Data : 17 - 01 - 97

Laboratorium fizyczne

Pękal Adam

grupa 22 ( B )

data: 97-01-16

zespół nr 4.

Sprawozdanie z ćwiczenia numer 3.

Temat: Wyznaczanie modułu sztywności na skręcanie metodą dynamiczną.

Politechnika Zielonogórska 1997

1. Wstęp teoretyczny:

a). Drgania oscylatora harmonicznego.

Jeżeli punkt materialny porusza się ruchem okresowym tam i z powrotem po tej samej drodze, to ruch taki nazywamy drgającym. Przemieszczenie cząstki w takim ruchu można zawsze opisać przy pomocy funkcji sinus i cosinus. Ponieważ te dwie funkcje nazywamy harmonicznymi, to ruch opisany przez te funkcje często nazywany jest ruchem harmonicznym. Ruch harmoniczny opisany zostanie na przykładzie układu masa - sprężyna, którego schemat znajduje się na rysunku poniżej (rys. 1). Pierwsze omówione zostaną drgania niegasnące.

Rysunek 1. Układ masa sprężyna jako przykład oscylatora harmonicznego.

- drgania niegasnące to drgania, w których pomijane są wszelkie siły oporu, przeciwstawiające się ruchowi. W przypadku poniższego układu zakłada się że na masę nie działa żadna siła tarcia pomiędzy nią a podłożem. Stąd ciało takie, o masie m, przyczepione do idealnej sprężyny o współczynniku sprężystości k i mogące się poruszać po doskonale gładkiej poziomej powierzchni, jest przykładem oscylatora harmonicznego prostego. W układzie tym jeżeli ciało jest wychylone w lewo to działa na niego siła zgodna z równaniem F = -kx, gdzie x jest wartością wychylenia ciała z położenia równowagi.() Jeżeli ciało to znajduje się po przeciwnej stronie położenia równowagi to siła, jaka działa na nie ma taką samą wartość, lecz przeciwny zwrot. Stosując drugą zasadę dynamiki Newton'a, że F = ma otrzymujemy:

-kx = ma

wiedząc, że przyspieszenie a jest drugą pochodną przesunięcia x względem czasu t mamy:

md2x/dt2 +kx = 0; a dzieląc to przez masę otrzymujemy:

d2x/dt2 + k/mx = 0; zakładamy że k/m = ωo2 i otrzymujemy ostatecznie :

d2x/dt2 + ωo2x = 0; gdzie ω jest częstością kołową wyrażaną w [rad/sek].

Powyższe równanie jest równaniem ruchu oscylatora harmonicznego prostego. Jego rozwiązaniem jest właśnie funkcja harmoniczna, która jest zarówno okresowa jak i ograniczona.

x = A cos(ωt +ϕ)

gdzie A jest amplitudą drgań, czyli maksymalnym wychyleniem ciała z położenia równowagi, natomiast ϕ to tzw. przesunięcie fazowe stanowiące o tym, czy ruch ciała rozpoczął się od położenia „zerowego”, czy też jakiegoś dowolnie innego.

- ruch tłumiony - to taki ruch, w którym oprócz siły sprężystości (w układzie takim jak poprzednio) istnieje także siła tłumienia (np. tarcia) opisana zależnością Ft = h dx/dt.

Układ z siłą tłumiącą musi spełniać równanie:

m d2x/dt2 + h dx/dt + k/m x = 0 ; dzieląc to prze masę otrzymujemy:

d2x/dt2 +2β dx/dt + ωo2x = 0 ; gdzie 2β jest stałą tłumienia równą : 2β = h/m.

Rozwiązaniem tego równania jest następująca funkcja:

x = A0e-βtcos (ωt + ϕ)

Amplitudę tego typu drgań stanowi wyrażenie A = Aoe-βt ; gdzie Ao jest amplitudą początkową. Widać, że amplituda wypadkowa A maleje z upływem czasu.

-drgania wymuszone to drgania w układzie, w którym oprócz drgań własnych ciała wywoływane są także drgania przez siłę wymuszającą ε = εm cos ω``t. Ruch drgający wymuszony opisuje równanie:

m d2x/dt2 + h dx/dt + kx = ε = εm cos ω``t

Rozwiązaniem tego równania jest funkcja:

x = εm/G sin (ω``t - ϕ); gdzie G2 = m2(ω``2 - ω2) + h2ω2

natomiast ϕ= arc cos (hω``/G)

Widać, że układ taki drga z częstotliwością siły wymuszającej oraz, że ruch ten nie jest już ruchem tłumionym. Ponadto z rozwiązania równania różniczkowego wynika, że gdy częstość kołowa siły wymuszającej przybliża się do wartości częstości drgań własnych ω, to amplituda gwałtownie rośnie ( współczynnik G dąży do zera).

b). Wahadło fizyczne jako oscylatory harmoniczne.

