Wykład 19

19. Elektrostatyka I

1. Wstęp

Większość ciał stałych można podzielić na przewodniki i izolatory. W izolatorze nadmiarowy ładunek może być rozmieszczony w całej objętości natomiast w przewodnikach swobodne elektrony będą się zbierały na powierzchni dopóty, dopóki nie wytworzy się pole równoważące pole zewnętrzne.

Rozpatrzmy dowolny w kształcie przewodnik. Wybierzmy powierzchnię zamkniętą tuż poniżej powierzchni przewodnika.
Zastosujmy prawo Gaussa do tej powierzchni

Wewnątrz przewodnika w dowolnym punkcie powierzchni S pole musi być równe zeru, bo inaczej elektrony poruszałyby się czyli

Zatem

0 = Q_wewn./ε₀

Stąd

Q_wewn. = 0

Tak więc ładunek wewnątrz dowolnej zamkniętej powierzchni (przewodnika) musi być równy zeru; cały ładunek gromadzi się na powierzchni.

2. Kuliste rozkłady ładunków

1. Jednorodnie naładowana sfera

Rozpatrzmy jednorodnie naładowaną powierzchnię kulistą. W dowolnym punkcie sfery E  S więc

Zgodnie z prawem Gaussa:

E(4πr²) = Q/ε₀

czyli

(19.1)

dla r > R (tak jakby cały ładunek skupiony był w środku sfery).

Dla r < R, E = 0.

2. Jednorodnie naładowana kula

Przewodniki - równoważne sferze bo ładunek na powierzchni.

Izolator - równoważny szeregowi współśrodkowych sfer.

gdzie Q_wewn. = Q(r³/R³) (stosunek objętości kuli o promieniu r do objętości kuli o promieniu R, rysunek obok).

Czyli

(19.2)

Wykres E w funkcji odległości od środka jednorodnie naładowanej kuli jest pokazany poniżej.

Przykład 1

Atom wodoru traktujemy jako sztywną jednorodnie naładowaną kulę o promieniu R = 10^-10 m, całkowitym ładunku Q = e = -1.6·10^-19 C i masie m_e = 9.1·10^-31 kg. Proton znajdujący się w środku chmury elektronowej (stan podstawowy) zostaje przemieszczony o małą odległość x₀ i puszczony swobodnie. Jaka będzie częstotliwość drgań jakie elektron i proton będą wykonywały wokół ich położeń równowagi?

Siła przywracająca proton do położenia równowagi F = eE czyli

lub

Powinniśmy się posługiwać raczej masą zredukowaną μ =M_pm_e/(M_P + m_e) ale m_e << M_p więc μ ≈ m_e.

Zgodnie z równaniem dla ruchu harmonicznego

= 2.5·10¹⁵ Hz

Ta częstotliwość jest bliska promieniowaniu wysyłanemu przez atom wodoru w pierwszym stanie wzbudzonym czyli, że taki model jest uzasadniony.

3. Liniowe rozkłady ładunków

Liczymy pole E w odległości r od jednorodnie naładowanego pręta (drutu) o długości l >> r.

Wprowadzamy liniową gęstość ładunku λ (ładunek na jednostkę długości).

Jako powierzchnię Gaussa wybieramy walec (możemy wybierać dowolnie).

Z prawa Gaussa

E jest równoległe do wektora S i ma taką samą wartość w każdym punkcie powierzchni więc

2πrLE = 4πkLλ

(19.3)

Teraz pole wewnątrz. Wybieramy powierzchnię Gaussa o promieniu r < R.

Ładunek wewnątrz powierzchni Gaussa Q_wewn. = ρπr²L, gdzie ρ - gęstość objętościowa ładunku. Z prawa Gaussa otrzymujemy

E(2πrL) = 4πk(ρπr²L)

E = 2kρπr

ponieważ

λ = ρπR²

więc

(19.4)

4. Płaskie rozkłady ładunków

Obliczamy pole od nieskończonej jednorodnie naładowanej płaszczyzny.

Ładunek otoczony przez powierzchnię Gaussa jest równy Q_wewn. = σS, gdzie σ jest gęstością powierzchniową, a S powierzchnią podstawy walca. Z prawa Gaussa

2ES = σS/ε₀

gdzie czynnik 2 odpowiada dwóm podstawom walca.

Ostatecznie otrzymujemy

E = σ/2ε₀ (19.5)

Wiele zastosowań dotyczy układu dwóch, płaskich równoległych płyt (kondensator płaski).

Pole wytwarzane przez płytę "po lewej stronie" (rysunek poniżej) jest równe
E_minus = σ/2ε₀ i skierowane ku płycie. Pole wytwarzane przez płytę po prawej E_plus = σ/ε₀ i skierowane jest od płyty.

Zatem w obszarze I

E_I = σ/2ε₀ + (- σ/2ε₀) = 0

w obszarze II

E_II = -σ/2ε₀ + (- σ/2ε₀) = -σ/ε₀

w obszarze III

E_III = (- σ/2ε₀) + σ/2ε₀ = 0

5. Powierzchnia przewodnika

Jeżeli przedstawiona na rysunku naładowana powierzchnia stanowi część powierzchni przewodnika to ponieważ cały ładunek gromadzi się na zewnętrznej powierzchni to wewnątrz E = 0. Co więcej E musi być prostopadłe do powierzchni (równoległe do S) bo gdyby istniała składowa styczna to elektrony poruszałyby się. Z prawa Gaussa

ES = (σS)/ε₀

więc

E = σ/ε₀ (19.6)

na powierzchni przewodnika.

3. Potencjał elektryczny

Zgodnie z naszymi rozważaniami różnica energii potencjalnych jest dana przez

co dla pola elektrycznego daje

(19.7)

Podobnie jak dla grawitacyjnej energii potencjalnej możemy zdefiniować punkt zerowej energii potencjalnej dla ciała znajdującego się w nieskończoności. Wtedy

Jeżeli przenosimy ładunek q z nieskończoności do punktu odległego o r od innego ładunku punktowego Q, to energia potencjalna jest równa pracy wykonanej przeciw sile elektrycznej, czyli

(19.8)

jest energią potencjalną ładunków q i Q.

Potencjał elektryczny jest definiowany jako energia potencjalna na jednostkowy ładunek

(19.9)

Dla ładunku punktowego

(19.10)

Potencjał = praca potrzebna do przeniesienia jednostkowego ładunku z nieskończoności do r od ładunku punktowego Q.

Różnica potencjałów czyli napięcie U pomiędzy dwoma punktami = praca na przeniesienie ładunku jednostkowego między tymi punktami

(19.11)

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

18-8

19-6

---