie naczynia, uwzględ-niając obniżanie się poziomu zwierciadła cieczy w miarę upływu czasu (rys. 5.5). Zagadnienie to jest oczywiście niestacjonarne, ale możemy tu zastosować wzór Torricelliego zakładając, że jest on słuszny w każdej chwili
. Zbiornik na rysunku 5.5 jest zbiornikiem o zmiennym przekroju , z którego ciecz wypływa przez mały otwór o przekroju .

Zgodnie z tym założeniem obliczamy chwilowy wydatek odpowiadający poziomowi z

i elementarną objętość cieczy wypływającej w czasie

Z tego wyrażenia uzyskujemy wzór na czas opróżnienia zbiornika od poziomu H do poziomu z

(5.10)

*

Rys. 5.6

Dokonując pomiarów wydatku cieczy wypływającej ze zbiorników przez otwory stwierdzono, że wydatek rzeczywisty nie jest równy wydatkowi teoretycznemu
, obliczonemu na podstawie wzorów (5.7) ÷ (5.10). Przyczyną tej różnicy jest zarówno mniejszy przekrój strugi
od powierzchni
otworu w zbiorniku, jak również mniejsze prędkości wypływu od prędkości obliczonej

Zjawisko zmniejszania się przekroju strumienia w pewnej odległości od przekroju wylotowego nazywa się kontrakcją strumienia i jest ono charakteryzowane współczynnikiem kontrakcji

(5.11)

który jest stosunkiem przekroju otworu do przekroju strugi (rys. 5.6).

Straty prędkości przy wypływie cieczy z małego otworu określane są natomiast współczynnikiem prędkości

(5.12)

będącym stosunkiem prędkości rzeczywistej do prędkości obliczonej.

Wydatek rzeczywisty, wyrażający się wzorem

możemy, przy wykorzystaniu współczynników (5.11) i (5.12), zapisać w postaci

. (5.13)

Iloczyn
doświadczalnie wyznaczanych współczynników α i β nazywany jest współczynnikiem wydatku .

W celu uzyskania spoistej struktury strumienia cieczy stosuje się często tzw. przystawki (rys. 5.7) - będące różnie ukształtowanymi krótkimi rurkami o dłu-gości 3 ÷ 5 raza większej od średnicy, stanowiącymi obramowanie otworu wylotowego.

Rys. 5.7

Z przepływami przez przystawki wiąże się ściśle ważne z punktu widzenia techniki zjawisko fizykalne, zwane kawitacją. Nazwą tą jest określany zespół zjawisk towarzyszących powstawaniu w cieczy obszarów nieciągłości wypełnionych parą lub gazem.

Obszary kawitacji mogą powstać w przewężeniach wskutek znacznego wzrostu prędkości i obniżania się ciśnienia do ciśnienia wrzenia cieczy w danej temperaturze; wynika to z równania ciągłości (3.23) i równania Bernoulliego (5.4). W obszarach występowania ciśnienia wrzenia następuje niszczenie materiału, przypominające głębokie trawienie kwasami lub zasadami, nazywane korozją kawitacyjną; ponadto kawitacja powoduje straty energii cieczy i straty ciśnienia.

5.3. Przyrządy pomiarowe

Z równania Bernoulliego (5.4), po opuszczeniu składnika
jako małego w porównaniu z dwoma poprzednimi, wynika, że pomiar prędkości cieczy i gazu przy prędkościach znacznie mniejszych od prędkości dźwięku można sprowadzić do zagadnienia pomiaru ciśnienia całkowitego , bądź też ciśnienia statycznego p

(5.14)

Najprostszym przyrządem do pomiaru prędkości płynu, opartym na zastosowaniu równania Bernoulliego, jest rurka Pitota (rys. 5.8). Jest to szklana rurka, zagięta pod kątem 90° i zwrócona wlotem pod prąd. W drugim, pionowym ramieniu, ustala się słup wody o wysokości h względem niezakłóconego zwierciadła cieczy. Po podstawieniu w równaniu (5.14) wielkości:

,

otrzymamy wyrażenie na prędkość strumienia w dostatecznie dużej odległości od wlotu do rurki

(5.15)

Rys. 5.8

Rys. 5.9

Przy pomiarach prędkości płynu przepływającego przewodami zamkniętymi, oprócz ciśnienia spiętrzenia musimy jeszcze mierzyć ciśnienie statyczne. Do jednoczesnego pomiaru obu tych ciśnień używany jest przyrząd zwany rurką Prandtla (rys. 5.9). Urządzenie to stanowi rurka zaopatrzona w otworki znajdujące się na jej bocznych ściankach w tak dobranej odległości od jej wlotu, że ustala się w nich ciśnienie statyczne p. Natomiast u wlotu do rurki ustala się ciśnienie całkowite , w związku z czym manometr podłączony do rurki Prandtla wskaże różnicę ciśnienia całkowitego i ciśnienia dynamicznego; prędkość płynu w danym punkcie jest więc określona związkiem

(5.16)

Rys. 5.10

Do pomiaru prędkości średniej (natężenia przepływu) wykorzystywane są przyrządy, których działanie opiera się na szczególnym kształcie kanału przepływowego w części pomiarowej. Należy do nich zwężka Venturiego (5.10a) oraz różnego rodzaju kryzy, dysze i zwężki pomiarowe (rys. 5.10b).

Wzór na średnią prędkość przepływu wynika z równania Bernoulliego (5.14) i równania ciągłości (3.23)

(5.17)

We wzorze tym uwzględniane są jeszcze straty występujące między przekrojami 1-1 i 2-2, poprzez wprowadzanie różnych współczynników poprawkowych uwzględniających ściśliwość płynu, kontrakcję strumienia, geometrię przyrządu pomiarowego i chropowatość względną przewodu.

