GRUPA {G, *}

(G - zbiór, * - działanie łączne w G spełniające poniższe warunki)

1. Istnieje element neutralny

2. Każdy element G posiada element odwrotny/przeciwny

3. Działania * na zbiorze G są łączne

Jeżeli występuje przemienność działań to grupa jest abelowa (przemienna)

CIAŁO {F, +, . }

(F - zbiór, działania wewnętrzne „+” - dodawanie i „.” - mnożenie, spełniające poniższe warunki)

1. {F,+} jest grupą abelową (przemienną)

2. {F\{0}, . } jest grupą abelową (przemienną)

3.
(prawo rozdzielności mnożenia względem dodawania)

W ciele zachodzą następujące warunki:

LICZBY ZESPOLONE

(a) Postać kanoniczna

(b) Postać sprzężona

(c) Postać trygonometryczna

(d) Wzory:

PRZESTRZENIE LINIOWE {V(F), +, . } (też przestrzenie wektorowe)

(V - zbiór, F - ciało)

(a) Przestrzenią liniową V nad ciałem F nazywamy układ {V(F), +, . } gdzie „+” jest działaniem wewnętrznym w zbiorze V a „.”
działaniem zewnętrznym

(b) Podprzestrzeń liniowa zawarta
nazywamy każdy taki podzbiór w przestrzeni V, że W jest przestrzenią liniową nad F

(c) baza: Zbiór
jest bazą przestrzeni liniowej V(F) jeżeli

1. Jest zbiorem wektorów liniowo niezależnych

2.
każdy wektor da się przedstawić jako kombinację liniową wektorów ze zbioru (napina przestrzeń wektorową)

(d) układ wektorów
nazywamy układem wektorów liniowo niezależnych jeżeli dla dowolnego układu skalarów
spełniony jest warunek

PRZEKSZTAŁCENIA LINIOWE
(też odwzorowania liniowe)

(A - przekształcenie liniowe, V i V' - przestrzenie liniowe nad ciałem F)

(a)

(b)

(c) Jądrem A nazywamy zbiór
. Ker A jest podprzestrzenią V

(d) Obrazem A nazywamy zbiór
. Im A jest podprzestrzenią V

(e) Rzędem przekształcenia A nazywamy wymiar obrazu A

(f) Macierz przekształcenia jest to zapis przekształcenia liniowego dwóch skończenie wymiarowych przestrzeni liniowych nad tym samym ciałem

PRZEJŚCIE Z JEDNEJ BAZY DO INNEJ BAZY

(a) Macierz przejścia jest to macierz odwracalna, zwana macierzą przejścia z bazy B do bazy B'

(b)

(c)
(co jest w miejscu „?”)

(d) Macierz podobna. Dwie macierze (
) A, B są podobne, jeżeli istnieje macierz C (
) nieosobliwa, że
. Własności:
(Tr - ślad macierzy, suma elementów na diagonalnej (przekątnej) )

MACIERZE

rząd macierzy - ilość niezależnych liniowo kolumn

macierz skalarna z przekątną główną (a, …, a)

sprzężenie hermitowskie np.

WYZNACZNIK MACIERZY KWADRATOWEJ

(A - macierz)

(a) Wyznacznik to funkcja określona na macierzach kwadratowych, związana z mnożeniem i dodawaniem odpowiednich elementów dużej macierzy, by otrzymać pojedynczą liczbę

(z Laplace'a)

(b) Własności:

1.

2. Wyznacznik macierzy, w której jeden z wierszy został pomnożony przez liczbę
jest równy iloczynowi
i wyznacznika wyjściowej macierzy

3. Wyznacznik macierzy, której kolumna lub wiersz zawiera same zera = 0

4. Przy zamianie dwóch kolumn lub wierszy znak wyznacznika zmienia się na przeciwny

5. Wyznacznik macierzy jednostkowej = 1

6. Jeżeli w macierzy są identyczne dwa wiersze lub kolumny to wyznacznik jest równy 0

7.

8. Wyznacznik nie ulega zmianie jeśli do jednego z jego wierszy dodamy drugi pomnożony przez liczbę

9. Wyznacznik macierzy, w której wiersze lub kolumny są liniowo zależne jest równy 0

10.

(c) Rozwinięcie Laplace'a

(d) Układ Cramera

- powstaje poprzez zastąpienie i-tej kolumny wyrazem wolnym

układ jednorodny gdy

(e) niezależność liniowa wektora jako kolumny, jeżeli det = 0 to zależne liniowo

WARTOŚCI I WEKTORY WŁASNE PRZEKSZTAŁCEŃ LINIOWYCH

(a)

(b) Transformacja podobieństwa

macierz diagonalizująca (P), wektory własne jako kolumny

macierz diagonalna, wartości własne na przekątnej

PRZESTRZENIE Z ILOCZYNEM WEWNĘTRZNYM (iloczyn skalarny)

(a) Iloczyn wewnętrzny: operator na przestrzeni liniowej przypisujący dwóm argumentom tej przestrzeni wartość skalarną

Iloczyn skalarny:

(b) Zbiory ortonormalne

jest zbiorem ortonormalnym

(c) Zupełność zbioru ortonormalnego nie zawiera się z żadnym większym zbiorze ortonormalnym

(d) Własności:

(e) Ortogonalizacja Grama-Schmidta

PRZEKSZTAŁCENIA SPRZĘŻONE DO DANEGO PRZEKSZTAŁCENIA

Przekształcenia B jest sprzężone do A jeśli

Zazwyczaj przekształcenie sprzężone do

Samosprzężone
(rzeczywiste wartości własne)

Macierz unitarna

---