Rozklad statystyk z proby, wykłady i notatki, statystyka matematyczna


ROZKŁADY STATYSTYK Z PRÓBY

PRÓBA LOSOWA

Przykład:

Nr kolejnych doświadczeń

x1

x2

x3

x4

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

.

.

.

5

1

3

3

5

4

1

.

.

.

5

1

1

2

2

6

3

.

.

.

4

5

3

5

4

3

1

.

.

.

1

6

6

1

2

4

5

.

.

.

Def. Próbą losową prostą nazywamy ciąg n-zmiennych losowych 0x01 graphic
niezależnych i posiadających jednakowe rozkłady takie jak rozkład zmiennej losowej X w populacji generalnej.

STATYSTYKA

Def. Statystyką (z próby) nazywamy zmienną losową Zn będącą funkcją zmiennych losowych 0x01 graphic
stanowiących próbę losową.

Przykład:

0x01 graphic

- statystyka jako funkcja zmiennych losowych sama jest zmienną losową, która posiada pewien rozkład

- rozkład statystyki 0x01 graphic
nazywa się rozkładem z próby

ROZKŁAD ŚREDNIEJ ARYTMETYCZNEJ Z PRÓBY

DLA POPULACJI NORMALNEJ ZE ZNANYM

ODCHYLENIEM STANDARDOWYM

Założenia

- cecha X ma w populacji rozkład normalny ze średnią m i odchyleniem standardowym ,

- z populacji pobieramy n-elementową próbę losową prostą (X1, X2,...,Xn).

Średnia arytmetyczna z próby 0x01 graphic
posiada przy powyższych założeniach rozkład normalny ze średnią 0x01 graphic
i odchyleniem standardowym 0x01 graphic
:

0x01 graphic

Dowód:

0x01 graphic

0x01 graphic

ROZKŁAD ŚREDNIEJ ARYTMETYCZNEJ Z PRÓBY

DLA POPULACJI NORMALNEJ Z NIEZNANYM

ODCHYLENIEM STANDARDOWYM

Założenia

- cecha X ma w populacji rozkład normalny ze średnią m i nieznanym odchyleniem standardowym ,

- z populacji pobieramy n-elementową losową prostą 0x01 graphic
.

Do wnioskowania o średniej m korzystamy ze statystyki t- Studenta o postaci:

0x01 graphic

ROZKŁAD t- STUDENTA

Def. Rozkładem t-Studenta o liczbie stopni swobody υ nazywamy rozkład zmiennej losowej określony funkcją gęstości o postaci:

0x01 graphic

gdzie υ=n-1 zaś Γ(x) jest funkcją gamma.

Parametry:

0x01 graphic

ROZKŁAD RÓŻNICY ŚREDNICH ARYTMETYCZNYCH

Z PRÓB DLA DWÓCH POPULACJI NORMALNYCH

PRZY ZNANYCH ODCHYLENIACH STANDARDOWYCH

Założenia

- cechy 0x01 graphic
i 0x01 graphic
mają w dwóch populacjach rozkłady normalne odpowiednio 0x01 graphic
oraz 0x01 graphic
ze znanymi odchyleniami standardowymi,

- z populacji pobieramy niezależnie próby liczące odpowiednio 0x01 graphic
i 0x01 graphic
elementów.

Różnica średnich arytmetycznych z prób 0x01 graphic
ma rozkład normalny z wartością oczekiwaną 0x01 graphic
i odchyleniem standardowym 0x01 graphic

0x01 graphic

ROZKŁAD ŚREDNICH ARYTMETYCZNYCH

Z PRÓB Z DWÓCH POPULACJI NORMALNYCH

PRZY NIEZNANYCH (ALE JEDNAKOWYCH)

ODCHYLENIACH STANDARDOWYCH

Założenia:

- cechy 0x01 graphic
i 0x01 graphic
mają w dwóch populacjach rozkłady normalne odpowiednio 0x01 graphic
oraz 0x01 graphic
z nieznanymi (ale jednakowymi) odchyleniami standardowymi,

- z populacji pobieramy niezależnie próby liczące odpowiednio 0x01 graphic
i 0x01 graphic
elementów.

Do wnioskowania o różnicy pomiędzy średnimi 0x01 graphic
korzystamy ze statystyki t-Studenta o postaci:

0x01 graphic

ROZKŁAD WARIANCJI Z PRÓBY

DLA POPULACJI NORMALNEJ

Założenia

- z populacji normalnej N(m,) pobieramy próbę n-elementową 0x01 graphic
,

- na podstawie próby budujemy statystykę 0x01 graphic
.

