WYKŁAD 4 15.05.2007

Krążenie wody w ATMOSFERZE i na ziemi.

1mol powietrza suchego w dolnych warstwach atmosfery ma gęstość 28,966g/mol

1 gramocząsteczka pary wodnej ma gęstość 18,02g/mol

Stosunek tych dwóch wielkości określa gęstość pary wodnej względem powietrza suchego i wynosi:

Przyjmuje się, że powietrze, które ma temperaturę wyższą od temperatury krytycznej zachowuje się jak gaz doskonały.

Prawo Boyle'a-Mariotta (proces izotermiczny):

p∙V = const

V - objętość gazu

p - ciśnienie gazu

Prawo Gay-Lussaca (proces izobaryczny):

V_t = V₀∙(1 + α∙t)

(1 + α∙t) - dwumian rozszerzalności cieplnej gazów

wprowadzając temperaturę bezwzględną T, gdzie T = t + 273

V_T = V₀∙[(1 + α)∙(T - 273)]

które po wprowadzeniu liczby 1/273 i uporządkowaniu

V_T = V₀∙α∙T

Prawo Daltona:

i = 1, 2, …, n

Ciśnienie mieszaniny fizycznej gazów równe jest sumie ciśnień poszczególnych składników mieszaniny.

Prawo Charlesa (proces izochoryczny):

Jeżeli zmienia się objętość gazu dla tej samej masy gazu, to jego ciśnienie jest proporcjonalne do temperatury.

Równanie Clapeyrona - równanie stanu gazu doskonałego:

pv = RT

Przy ciśnieniu stałym, a więc gdy w temperaturze T ciśnienie p_T=p₀=p_t równanie Gay-Lussaca można dla jednostki masy gazu μ zapisać następująco:

- objętość właściwa gazu

V - objętość gazu

M - masa gazu

porządkując równanie

(I)

wyrażenie

jest stałą charakterystyczną dla danego gazu, tzw. stałą gazową. Dla różnych gazów R przyjmuje różne wartości.

Zatem równanie (I) można ostatecznie zapisać

Prawo Avogadra:

Podaje ono, że stosunek gęstości dwóch różnych gazów, pozostających pod tym samym ciśnieniem i w tej samej temperaturze równy jest stosunkowi ich ciężarów cząsteczkowych, co można zapisać:

(II)

M - masa gazu

V - objętość gazu

- gęstość gazu

μ - ciężar cząsteczkowy gazu (molekularny ciężar gazu)

Wyrażenie
dla wszystkich gazów w tej samej temperaturze i pod tym samym ciśnieniem ma tę samą wartość liczbową i określa objętość
jednej gramocząsteczki.

Dla T = 273K i ciśnienia p = 1013hPa

równanie (II) dla jednej gramocząsteczki dowolnego gazu przyjmuje postać:

Stała R^* w tym równaniu nie zależy już od rodzaju gazu i nosi nazwę uniwersalnej stałej gazowej.

Uniwersalna stała gazowa:

Aby otrzymać równanie stanu dla dowolnej masy gazu M, trzeba obie strony tego równania pomnożyć przez stosunek
i wówczas:

a ponieważ
jest ilością gramocząsteczek (moli) w masie M, to równanie powyżej można zapisać:

Równanie Clapeyrona, będące równaniem stanu gazu doskonałego, wiąże zatem 3 podstawowe parametry, łatwo mierzalne: ciśnienie p, objętość V i temperaturę T.

Dla mieszaniny gazów w liczbie i, równanie stanu można zapisać:

- średni ciężar cząsteczkowy mieszaniny

Dla powietrza ciężar cząsteczkowy mieszaniny wynosi

[kg/mol]

Równanie stanu dla powietrza suchego:

p∙V = R_s∙T (III)

lub

p∙v = n∙R^*∙T (IV)

R_s - stała gazowa dla powietrza suchego

gdzie:

Stąd, aby zachodziła tożsamość pomiędzy równaniami (III) i (IV) musi zachodzić zależność:

liczbowo:

, czyli

Równanie stanu powietrza wilgotnego:

v - objętość właściwa

R_s - stała gazowa dla powietrza suchego

T_v - tzw. temperatura wirtualna powietrza wilgotnego

T_v = T(1-0,608s) (V)

s - wilgotność właściwa [g/kg]

s = 622
[g/kg]

lub s = 0,622
[-]

e - prężność pary wodnej

p - ciśnienie powietrza

wprowadzając s do wyrażenia (V) uzyskuje się:

T_v = TV(1 + 0,378
)

Wprowadzenie temperatury wirtualnej związane jest z tym, że właściwa stała gazowa R dla powietrza wilgotnego jest większa od właściwej stałej gazowej dla powietrza suchego, ponieważ:

R_pary = 1,6R_powietrza

Przy korzystaniu z równania stanu (
) przyjmuje się zwykle dla powietrza wilgotnego R=2,8704∙10³ tj. właściwą stałą gazową powietrza suchego. Jednakże w celu zachowania równości należy podwyższyć temperaturę, tzn. dla powietrza wilgotnego należy przyjąć równanie stanu w postaci:

(VI)

Temperatura wirtualna jest temperaturą umowną, jaką należałoby mieć powietrze suche, aby jego gęstość przy tym samym ciśnieniu równała się gęstości danego powietrza wilgotnego.

Gęstość powietrza.

