SPŁATY DŁUGÓW

Podstawową formą długów są pożyczki i kredyty.

	Pożyczka	Kredyt
Stosunki prawne między dłużnikiem a wierzycielem	Przepisy prawa cywilnego	Przepisy prawa bankowego
Przedmiot długu	Środki pieniężne lub inne przedmioty materialne	Tylko środki pieniężne w postaci bezgotówkowego pieniądza bankowego
Cel długu	Dowolny, nie musi być określony	Ściśle określony, kontrolowany przez wierzyciela
Umowa długu	Forma dowolna	Obowiązkowa forma pisemna

Każda umowa o długu powinna określać:

1. wysokość długu i okres zwrotu długu;

2. wysokość stopy procentowej i okres kapitalizacji;

3. formę spłaty, inaczej formę umorzenia długu;

4. terminy spłat;

5. formę i wysokość spłacanych odsetek;

6. formę spłaty prowizji bankowej.

Z względu na okres zwrotu długi dzielimy na:

• krótkoterminowe - okres zwrotu poniżej roku, rozliczenie opiera się na modelu kapitalizacji prostej (z dołu);

• średnioterminowe - okres zwrotu od roku do 5 lat, stosuje się model kapitalizacji złożonej;

• długoterminowe - okres zwrotu powyżej 5 lat, rozliczenie opiera się na modelu kapitalizacji złożonej (z dołu).

Na ogół formą spłaty długu jest forma ratalna; raty nazywa się płatnościami, spłatami lub ratami łącznymi. Spłaty długu dokonuje się ratami w takich samych odstępach czasu zwanymi okresami spłat.

Spłaty zgodne - okres stopy procentowej, kapitalizacji i spłaty T_sp są równe;

Spłaty niezgodne - chociaż dwa z okresów (stopy procentowej, kapitalizacji czy spłaty) są różne.

Oznaczenia stosowane przy rozliczaniu długów:

S - wartość początkowa długu;

N - liczba rat umarzających dług;

T_n - n-ta rata długu, n-ta rata kapitałowa, część długu spłacana w n-tej racie łącznej, n=1, 2, …,N;

Z_n - n-ta rata odsetkowa, wartość odsetek spłacana w n-tej racie łącznej, n=1, 2, …,N; Z_n=S_n-1r

A_n - n-ta rata łączna (spłata, płatność), A_n=T_n+Z_n;

S_n - pozostała część długu po spłaceniu n rat, dług bieżący, S₀=S;

Z - suma wartości nominalnych wszystkich rat odsetkowych, Z=Z₁+…Z_N=(A₁+…A_N)-S.

S=T₁+…+T_N

Ciągi (T_n), (Z_n), (A_n), (S_n) i liczba Z wchodzą w skład tzw. planu spłaty długu.

Podstawą rachunku spłaty długu jest zasada:

Dług został spłacony, jeśli w ustalonym momencie wartość aktualna długu jest równa sumie aktualnych wartości wszystkich spłat umarzających ten dług. Oznacza to, że zachodzi wówczas równość:

,

gdzie funkcja
oznacza wartość aktualną na chwilę t=k kwoty P. Wartość ta zależy od przyjętego modelu kapitalizacji.

Aktualizacja kwot na ustalony moment wymaga dyskontowania (matematyczne (dokładne) lub handlowe (przybliżone)).

Fakt spłacenia długu S za pomocą spłat A₁, A₂, …, A_N oznacza zachodzenie zastępującej równości:

• dla modelu kapitalizacji prostej i dyskonta matematycznego

• dla modelu kapitalizacji prostej i dyskonta handlowego

• dla modelu kapitalizacji złożonej z dołu

Gdy k = 0

• dla modelu kapitalizacji prostej i dyskonta matematycznego

• dla modelu kapitalizacji prostej i dyskonta handlowego

• dla modelu kapitalizacji złożonej z dołu

Gdy k = N

• dla modelu kapitalizacji prostej i dyskonta matematycznego

• dla modelu kapitalizacji prostej i dyskonta handlowego

• dla modelu kapitalizacji złożonej z dołu

PLAN SPŁATY DŁUGU KRÓTKOTERMINOWEGO

• przy ustalaniu planu spłaty stosuje się model kapitalizacji prostej, istotne znaczenie dla ustalenia warunku spłaty ma wybór czasu aktualizacji oraz zastosowany rodzaj dyskonta

• raty łączne (spłaty) A₁, A₂, …, A_N umarzają dług krótkoterminowy S

• spłaty zgodne

• k - moment aktualizacji kwot

• r - stopa procentowa jest stała w rozpatrywanym okresie,

Warunek spłaty długu S w ratach łącznych A₁, A₂, …, A_N można zapisać jako:

• dla dyskonta matematycznego

• dla dyskonta handlowego

Po spłaceniu n rat wartość zadłużenia można mierzyć za pomocą różnicy między zaktualizowaną na moment k wartością początkową długu a sumą zaktualizowanych na moment k spłaconych rat łącznych:

• dla dyskonta matematycznego prostego:

, gdy

oraz

, gdy n>k

• dla dyskonta handlowego:

.

Wartość pozostałego długu
zaktualizowaną na moment 0 definiuje się jako teraźniejszą wartość długu

• dla dyskonta matematycznego prostego:

• dla dyskonta handlowego:

.

Zatem

Dług bieżący S_n po spłaceniu n rat definiujemy jako zaktualizowany na moment n dług
. Zatem

. Z kolei
.

Dla długów krótkoterminowych istotne znaczenie ma rozkład raty łącznej A_n na część kapitałową B_n (procentującą) i część odsetkową C_n (nieprocentującą).