Do wnioskowania o wariancji 0x01 graphic
w populacji korzystamy ze statystyki o postaci:

0x01 graphic

Parametry statystyki 0x01 graphic

0x01 graphic



ROZKŁAD χ2 (CHI- KWADRAT)

Def. Rozkładem χ2 (chi- kwadrat) o liczbie stopni swobody υ nazywamy rozkład zmiennej losowej określony funkcją gęstości o postaci:

0x01 graphic

gdzie:

υ=n-1

Def. Rozkładem χ2 (chi- kwadrat) o liczbie stopni swobody υ nazywamy rozkład statystyki:

0x01 graphic

gdzie:

Xi - niezależne zmienne losowe mające jednakowy rozkład N(m,σ),

υ=n.

Parametry:

0x01 graphic

Przy υ rozkład statystyki 0x01 graphic
zdąża do rozkładu 0x01 graphic
.

ROZKŁAD ILORAZU WARIANCJI Z PRÓB

DLA DWÓCH POPULACJI NORMALNYCH

Założenia

- z dwu niezależnych populacji o rozkładzie normalnym z dowolnymi średnimi i wariancjami równymi 0x01 graphic
pobieramy próby liczące, odpowiednio, 0x01 graphic
elementów,

- na podstawie wariancji z tych prób szacujemy:

0x01 graphic

Do wnioskowania o ilorazie wariancji z dwóch populacji korzystamy ze statystyki o postaci:

0x01 graphic

ROZKŁAD F- SNEDECORA

Def. Rozkład zmiennej losowej nazywamy rozkładem F- Snedecora o liczbie stopni swobody licznika 0x01 graphic
i liczbie stopni swobody mianownika 0x01 graphic
jeżeli jej funkcja gęstości ma rozkład:

0x01 graphic

Parametry rozkładu F- Snedecora:

0x01 graphic

TWIERDZENIA GRANICZNE

W twierdzeniach granicznych rozpatruje się ciągi zmiennych losowych {Xn}, których rozkłady - przy wzroście wskaźnika n do nieskończoności - mogą być zbieżne do pewnego rozkładu nazywanego rozkładem granicznym (asymptotycznym) ciągu zmiennych losowych {Xn}.

Lokalne twierdzenia graniczne - twierdzenia mówiące o zbieżności ciągu funkcji prawdopodobieństwa lub funkcji gęstości.

Integralne twierdzenia graniczne - twierdzenia mówiące o zbieżności ciągu dystrybuant.

TWIERDZENIE DE MOIVRE`A - LAPLACE`A

Twierdzenie (integralne)

Niech {Xn} będzie ciągiem zmiennych losowych o rozkładzie dwumianowym z parametrami n i 0<p<1 oraz niech {Un} będzie ciągiem wystandaryzowanych zmiennych 0x01 graphic
:

0x01 graphic

Wtedy dla ciągu dystrybuant 0x01 graphic
zmiennych losowych Un zachodzi:

0x01 graphic

dla każdej wartości u.

Wniosek

Ciąg dystrybuant zmiennych losowych {Xn} o rozkładzie dwumianowym z parametrami n i p (niestandaryzowanych) jest zbieżny do rozkładu normalnego 0x01 graphic
.

Wniosek

Jeśli rozpatrzymy ciąg zmiennych 0x01 graphic
, to z twierdzenia de Moivre'a-Laplace'a wynika, że zmienna ta ma asymptotyczny rozkład normalny 0x01 graphic
.

CENTRALNE TWIERDZENIE GRANICZNE

LINDEBERGA-LEVY`EGO

Założenia

Rozpatrujemy ciąg niezależnych zmiennych losowych {Xn} o jednakowym rozkładzie (identycznych wartościach oczekiwanych 0x01 graphic
oraz wariancjach 0x01 graphic
)

Oznaczamy przez 0x01 graphic
zmienną określoną wzorem: 0x01 graphic
o wartości oczekiwanej i wariancji:

0x01 graphic

Oznaczamy wystandaryzowaną zmienną 0x01 graphic
przez:

0x01 graphic

Twierdzenie (centralne)

Jeśli 0x01 graphic
jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych o identycznych rozkładach i skończonej wariancji, to ciąg dystrybuant 0x01 graphic
zmiennych losowych 0x01 graphic
spełnia warunek:

0x01 graphic
dla każdej wartości t.