Gęstość powietrza suchego łatwo ustalić z równania Clapeyrona dla powietrza suchego:

gęstość ς jest odwrotnością objętości właściwej v

stąd

stąd

Gęstość powietrza wilgotnego ustalić można znając temperaturę powietrza T, ciśnienie atmosferyczne p i prężność pary e.

Natomiast dla części mieszaniny składającej się z pary wodnej z równania stanu uzyskuje się:

gdzie:

współczynnik
lub 0,622 jest stosunkiem gęstości pary wodnej (18,02 [g/mol]) do gęstości powietrza suchego (28,966 [g/mol]).

Mając na uwadze, że stosunek
jest wielkością małą, można z wystarczającą dokładnością przyjąć:

(na zasadzie, w której wyrażenie (1-a)(1+a) = 1-a² przy małej wartości a wyrażenie 1-a² można przyjąć bliskie jedności) i wtedy:

co wynika też z równania (VI).

Zmiany gęstości powietrza z wysokością:

wysokość w km	0	12	25	40
gęstość w g/m^3	1293	319	45	4

Równanie statyki atmosfery:

izobary - linie łączące punkty o jednakowym ciśnieniu

W celu przeanalizowania pionowej zmiany ciśnienia wraz z wysokością bierzemy pionowy słup powietrza o jednostkowym przekroju. Wydzielamy z niego nieskończenie małą warstewkę dz, której dolna płaszczyzna leży na wysokości z, a na nią działa siła ciśnienia p skierowana ku górze. Na górną płaszczyznę powierzchni wydzielonej warstewki znajdującej się na wysokości z+dz działa siła pionowa p+dp skierowana w dół. Na dolnej płaszczyźnie z działa siła ciężaru ρ∙g.

z równania stanu gazu:

Para wodna w atmosferze:

Maksymalna zawartość pary wodnej:

Prężność pary nasyconej można określi wzorem Magnusa w formie:

gdzie:

E lub e_s - maksymalna prężność pary wodnej

T - temperatura bezwzględna =273±t

t - temperatura w °C

gdzie: stałe: nad lodem nad wodą

a 9,5 7,5

b 265,5 273,3

c 0,6608 0,6608 lub 0,7857

Aby mieć wynik w kPa a nie w mmHg zamiast 0,6608 wstawia się 0,7857.

Wilgotność bezwzględna:

pv = RT

gdzie dla gazu suchego:

p - ciśnienie powietrza [hPa]

v - objętość właściwa powietrza

R - stała gazowa R_s = 287 [
] lub [
]

T - temperatura bezwzględna [K]

Jeżeli wstawi się w miejsce:

p - prężność cząstkową pary wodnej e

v - objętość właściwą pary wodnej v'

R - stałą gazową pary wodnej R' = 461,51 [
]

równanie Clapeyrona przyjmuje postać:

Aby przejść od prężności pary wodnej do jej zawartości wyrażonej w jednostce objętości w stosunku do jednostki objętości powietrza w określonej objętości, zamiast objętości właściwej pary wodnej należy wstawić wyrażenie na gęstość poprzez relację:

gdzie:

ζ - gęstość pary wodnej

Stałą gazową pary wodnej R' można zastąpić stałą gazową powietrza suchego R_s

, stąd

μ' - ciężar cząsteczkowy pary wodnej, który wynosi 18,02 g/mol

ε = około
= 0,622

zatem:

Stąd gęstość pary wodnej, czyli wilgotność bezwzględna oznaczana jest często literą a, a więc zawartość masy pary wodnej zawartej w jednostce objętości powietrza wyniesie:

(VII)

ostatecznie, wstawiając wartości liczbowe:

lub

Wilgotność bezwzględna:

Zawartość masy pary wodnej w jednostce objętości powietrza

gdzie:

e - prężność pary wodnej [hPa]

t - temperatura powietrza [°C]

α - współczynnik rozszerzalności gazów

Natomiast, gdy chcemy e podać w mmHg, wówczas:

Wilgotność właściwa:

Stosunek masy pary wodnej M_pw do masy powietrza wilgotnego M_w w danej objętości, czyli dla stanu powietrza, gdy prężność pary wodnej aktualnej e jest mniejsza od prężności pary wodnej nasyconej E.

Z równań stanu, jak wcześniej ustalono (VII):

natomiast:

zatem:

czyli ostatecznie:

lub

Stosunek zmieszania r (mixing ratio):

Wyraża ile gramów pary wodnej przypada w powietrzu na 1g lub 1kg powietrza suchego lub jest to stosunek masy pary wodnej do masy powietrza suchego w tej samej objętości:

lub

Pomiędzy stosunkiem zmieszania a wilgotnością właściwą zachodzi tak mała różnica, że w wielu przypadkach można przyjąć, że są one sobie równe i ostatecznie można przyjąć, że:

Wilgotność względna:

Jest to stosunek prężności pary wodnej aktualnej e (obserwowanej) do prężności pary wodnej nasyconej (E) w tej samej temperaturze:

Niedosyt (niedostatek) wilgotności:

Deficyt punktu rosy:

Jest to różnica pomiędzy temperaturą t a temperaturą punktu rosy τ:

Temperatura punktu rosy:

Jest to temperatura, w której powietrze osiąga stan nasycenia a para wodna w nim zawarta zaczyna się skraplać (kondensować).