Nr ćwicz. 108	Data: 01.06.2011		Wydział TCh Kierunek TCh	Semestr: II	Grupa: 1.5
prowadzący: dr J.Barańska			Przygotowanie:	Wykonanie:	Ocena:

Temat: Wyznaczanie modułu Younga metodą ugięcia.

Wstęp teoretyczny:

Gdy na pręt podłużny działa siła prostopadle do jego długości, doznaje on ugięcia, a wielkość tzw. strzałki ugięcia S (rys. 1.) jest zawsze proporcjonalna do siły F, a także zależy od wymiarów geometrycznych, sposobu mocowania pręta i rodzaju materiału z którego jest on wykonany.

Rys. 2. Element pręta zgiętego

Rys. 1. Ugięcie pręta

Zgodnie z prawem Hooke'a wydłużenie jest proporcjonalne do siły i długości początkowej oraz odwrotnie proporcjonalne do powierzchni przekroju

gdzie: E - moduł Younga,
- siła rozciągająca badaną warstwę elementarną.

Taka sama siła, lecz przeciwnie skierowana, działa na warstwę elementarną położoną symetrycznie poniżej warstwy neutralnej N. Moment siły
względem warstwy N wynosi

Całkowity moment M sił działających na wszystkie warstwy zawarte między przekrojami 1 i 2 obliczam całkując powyższe równanie względem y po całej grubości

(1)

Jeśli oznaczę

(2)

to równanie (1) mogę napisać w postaci

(3)

Równanie to otrzymałem rozpatrując odkształcenie pręta, którego bezpośrednią przyczyną jest siła F przyłożona do jego końca. Moment tej siły względem przekroju 2 wynosi
lub zaniedbując wielkość
jako małą w porównaniu z x

(4)

Kąt
jest zawarty między stycznymi do pręta w punktach, gdzie przekroje 1 i 2 przecinają górną powierzchnię. Na podstawie rysunku mogę napisać następujący związek

Wstawiając powyższe równanie do wzoru (3) i porównując wzory (3) i (4) otrzymuję elementarną strzałkę ugięcia

Całkowitą strzałkę ugięcia otrzymuję całkując powyższe równanie po całej długości pręta

Po scałkowaniu, wyrażenie na całkowitą strzałkę ugięcia przyjmuje postać

Wartość współczynnika H zależy od kształtu i rozmiarów geometrycznych pręta. Gdy przekrój jest prostokątem o wysokości h i szerokości b, to całkowanie równania (2) prowadzi do wyniku

Całkowanie podobnego wyrażenia dla przekroju kołowego daje

Podstawiając wartości współczynników H otrzymuję odpowiednio dla obu przekrojów strzałki ugięcia

Otrzymane powyżej wzory odnoszą się do pręta jednostronnie obciążonego i jednym końcem umocowanego. Równania te można łatwo dostosować do sytuacji, gdy pręt jest swobodnie oparty dwoma końcami i obciążony w środku. Zachowuje się on wtedy tak, jak gdyby był zamocowany w środku, a na jego końce działały siły
skierowane ku górze. Siła
działa wtedy na pręt o długości
.

Po uwzględnieniu tych warunków w poprzednich wzorach uzyskuję wzory na strzałki ugięcia prętów

Rys. 3. Ugięcie pręta

dwustronnie podpartych

Z powyższych wzorów obliczam moduł Younga dla przekroju prostokątnego:

(5)

i dla przekroju kołowego:

(6)

Pomiary i obliczenia:

Dokładność miary długości : 0,1 cm

Dokładność mikromierza: 0,01 mm

Odległość między podporami l=65,3 cm = 653 mm

Masa zawieszki (dodana do masy obciążników) = 0,024 kg

Obciążnik	Masa [kg]
1	0,212
1+2	0,398
3	0,496
1+3	0,684
1+2+3	0,870
3+4	0,971
1+3+4	1,159
3+4+5	1,450
1+3+4+5	1,638
1+2+3+4+5	1,824

Siła obciążająca obliczona dla przyspieszenia ziemskiego g = 9,81 m/s

Masa [kg]	Siła obciążająca [N]
0,212	2,07972
0,398	3,90438
0,496	4,86576
0,684	6,71004
0,870	8,5347
0,971	9,52551
1,159	11,36979
1,450	14,2245
1,638	16,06878
1,824	17,89344

Rachunek błędu.