Dowolne ciało sztywne powieszone tak, że może wahać się dookoła pewnej osi przechodzącej przez to ciało, nazywamy wahadłem fizycznym. Na rysunku poniżej (rys.2) przedstawione jest ciało o nieregularnym kształcie, które może obracać się dookoła poziomej osi przechodzącej przez punkt P. Zostało ono odchylone z położenia równowagi o kąt θ. Położenie równowagi to takie, w którym środek masy ciała C leży na linii pionowej przechodzącej przez P.

Rysunek 2. Wahadło fizyczne.

Oznaczenia dalszych wielkości są następujące:

d - odległość między osią obrotu przechodzącą przez punkt P a środkiem masy C;

I - moment bezwładności ciała względem osi obrotu

M - masa ciała

τ - przywracający równowagę moment siły przy kątowym przemieszczeniu θ

τ = -Mgdsinθ

ponieważ D = Mgd (moment kierujący lub współczynnik proporcjonalności) to:

τ = -Dθ

jest także: τ = Id2θ/dt2 = Iα;

tak, że d2θ/dt2 = τ/I = -D/Iθ

stąd wzór na okres drgań wahadła fizycznego przy małych amplitudach jest następujący:

(1)

c). Zastosowanie wahadła torsyjnego do wyznaczania modułu sztywności.

Wahadło torsyjne, przedstawione na rysunku obok (rys. 3), to wahadło, w którym krążek obraca się wokół swojej osi ruchem okresowym. Oś stanowi dla niego pręt, na którym krążek jest zawieszony. Górna część pręta jest sztywno zamocowana a dolna obraca się razem z krążkiem, więc pręt ulega skręcaniu. Na krążek działa wówczas moment siły skręconego drutu i stara się go przywrócić do położenia P. Moment ten jest proporcjonalny do wielkości skręcenia, czyli kątowego przemieszczenia, zatem:

τ= -Dθ

Rysunek 3. Wahadło torsyjne.

Wahadło torsyjne pozwala wyznaczyć moduł sztywności danego pręta (drutu). Polega to na tym, że bada się okresy drgań tego samego wahadła lecz przy różnych masach krążka. Dalej należy wyznaczyć związek między modułem sztywności a momentem siły występującym podczas skręcenia pręta. Wiadomo, że podczas skręcenia naprężenia styczne (δ) wynoszą:

δ = Fs /S = Gγ gdzie G - moduł sztywności ;

γ - odkształcenie względne

Wspomagając się rysunkiem poniżej widzimy, że istnieją następujące zależności:

δ = Gs/l ; ( bo: s/l = γ)

α = s/r

stąd: M = πGr4α/2l

Rysunek 4. Odkształcenia podczas skręcania.

( górna podstawa walca obrócona jest w stosunku do dolnej o kąt α)

wynika z tego, że πGr4/2l = D() więc jeżeli: to:

G = 8πlI/T2r2

Jeżeli założona jest dodatkowa tarcza wówczas:

G = 8πlI/r4(T22-T12)

W ćwiczeniu dodatkowa tarcza o promieniu R ma moment bezwładności równy I = 1/2 mR2 wówczas równanie na moduł sztywności przyjmie postać:

G = 4πlmR2/ r4(T22-T12) (2)

d). Właściwości sprężyste ciał stałych. Rodzaje odkształceń. Prawo Hooke'a i granice jego stosowalności.

- odkształcenie ciała - polega na zmianie jego wymiarów i objętości wywołana działaniem sił zewnętrznych. Podczas odkształcenia sprężystego elementy struktury (atomy, cząsteczki) przemieszczają się z jednych położeń równowagi w drugie. Przeciwdziałają temu siły oddziaływania międzycząsteczkowego skutkiem czego jest pojawienie się w ciele sił sprężystych.

