Podstawiamy

Wtedy

x=

dx=
' (t)dt

Zatem
R(x,
)dx=

' (t)dt

W przypadku całki

R(x,

....
)dx

gdzie
-stałe rzeczywiste

r , s,....,t dodatnie liczby wymierne

wykładniki r , s,....,t sprowadzamy do wspólnego mianownika m i podstawiamy

u=

3) całkowanie różniczek dwumiernych

Różniczką dwumierną nazywamy wyrażenie X^m (a+bxⁿ )^pdx

Gdzie a,b to stałe rzeczywiste M, n, p liczby wymierne

Różniczke dwumienną można scałkować w następujących przypadkach:

a) Jeżeli p jest liczbą całkowitą, to podstawiamy
, gdzie
-najmniejsza wspólna wielokrotność mianowników ułamków m, n,

b) Jeżeli m+1/n jest liczbą całkowitą to podstawiamy
, gdzie V-mianownik Mianownik.

4. CAŁKOWANIE WYRAŻEŃ ZAWIERAJĄCYCH FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE

1. Podstawienie uniwersalne

Różniczki typu R(sin x, cos x)dx gdzie R(x ,y) funkcja wymierna dwóch zmiennych można sprowadzić do postaci wymiernej stosując T= tg(x/2) gdzie -pi< x <pi

Wtedy x/2=arctg t

X=2arc tg t

Dx=2/1+ t
dt

Sinx=

Cosx=

Tgx =

Jeżeli R(-sin x, cos x)=-R (sin x, cos x) to podst t =cosx

Jeżeli R(sin x, -cos x)=-R (sin x, cos x) to podst t= sinx

Jeżeli R(-sin x, -cos x)=R (sin x, cos x) to podsty t=tgx

3. Jeżeli wyrażenie podcałkowe ma postać
   gdzie
   to liczby wymierne, xє(0,π/2) to podstawiamy t= sin
   x dx Wtedy dt=2sinx cosx dx oraz
   
   Otrzymaliśmy różniczkę dwumienną.

5. WZORY REKURENCYJNE

a)

dla n=2,3,...

b)
+

dla n=2,3,...

c)

dla n=2,3,...

d)
+

dla n=2,3,...

e)

6.CAŁKA OZNACZONA RIEMANNA I JEJ ZASTOSOWANIA

Niech funkcja rzeczywista f będzie określona i ograniczona na zbiorze <a ,b>

Podzielmy przedział <a ,b> przy pomocy punktów a=x0<x1<x2...<xi<xi+1<....<xn =b na przedziały częściowe

<xi,xi+1> i=0,1,2,.....n-1

oznaczmy
-największą z różnic delta xi=xi+1-xi

tzn
= max delta xii=0,1,2,.....n-1

w dowolnym z przedziałów częściowych <xi,xi+1>

obieramy dowolny punkt
taki ze

tworzymy sumę całkowitą

(1)

Utożsamiając przedział przedziału <a ,b> na przedziały częściowe punktami a=x0<x1<x2...<xi<xi+1<....<xn =b

Z układem punktów działowych

Możemy rozważać ciąg przedziałów
przedziału <a,b>, przy czym
. Mówimy, że ciąg podziałów
jest ciągiem normalnym, jeżeli odpowiadający mu ciąg średnic
,gdzie
-długość największego przedziału częściowego przedziału
jest zbieżny do zera.

DEFINICJA

Jeżeli przy dowolnym ciągu normalnym przedziałów <a ,b> oraz przy dowolnym wyborze punktów pośrednich
ciąg sum częściowych postaci
dąży zawsze do granicy skończonej równej I, to granicę tę nazywamy całką oznaczoną funkcji f w przedziale <a,b> i oznaczamy symbolem

W przypadku, gdy granica ta istnieje funkcję f nazywamy całkowalną na przedziale <a ,b> . Liczby a ,b nazywamy odpowiednio dolną i górną granicą całki

INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA CAŁKI OZNACZONEJ RIEMANNA

Niech funkcja ograniczona f:<a,b>→R będzie nieujemna tzn. f(x)>0 dla xє<a,b>

-pole prostokąta o podstawie <xi,xi+1> i wysokości
.

-suma pól prostokątów częściowych częściowych o podstawach <xi,xi+1> i wysokości
i=0,1,…

Zatem całka
jako granica ciągu sum całkowych jest równa polu obszaru płaskiego ograniczonego łukiem krzywej y=f(x), xє<a,b>, odcinkami prostych x=a, x=b, oraz przedziałem <a,b> osi OX.