A_n=B_n+C_n

Pełny plan spłaty długu tworzą: zadany ciąg (A_n), ciąg części kapitałowych (Bn) i ciąg części odsetkowych (C_n) raty łącznej (A_n), ciąg długu bieżącego (S_n) oraz suma rat odsetek (Z=SNr - odsetki proste od kapitału S).

SPŁATA DŁUGU W RÓWNYCH RATACH ŁĄCZNYCH

• dług zostaje spłacony w równych ratach łącznych: A₁=A₂=…=A_N=A

• wysokość raty A wynika z warunku spłaty długu

• k - moment aktualizacji

• dyskonto matematyczne proste

- wysokość raty

-wartość długu bieżącego

Wysokość raty A zależy od momentu aktualizacji k. Ustalenie momentu k jest równoważne podzieleniu raty A na część kapitałową B i część odsetkową C. Części B i C spełniają układ równań:

którego rozwiązaniem jest:

• dyskonto handlowe

- wysokość raty

- wartość długu bieżącego po spłaceniu n rat

Wysokość raty A zależy od momentu aktualizacji k. Ustalenie momentu k określa rozkład raty A na część kapitałową B i część odsetkową C. Części B i C określa układ równań:

.

Gdy moment aktualizacji
- raty stałego stosunku.

Gdy moment aktualizacji
- raty kupieckie.

PLAN SPŁATY DŁUGÓW ŚREDNIO- I DŁUGOTERMINOWYCH

• przy ustalaniu planu spłaty stosuje się model kapitalizacji złożonej z dołu

• zakładamy spłaty zgodne (okres stopy procentowej r, kapitalizacji i spłat (odstęp między dwiema kolejnymi spłatami jest stały) są równe)

• r - stopa procentowa jest stała w rozpatrywanym okresie, q=1+r

Warunek spłaty przy aktualizacji wszystkich kwot na moment k ma postać:

Warunek spłaty długu przy aktualizacji wszystkich kwot na moment końcowy N:

Warunek spłaty długu zaktualizowany na moment początkowy t=0:

Wniosek:

Warunek spłaty długu średnioterminowego i długoterminowego nie zależy od wyboru momentu aktualizacji kwoty długu i wszystkich spłat umarzających ten dług.

Ustalając plan spłaty długu wprowadza się tzw. dług bieżący S_n. Jest to część długu, jaka pozostaje jeszcze do spłacenia po wniesieniu n początkowych rat.

Dług bieżący S_n można przedstawić zależnością o charakterze retrospektywnym (jako różnica wartości całego długu zaktualizowanej na moment n i sumy aktualnych wartości początkowych n spłat):

Dług bieżący wyrażony przez niespłacone spłaty (ma charakter prospektywnej zależności)

Dług bieżący jest określony jako suma zdyskontowanych na chwilę t=n rat jakie należy jeszcze wnieść, aby warunek spłat był spełniony.

Dług bieżący spełnia równanie:
.

SPŁATA DŁUGU O ZADANYCH RATACH ŁĄCZNYCH ZGODNA

• dług zostaje spłacony w ratach łącznych: A₁, A₂, …, A_N

• wysokość raty A_i wynika z warunku spłaty długu

Czas

0

1

2

3

…

n

…

N-1

N

Dług

S

S1

S2

S3

…

Sn

…

SN-1

SN

Spłaty

A1

A2

A3

…

An

…

AN-1

AN

Rata długu

T1

T2

T3

…

Tn

…

TN-1

TN

Odsetki

Z1

Z2

Z3

…

Zn

…

ZN-1

ZN

Dług bieżący (reszta długu) po spłaceniu n rat

, n=1, 2, …, N

Odsetki uwzględnione w n-tej płatności

Z_n=S_n-1r; n=1, 2, …,N

Rata długu (rata kapitałowa)

T_n=A_n-Z_n=S_n-1-S_n; n=1, 2, …,N

Suma odsetek w danym planie spłaty długu

Z=Z₁+…Z_N=(A₁+…+A_N) -S

RATY ŁĄCZNE O RÓWNYCH WYSOKOŚCIACH

• dług zostaje spłacony w równych ratach łącznych: A₁=A₂=…=A_N=A

• wysokość raty A wynika z warunku spłaty długu

- wysokość raty łącznej, która wniesiona N razy umarza dług

Pozostałe elementy planu spłaty długu:

SPŁATA DŁUGU O ZADANYCH RATACH KAPITAŁOWYCH ZGODNA

• stałe raty kapitałowe: T₁, T₂, …, T_N umarzające dług S

• wysokość raty T_i wynika z warunku spłaty długu

Dług bieżący (reszta długu) po spłaceniu n rat (n=1, 2, …, N)

Odsetki uwzględnione w n-tej płatności

Z_n=S_n-1r

Płatności (raty łączne)

A_n= T_n +Z_n

Suma odsetek w danym planie spłaty długu

Z=Z₁+…Z_N=(A₁+…+A_N) -S

RATY KAPITAŁOWE O RÓWNYCH WYSOKOŚCIACH

• dług S należy spłacić w N takich ratach, dla których T₁= T₂= …=T_N =T

• wysokość równych rat T_i wynika z równości:
  

• 
  

Elementy planu spłaty długu:

MATEMATYKA FINANSOWA WYKŁAD 3 1

Dr Anna Górska

Czas

0 1 2 k N-1 N

A₁ A₂ A_k A_N-1 A_N

S

oprocentowanie

dyskontowanie

Spłaty

---