- odkształcenie sprężyste - to takie, które znika po usunięciu sił zewnętrznych

- naprężenia normalne - to naprężenia, które pojawiają się w damym ciele na skutek działających na nie sił, skierowanych prostopadle do rozpatrywanego przekroju tego ciała. Naprężenia takie, najczęściej oznaczane symbolem σ są stosunkiem wartości siły działającej prostopadle do przekroju do pola powierzchni tego przekroju.:

σ = F/A [ Pa = N/m2]

Lub inaczej:

σ = E•ε

gdzie: E - to tzw. moduł Younga charakteryzujący materiał przedmiotu

ε - jest to odkształcenie względne ( Δl/l ; gdzie l - długość przedmiotu)

- naprężenia styczne - to naprężenia, które są skutkiem działania sił poprzecznie skierowanych do rozpatrywanego przekroju. Oznaczane są najczęściej symbolem τ, lecz w tym sprawozdaniu był on już wykorzystany wcześniej , więc we wzorach użyto symbolu: δ. Naprężenia styczne pojawiają się przede wszystkim podczas ścinania (dlatego też często nazywane są tnącymi) oraz skręcania przedmiotów. Wartość naprężeń tnących obliczamy ze wzoru:

δ = G•γ

gdzie: G - moduł sztywności;

γ - odkształcenie względne (kątowe)

Prawo Hooke'a - : „Naprężenie jest wprost proporcjonalne do odkształcenia lecz tylko w granicach proporcjonalności”. Po przekształceniu powyższych wzorów otrzymujemy tego potwierdzenie :

Δl = σl/E

Dla skręcania wzór powyższy przyjmuje postać:

ϕ = Msl/GI

gdzie: ϕ - kąt skręcenia

Ms - moment skręcający

l - długość pręta

G - moduł sprężystości

I - moment bezwładności

Na następnej stronie znajduje się wykres będący charakterystyką naprężeń normalnych w stosunku do wydłużenia przedmiotu. Widać, że do wartości σp, będącej granicą proporcjonalności Hooke'a wykres przyjmuje postać prostej pierwszego stopnia co potwierdza charakter proporcjonalności.

Rysunek 5. Wykres zależności odkształcenia o naprężeń

w próbce

2. Sposób przeprowadzenia ćwiczenia.

1. Wprawić w drgania torsyjne nieobciążony wibrator ( bez dolnej dodatkowej tarczy ). Wyznaczyć czas t1 trwania 30 okresów ( 10 razy ).

2. Dołączyć do wibratora dodatkową tarczę o znanym momencie bezwładności (obliczonym przez ćwiczących ). Analogicznie jak poprzednio zmierzyć czas t2 trwania 30 okresów.

3. Zmierzyć w 6-ciu miejscach średnicę drutu 2r przy pomocy mikrometru, długość drutu l - katetometrem , oraz średnicę tarczy dodatkowej 2R - suwmiarką.

4. Wyznaczyć masę dodatkowej tarczy, przy użyciu wagi laboratoryjnej.

5. Obliczyć średnie wartości okresów drgań T1 oraz T2 wibratora nieobciążonego i po obciążeniu, a następnie moduł sztywności.

3. Wyniki pomiarów i ocena błędów.

Wyniki, jakie otrzymaliśmy podczas doświadczenia zostały umieszczone w tabelach.

średnica drutu 2r [ mm ]

średni promień drutu r

0.0006142 [ m ]

1

1.21

4

1.25

długość drutu l

0.67 [ m ]

2

1.23

5

1.23

promień tarczy R

0.0657 [ m ]

3

1.22

6

1.23

masa tarczy m

0.42565 [ g ]

L.p.

czas t1 [ s ]

okres T1 [ s ]

czas t2 [ s ]

okres T1 [ s ]

średni okres T1 [ s ]

1.

75,82

2,5

84,

2,825

2.

75,72

2,5

84,

2,824

2,5184

3.

75,70

2,5

84,

2,827

średni okres T2 [ s ]

4.

75,75

2,5

84,

2,823

5.

75,80

2,5

84,

2,826

2,8211

6.

75,01

2,5

84,

2,826

Moduł skręcający [ N/m2 ]

7.

75,05

2,5

84,

2,825

8.

75,79

2,5

84,

2,824

9.

75,56

2,5

84,

2,809

Błąd [ N/m2 ]

10.

75,34

2,5

84,

2,802

Położenie równowagi to takie, w którym sprężyna nie działa żadną siłą na ciało (na rysunku ciało o masie m znajduje się właśnie w takim położeniu, oznaczonym linią pionową 0-0)

Szczegółowe obliczenia i zależności zostały pominięte ponieważ są to proste lecz żmudne przekształcenia matematyczne. ( osobiście sprawdzone przez autora sprawozdania !).

…sprawozdanie z ćwiczenia nr 3…

6