5.4. Równanie Bernoulliego dla cieczy rzeczywistej

Zagadnienia przepływu cieczy przewodami mają niezmiernie istotne znaczenie niemal we wszystkich gałęziach techniki. Mając zatem na względzie prostotę i łatwość wykonywania obliczeń traktuje się zwykle te przepływy jako ustalone i jednowymiarowe, a ich wyznaczanie jest oparte na dwu podstawowych zależnościach:

1) na równaniu ciągłości (3.23)

(5.18)

na którego formę nie wpływa lepkość cieczy,

2) na r*wnaniu Bernoulliego dla cieczy rzeczywistej

, (5.19)

analogicznym do równania Bernoulliego dla cieczy doskonałej (5.6), ale uwzględniającym dysypację energii mechanicznej spowodowaną lepkością cieczy, chropowatością przewodu i lokalnymi, intensywnymi ruchami wirowymi.

Wskutek adhezji ciecz rzeczywista ma prędkość równą zeru na ściankach przewodu, a poszczególne strugi składające się na całkowity strumień płynący przewodem mają różne prędkości; zatem do równania (5.19) należy wprowadzić prędkość średnią określoną z równania ciągłości (5.18).

Energia kinetyczna Eśr obliczona według prędkości średniej jest jednak na ogół różna od rzeczywistej energii Erz strumienia cieczy w rozpatrywanym przekroju - mamy bowiem

oraz

Aby uwzględnić rzeczywistą energię kinetyczną strumienia w przekrojach 1-1 oraz 2-2 przewodu wprowadzamy tzw. wsp**czynnik Coriolisa

(5.20)

i uwzględniamy go w równaniu (5.19)

(5.21)

Wartość współczynnika Coriolisa dla laminarnego przepływu cieczy przez przewód o przekroju kołowym (przykład 8.3) wynosi α = 2, a w przepływie turbulentnym
α = 1.026 ÷ 1.08.

*

Występujące we wzorach (5.19) i (5.21) straty energii mechanicznej dzielą się na straty na d*ugości , spowodowane tarciem cieczy lepkiej o ścianki przewodu - i na straty lokalne , powstające w tych miejscach, gdzie ulega zmianie wartość lub kierunek prędkości (zmiany przekroju, załamania, zawory, zwężki itp.). Przy obliczaniu strat obu tych rodzajów stosuje się zasadę superpozycji, obliczając kolejno straty na poszczególnych, charakterystycznych odcinkach przewodu - zaniedbując wzajemny wpływ tych odcinków na siebie. Założenie takie znacznie upraszcza obliczenia i nie prowadzi, w większości przypadków mających znaczenie praktyczne, do powstawania poważniejszych błędów.

Straty na długości l w przewodzie o średnicy d są wyznaczane za pomocą wzoru Darcy'ego-Weisbacha

(5.22)

w którym istotnym parametrem jest wsp**czynnik strat liniowych λ. W podobny sposób oblicza się straty lokalne

(5.23)

włączając stały w tym przypadku stosunek
do wsp**czynnika strat lokalnych ζ.

Pomiary współczynników strat przepływu należą do najstarszych badań doświadczalnych w dziedzinie mechaniki płynów, gdyż były prowadzone od ponad dwustu lat. Niezwykle bogaty materiał uzyskany w wyniku tych badań zezwolił na stwierdzenie, że współczynniki λ i ζ są zależne od wartości liczb Reynoldsa, chropowatości względnej ε =  wewnętrznych ścianek przewodu (rys. 5.11), a także od form geometrycznych kanału, w którym odbywa się przepływ.

Wyniki licznych i systematycznych doświadczeń, wykonanych przez Nikuradsego i dotyczących wpływu liczby Reynoldsa oraz chropowatości na współczynnik strat λ dla przewodu o przekroju kołowym, zostały przedstawione na wykresie nazywanym obecnie wykresem Nikuradsego - rys. 5.11.

Na wykresie Nikuradsego wyróżniono umownie pięć zakresów liczb Reynoldsa oznaczonych cyframi rzymskimi. Pierwszy z nich odpowiada przepływowi laminarnemu i jest ograniczony pierwszą krytyczną liczbą Reynoldsa (1.23). W zakresie tym współczynnik λ można określić z dostateczną dokładnością w sposób teoretyczny (przykład 8.3)

(5.24)

co potwierdzają wyniki doświadczeń przedstawione na rys. 5.11.

Zakres drugi jest strefą przejścia z przepływu laminarnego do turbulentnego i odwrotnie - przy zwiększaniu bądź też zmniejszaniu liczby Reynoldsa.

W zakresie trzecim, linia dla mniejszych wartości chropowatości k pokrywa się z linią  wyznaczoną dla rury gładkiej, która jest określona w przy-bliżeniu tzw. wzorem Blasiusa

(5.25)

obowiązującym w zakresie krytycznych liczb Reynoldsa (1.23)

Czwarty zakres nazywa się strefą mieszaną albo przejściową przepływu turbulentnego i obserwujemy w nim niemonotoniczny przebieg zależności λ ( Re), która przybiera następnie - w zakresie piątym - wartość stałą, niezależną od liczby Reynoldsa, a określoną jedynie wielkością chropowatości względnej.

W zakresie czwartym do obliczania współczynnika λ stosowany jest półempiryczny wzór Colebrooka i White'a

(5.26)

który dla ε → 0 przekształca się we wzór Prandtla-Karmana

(5.27)

87

---