WŁASNOŚCI CAŁKI OZNACZONEJ

1.Jeżeli funkcje f, g są całkowane na przedziale <a, b> to kombinacja linowa
gdzie
stałe rzeczywiste

jest całkowana na <a ,b> oraz

2 Jeżeli funkcja f jest całkowalna na <a b> oraz a< c <b to funkcja jest całkowalna na każdy z przedziałów <a, c> i <c, b>

oraz

3. Jeżeli funkcja f jest całkowalna na <a b> to f jest całkowalna na <b ,a> oraz
,

4. Niech funkcja f będzie całkowalna na <a,b>, a<b

wtedy
jest całkowalny na <a,b> oraz zachodzi nierówność

Można wykazać, że:

a) każda funkcja ciągła na przedziale <a,b> jest całkowalna na <a,b>

b) Jeżeli funkcja f jest ograniczona na <a,b> oraz f posiada w <a,b> skończoną liczbę punktów nie ciągłych pierwszego rodzaju, to f jest całkowalna na <a,b>

c) Funkcja f ograniczona i monotoniczna na <a,b> jest całkowalna na <a,b>.

Twierdzenie 1 (wzór Newtona-Leibnitza)

Jeżeli funkcja f jest całkowalne na przedziale <a,b> w sensie Reimanna oraz posiada skończoną funkcję pierwotną F dla każdego x
<a,b>, to

Dowód: Dokonujemy podziału
przedziału <a,b>: a=x0<x1<x2...<xi<xi+1<....<xn =b

Na podstawie tw. Laugrauge'a o wartości średniej istnieją punkty
i=1,2,3,......n

Takie,że

=
dla i=1,2,....n stąd

Z rugiej strony zachodzi równość
Czyli F(b)-F(a)=

Zatem dla każdego ciągu normalnego przedziałów przedziału <a,b> można dla każdego z przedziałów z osobna dobrać punkty
tak aby zachodziła równość

Zbudowany w ten sposób ciąg sum całkowych
dąży do granicy F(b)-F(a)

Ponieważ funkcja f jest całkowalna na <a ,b> więc ciąg
dąży do całki
. Z jednoznaczności określenia granicy otrzymujemy, że

Twierdzenie2 (całkowanie przez części w całce oznaczonej)

Jeżeli funkcje f, g posiadają ciągłe pochodne f',g' na przedziale

<a,b> to

gdzie
= f (b) g(b) -f (a) g(a)

Twierdzenie 3 (całkowanie przez podstawienie w całce oznaczonej)

Jeżeli:

1) funkcja f jest całkowalna na <a, b>

2) funkcja
jest określona na przedziale <
> przy czym dla każdego t
oraz

3) pochodna
' jest ciągła na <
>

to

ZASTOSOWANIE CAŁEK OZNACZONYCH

Niech będzie dana krzywa w postaci parametrycznej

(1) x=
(t) y=
(t) z = X(t) dla t

przy czym pochodne
' ,
' ,X' są ciągłe na

Punktem osobliwym krzywej (!) nazywamy punkt odpowiadający parametrowi t0
taki, że
'(t0) y=
'(t0) z = X ' (t0)=0

Do punktów osobliwych krzywej (1) zaliczamy również tzw punkty wielokrotne tzn punkty które otrzymujemy dla dwóch lub większej ilości wartości parametru t np. OKRĄG o środku (0,0) i promieniu R ma przedstawienie parametryczne

P=P(Rcost, Rsint) x=R*cost

t=miara kąta(0,x,OP) dla tє<0,2π>

W dalszym ciągu zakładamy, że krzywe, o których mowa poniżej nie zawierają punktów osobliwych osobliwych wyjątkiem co najwyżej pokrywających się końców krzywej zamkniętej.

1. Pole obszaru płaskiego

przy czum obszar ten jest ograniczony krzywymi ciągłymi y=f(x), y=g(x)

f(x)≥g(x) dla xє<a,b> oraz odcinkami prostych x=a, x=b jest równa

Jeżeli krzywa K dana w postaci parametrycznej K:

dla tє<α,β>, funkcje
są ciągłe na <α,β> przy czym
jest ciągła na <α,β>

dla tє<α,β> to pole obszaru płaskiego ograniczonego tą krzywą, odcinkiem osi OX oraz prostymi x=a=ϕ(α) , x=b=ϕ(β) jest równe

y=f(x)

0

a=x₀ x₁ x₂ xi xi+1 b=xn

0 x x

y

P

t R

y

0

a b x

y=f(x)

y=g(x)