Błąd wyznaczenia modułu Younga dla pręta o przekroju prostokątnym liczony metodą różniczki logarytmicznej:

Błąd wyznaczenia modułu Younga dla pręta o przekroju kołowym liczony metodą różniczki logarytmicznej:

Obliczenia dla pręta kołowego 1

Średnica: 7,92 mm

F [N]	h1 [mm]	S1 [mm]
0	606,34	0,00
2,07972	605,68	0,66
3,90438	605,19	1,15
4,86576	604,55	1,79
6,71004	603,65	2,69
8,5347	603,41	2,93
9,52551	603,11	3,23
11,36979	602,64	3,70
14,2245	601,48	4,86
16,06878	601,06	5,28
17,89344	600,56	5,78

l= 0,653 [m]

r= 0,00396 [m]

a= 0,3263

A= 0,33 +/- 0,01

π

E =

Pręt wykonany był z mosiądzu.

Obliczenia dla pręta kwadratowego 2:

Średnica: 8,96 mm

F [N]	h2 [mm]	S2 [mm]
0	609,12	0,00
2,07972	608,43	0,69
3,90438	608,00	1,12
4,86576	607,74	1,38
6,71004	607,23	1,89
8,5347	606,83	2,29
9,52551	606,64	2,48
11,36979	606,15	2,97
14,2245	605,45	3,67
16,06878	605,06	4,06
17,89344	604,65	4,47

A=0,246 +/- 0,004

l= 0,653 [m]

b= 0,00896 [m]

h=0,00896 [m]

a= 0,2456

Pręt wykonany był z cyny.

Obliczenia dla pręta kołowego 3:

Średnica: 7,93 mm

F [N]	h3 [mm]	S3 [mm]
0	605,02	0,00
2,07972	604,26	0,76
3,90438	603,67	1,35
4,86576	603,36	1,66
6,71004	602,83	2,19
8,5347	602,35	2,67
9,52551	601,90	3,12
11,36979	601,58	3,44
14,2245	600,85	4,17
16,06878	600,29	4,73
17,89344	599,66	5,36

A=0,289 +/- 0,006

l= 0,653 [m]

r= 0,003965 [m]

a= 0,2887

π

E =

Pręt był wykonany z miedzi.

Obliczenia dla pręta kołowego 4:

F [N]	h4 [mm]	S4 [mm]
0	608,59	0,00
2,07972	607,66	0,93
3,90438	607,15	1,44
4,86576	606,54	2,05
6,71004	605,78	2,81
8,5347	604,91	3,68
9,52551	603,64	4,95
11,36979	602,63	5,96
14,2245	601,35	7,24
16,06878	600,55	8,04
17,89344	599,63	8,96

A=0,522 +/- 0,016

l= 0,653 [m]

r= 0,00398 [m]

a= 0,5222

π

E =

11362081,543

Pręt wykonany był z ołowiu.

Obliczenia dla pręta prostokątnego 5:

Bok a: 6,97 mm

Bok b: 5,93 mm

F [N]	h5 [mm]	S5 [mm]
0	602,95	0,00
2,07972	602,24	0,71
3,90438	601,60	1,35
4,86576	601,17	1,78
6,71004	600,69	2,26
8,5347	600,02	2,93
9,52551	599,75	3,20
11,36979	599,19	3,76
14,2245	598,16	4,79
16,06878	597,55	5,40
17,89344	597,10	5,85

A=0,3288 +/- 0,0036

l= 0,653 [m]

b= 0,00593 [m]

h= 0,00697 [m]

a= 0,3288

Średnica: 7,99 mm

117007,47

Pręt wykonany był ze stali.

Obliczenia dla pręta kołowego 6:

F [N]	h6 [mm]	S6 [mm]
0	606,74	0,00
2,07972	606,43	0,31
3,90438	606,18	0,56
4,86576	605,85	0,89
6,71004	605,59	1,15
8,5347	605,31	1,43
9,52551	605,16	1,58
11,36979	604,91	1,83
14,2245	604,81	1,93
16,06878	604,35	2,39
17,89344	604,01	2,73

A=0,146 +/- 0,006

l= 0,653 [m]

r= 0,003995 [m]

a= 0,1466

π

E =

39785567,72

Pręt wykonany był z kutego żelaza.

Aby obliczyć moduł Younga dla materiału, z którego wykonany jest pręt kołowy, przekształcamy równanie
do postaci E=
.

Dla pręta prostokątnego przekształcamy równanie

do postaci

Wnioski

Błędy obliczone zostały w programie Excel. Powstałe błędy spowodowane były niesprzyjającymi warunkami panującymi w sali w czasie pomiarów. Stosunkowo duża wartość odchylenia standardowego wynika z dużej rozbieżności wyników, które są konsekwencją niedokładności odczytu i zamocowania prętów.

---