Wniosek

Zmienna losowa 0x01 graphic
ma asymptotyczny rozkład normalny 0x01 graphic
.

Wniosek

Jeśli dla określonych wyżej zmiennych losowych Xk rozpatrzymy zmienną 0x01 graphic
, której wartością oczekiwaną i wariancją są odpowiednio:

0x01 graphic

to z twierdzenia Lindeberga-Lévy'ego otrzymujemy, że ciąg zmiennych {Vn} jest zbieżny do rozkładu normalnego 0x01 graphic
.

ROZKŁADY GRANICZNE STATYSTYK Z PRÓBY

  1. Założenia

- zmienna losowa X ma rozkład dwumianowy z parametrami n i p,

- przy wnioskowaniu o parametrze p korzystamy ze statystyki 0x01 graphic
(czyli obserwowanej przy n doświadczeniach częstości sukcesów) posiadającej rozkład dwumianowy o parametrach

0x01 graphic
i 0x01 graphic

Wniosek:

Statystyka W przy 0x01 graphic
ma rozkład normalny ze średnią p i odchyleniem 0x01 graphic

0x01 graphic

  1. Założenia

- zmienne losowe 0x01 graphic
i 0x01 graphic
mają rozkłady dwumianowe z parametrami, odpowiednio, 0x01 graphic
i 0x01 graphic
oraz 0x01 graphic
i 0x01 graphic

Wniosek:

Statystyka 0x01 graphic
, czyli różnica częstości sukcesów z dwu prób ma, przy 0x01 graphic
i 0x01 graphic
, rozkład normalny ze średnią 0x01 graphic
i odchyleniem standardowym 0x01 graphic
:

0x01 graphic

  1. Założenia

- zmienna losowa X ma dowolny rozkład ze średnią m i odchyleniem standardowym

Wniosek:

Rozkład z próby 0x01 graphic
zmierza, przy 0x01 graphic
, do rozkładu normalnego z wartością oczekiwaną m i odchyleniem0x01 graphic
standardowym 0x01 graphic
:

0x01 graphic

4. Założenia

- zmienne losowe 0x01 graphic
i 0x01 graphic
mają dowolne rozkłady z parametrami, odpowiednio, 0x01 graphic
i 0x01 graphic
oraz 0x01 graphic
i 0x01 graphic

Wniosek:

Różnica średnich z próby 0x01 graphic
ma, przy 0x01 graphic
oraz 0x01 graphic
, graniczny rozkład normalny z parametrami 0x01 graphic
i 0x01 graphic
:

0x01 graphic



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
ALGORYTM MNOŻENIA PISEMNE GO(1), wykłady i notatki, dydaktyka matematyki, matematyka przedszkole i 1
zbiory, wykłady i notatki, dydaktyka matematyki, matematyka przedszkole i 1-3
sprawdzzanie osiągnięć(1), wykłady i notatki, dydaktyka matematyki, matematyka przedszkole i 1-3
Działania na ułamkach, wykłady i notatki, dydaktyka matematyki, matematyka przedszkole i 1-3
wprowadzanie algorytmu odejmowqnia liczb w zakresie 1000(1), wykłady i notatki, dydaktyka matematyki
Metoda kr- cw, wykłady i notatki, dydaktyka matematyki, matematyka przedszkole i 1-3
Wprowadzenie algorytmu dodawania(1), wykłady i notatki, dydaktyka matematyki, matematyka przedszkole
Pojęcie algorytmu, wykłady i notatki, dydaktyka matematyki, matematyka przedszkole i 1-3
WPROWADZANIE GEOMETRII W KLASACH 1-3(1), wykłady i notatki, dydaktyka matematyki, matematyka przedsz
karta kalendarz na matme, wykłady i notatki, dydaktyka matematyki, matematyka przedszkole i 1-3
ZEGAR - całość, wykłady i notatki, dydaktyka matematyki, matematyka przedszkole i 1-3
Mierzenie dlugosci, wykłady i notatki, dydaktyka matematyki, matematyka przedszkole i 1-3
dzielenie, wykłady i notatki, dydaktyka matematyki, matematyka przedszkole i 1-3
Wprowadzenie algorytmu mnozenia w zakresie 1000(1), wykłady i notatki, dydaktyka matematyki, matemat
ALGORYTM DZIELENIA PISEMNEGO(1), wykłady i notatki, dydaktyka matematyki, matematyka przedszkole i 1
Ułamki dziesiętne i trudnosci(1), wykłady i notatki, dydaktyka matematyki, matematyka przedszkole i

więcej podobnych podstron