Chi-kwadrat. Test zgodności

Test zgodności chi-kwadrat (inaczej zwany testem Pearsona) służy do porównania ze sobą zaobserowanego rozkładu naszej zmiennej z jakimś teoretycznym rozkładem. Jednakże przy testowaniu zgodności rozkładu naszej zmiennej z dobrze znanymi rozkładami teoretycznymi w statystyce : np. normalnym, Poissona zazwyczaj stosuje się inne testy np. test K-S, test Shapiro-Wilka.

Test zgodności chi-kwadrat w praktyce można wykorzystać na różne sposoby:

1) sprawdzenie równoliczności grup
2) porównanie występowania obserwacji z ich teoretycznym występowaniem

1) Równoliczność grup

Przykład:
Badacz chciał sprawdzić, czy w swoim badaniu była równa liczba kobiet i mężczyzn (statystycznie równa, nieistotne statystycznie różnice). W badaniu przebadał 480 mężczyzn oraz 520 kobiet. Wynik okazał się nieistotny statystycznie (dla p < 0,05). Oznacza to, że badacz może przyjąć, że przebadał podobną liczbę kobiet i mężczyzn (mówiąc językiem statystyki).

Test ten stosuje się również w przypadku sprawdzania, czy któraś z udzielanych odpowiedzi była najczęściej udzielana

2) Występowanie obserwacji a ich teoretyczne występowanie Przykład:

Załóżmy, że żyjemy w kraju, w którym 70% społeczeństwa stanowią kobiety. Badacz w swoim badaniu przebadał 60 mężczyzn i 40 kobiet. Następnie chciał sprawdzić, czy rozkład płci w jego badaniu pokrywa się z rozkładem w populacji danego kraju.

Teoretycznie, badając 100 osób, powinien zbadać 70 kobiet i 30 mężczyzn, aby odzwierciedlić proporcję w populacji. Przy użyciu testu zgodności chi-kwadrat stwierdził, że różnica w proporcji kobiet i mężczyzn jest na tyle duża, aby móc powiedzieć, że jego rozkład płci w jego badaniu nie odzwierciedla rozkładu w populacji.

Są dwa najważniejsze założenia testu zgodności chi-kwadrat: minimalna liczebność próby = 5 i niezależność grup

Sprawdzianem hipotezy zerowej jest statystyka wyrażona w następujący sposób:

f - oznacza liczbę zaobserwowanych wartości z danego przedziału,

Statystyka testu ma rozkład χ² o ν = k - r - 1 stopniach swobody, gdzie r to liczba szacowanych parametrów, od których zależy rozkład cechy w populacji, natomiast k to liczba przedziałów klasowych lub wariantów cechy X;

pi oznacza prawdopodobieństwo tego, że cecha X przyjmuje wartość należącą do i-tego przedziału klasowego, n⋅pi oznacza liczbę jednostek, które powinny znaleźć się w i-tym przedziale (przy założeniu, że cecha ma rozkład zgodny z hipotetycznym).

Jeżeli
, to nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej, w przeciwnym przypadku istnieją podstawy do odrzucenia hipotezy zerowej.

Aby sprawdzić, czy wartość statystyki chi-kwadrat wskazuje na istotną statystycznie zależność, musimy sprawdzić, posługując się tablicą rozkładu chi-kwadrat, czy dana wartość wskazuje na istotne statystycznie różnice.

Aby tego dokonać, musimy znać:

 wartość statystyki chi-kwadrat (wynik testu chi-kwadrat)

 liczbę przebadanych osób

 poziom istotności (poziom prawdopodobieństwa), dla którego dany wynik będzie wskazywał na istotną zależność

Dla przykładu, jeżeli przyjmiemy, że interesuje nas czy dany wynik jest istotny statystycznie, przy założeniu 5% szans popełnienia błędu przy wnioskowaniu (p = 0,05) i do tego wiemy, że zbadaliśmy 100 osób - to na skrzyżowaniu tych dwóch wartości odczytujemy wartość statystyki chi-kwadrat i porównujemy ją z uzyskaną w naszych obliczeniach statystyką.

Jeżeli wartość naszego testu będzie większa niż wartość z tablicy uznamy, że wynik jest istotny statystycznie (przy założeniu p = 0,05)

Jeżeli natomiast wartość naszego testu będzie mniejsza niż wartość z tablicy uznamy wtedy, że wynik nie jest istotny statystycznie.

Przykład:

Na podstawie danych zawartych w poniższej tablicy należy odpowiedzieć na pytanie czy na poziomie istotności 0,05 można sądzić, że rozkład dziennej liczby dostaw dla pewnego przedsiębiorstwa Z w ciągu 90 dni jest rozkładem Poissona?

Tab. Dzienna liczba dostaw dla przedsiębiorstwa Z

Przez X oznaczamy dzienną liczbę dostaw do przedsiębiorstwa Z.

Hipotezę zerową i alternatywną zapisujemy w następującej postaci:

H₀: X ma rozkład Poissona,

H₁: X nie ma rozkładu Poissona.

W rozkładzie Poissona wartości prawdopodobieństw są funkcją parametru m. Wartość parametru m jest nieznana, w związku z czym najpierw należy parametr ten oszacować na podstawie próby. Ponieważ w rozkładzie Poissona parametr m = E(X), można zatem do oszacowania tego parametru przyjąć estymator wartości przeciętnej. Otrzymujemy wartość średnią równą 1,656 stąd zaokrąglając przyjmujemy m = 1,7. Prawdopodobieństwa p_i znajdujemy w tablicach rozkładu Poissona dla m = 1,7 tak, że p_i = P(X = x_i). Ostatnia wartość p_i wynosi 0,092, jako różnica między jednością a sumą p_i poprzednich.

Dzienna liczba dostaw (xi)	Liczba dni (fi)	xifi
0	19	0
1	29	29
2	17	34
3	14	42
4	11	44
Suma	90	149
wartość średnia	1.656

W celu wyznaczenia statystyki testu χ² należy dokonać pewnych obliczeń, które zawiera poniższa tablica:

Tab. Obliczenia pomocnicze

Wartość statystyki testu χ_0,05² odczytana z tablic dla ν = 5 - 1 - 1 = 3 stopniach swobody wynosi 7,815.

Ponieważ χ² < χ²_α, to nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej, że rozkład liczby dostaw jest rozkładem Poissona.

Rozkład chi kwadrat (zapisywany także jako χ²) to rozkład zmiennej losowej, która jest sumą k kwadratów niezależnych zmiennych losowych o standardowym rozkładzie normalnym. Liczbę naturalną k nazywa się liczbą stopni swobody rozkładu zmiennej losowej.

Jeżeli ciąg niezależnych zmiennych losowych
oraz:

to:

czyli słownie: Zmienna losowa Y ma rozkład chi kwadrat o k stopniach swobody.

Rys.1 Gęstość prawdopodobieństwa, dla różnych stopni swobody rozkładu zmienej losowej.

Filip Fornalik Wrocław 24.01.2010
172087
MBM

---