ROZKŁADY STATYSTYK Z PRÓBY
PRÓBA LOSOWA
Przykład:
Nr kolejnych doświadczeń |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. . . . |
5 1 3 3 5 4 1 . . . |
5 1 1 2 2 6 3 . . . |
4 5 3 5 4 3 1 . . . |
1 6 6 1 2 4 5 . . . |
Def. Próbą losową prostą nazywamy ciąg n-zmiennych losowych
niezależnych i posiadających jednakowe rozkłady takie jak rozkład zmiennej losowej X w populacji generalnej.
STATYSTYKA
Def. Statystyką (z próby) nazywamy zmienną losową Zn będącą funkcją zmiennych losowych
stanowiących próbę losową.
Przykład:
- statystyka jako funkcja zmiennych losowych sama jest zmienną losową, która posiada pewien rozkład
- rozkład statystyki
nazywa się rozkładem z próby
ROZKŁAD ŚREDNIEJ ARYTMETYCZNEJ Z PRÓBY
DLA POPULACJI NORMALNEJ ZE ZNANYM
ODCHYLENIEM STANDARDOWYM
Założenia
- cecha X ma w populacji rozkład normalny ze średnią m i odchyleniem standardowym ,
- z populacji pobieramy n-elementową próbę losową prostą (X1, X2,...,Xn).
Średnia arytmetyczna z próby
posiada przy powyższych założeniach rozkład normalny ze średnią
i odchyleniem standardowym
:
Dowód:
ROZKŁAD ŚREDNIEJ ARYTMETYCZNEJ Z PRÓBY
DLA POPULACJI NORMALNEJ Z NIEZNANYM
ODCHYLENIEM STANDARDOWYM
Założenia
- cecha X ma w populacji rozkład normalny ze średnią m i nieznanym odchyleniem standardowym ,
- z populacji pobieramy n-elementową losową prostą
.
Do wnioskowania o średniej m korzystamy ze statystyki t- Studenta o postaci:
ROZKŁAD t- STUDENTA
Def. Rozkładem t-Studenta o liczbie stopni swobody υ nazywamy rozkład zmiennej losowej określony funkcją gęstości o postaci:
gdzie υ=n-1 zaś Γ(x) jest funkcją gamma.
Parametry:
ROZKŁAD RÓŻNICY ŚREDNICH ARYTMETYCZNYCH
Z PRÓB DLA DWÓCH POPULACJI NORMALNYCH
PRZY ZNANYCH ODCHYLENIACH STANDARDOWYCH
Założenia
- cechy
i
mają w dwóch populacjach rozkłady normalne odpowiednio
oraz
ze znanymi odchyleniami standardowymi,
- z populacji pobieramy niezależnie próby liczące odpowiednio
i
elementów.
Różnica średnich arytmetycznych z prób
ma rozkład normalny z wartością oczekiwaną
i odchyleniem standardowym
ROZKŁAD ŚREDNICH ARYTMETYCZNYCH
Z PRÓB Z DWÓCH POPULACJI NORMALNYCH
PRZY NIEZNANYCH (ALE JEDNAKOWYCH)
ODCHYLENIACH STANDARDOWYCH
Założenia:
- cechy
i
mają w dwóch populacjach rozkłady normalne odpowiednio
oraz
z nieznanymi (ale jednakowymi) odchyleniami standardowymi,
- z populacji pobieramy niezależnie próby liczące odpowiednio
i
elementów.
Do wnioskowania o różnicy pomiędzy średnimi
korzystamy ze statystyki t-Studenta o postaci:
ROZKŁAD WARIANCJI Z PRÓBY
DLA POPULACJI NORMALNEJ
Założenia
- z populacji normalnej N(m,) pobieramy próbę n-elementową
,
- na podstawie próby budujemy statystykę
.
Do wnioskowania o wariancji
w populacji korzystamy ze statystyki o postaci:
Parametry statystyki
ROZKŁAD χ2 (CHI- KWADRAT)
Def. Rozkładem χ2 (chi- kwadrat) o liczbie stopni swobody υ nazywamy rozkład zmiennej losowej określony funkcją gęstości o postaci:
gdzie:
υ=n-1
Def. Rozkładem χ2 (chi- kwadrat) o liczbie stopni swobody υ nazywamy rozkład statystyki:
gdzie:
Xi - niezależne zmienne losowe mające jednakowy rozkład N(m,σ),
υ=n.
Parametry:
Przy υ → ∞ rozkład statystyki
zdąża do rozkładu
.
ROZKŁAD ILORAZU WARIANCJI Z PRÓB
DLA DWÓCH POPULACJI NORMALNYCH
Założenia
- z dwu niezależnych populacji o rozkładzie normalnym z dowolnymi średnimi i wariancjami równymi
pobieramy próby liczące, odpowiednio,
elementów,
- na podstawie wariancji z tych prób szacujemy:
Do wnioskowania o ilorazie wariancji z dwóch populacji korzystamy ze statystyki o postaci:
ROZKŁAD F- SNEDECORA
Def. Rozkład zmiennej losowej nazywamy rozkładem F- Snedecora o liczbie stopni swobody licznika
i liczbie stopni swobody mianownika
jeżeli jej funkcja gęstości ma rozkład:
Parametry rozkładu F- Snedecora:
TWIERDZENIA GRANICZNE
W twierdzeniach granicznych rozpatruje się ciągi zmiennych losowych {Xn}, których rozkłady - przy wzroście wskaźnika n do nieskończoności - mogą być zbieżne do pewnego rozkładu nazywanego rozkładem granicznym (asymptotycznym) ciągu zmiennych losowych {Xn}.
Lokalne twierdzenia graniczne - twierdzenia mówiące o zbieżności ciągu funkcji prawdopodobieństwa lub funkcji gęstości.
Integralne twierdzenia graniczne - twierdzenia mówiące o zbieżności ciągu dystrybuant.
TWIERDZENIE DE MOIVRE`A - LAPLACE`A
Twierdzenie (integralne)
Niech {Xn} będzie ciągiem zmiennych losowych o rozkładzie dwumianowym z parametrami n i 0<p<1 oraz niech {Un} będzie ciągiem wystandaryzowanych zmiennych
:
Wtedy dla ciągu dystrybuant
zmiennych losowych Un zachodzi:
dla każdej wartości u.
Wniosek
Ciąg dystrybuant zmiennych losowych {Xn} o rozkładzie dwumianowym z parametrami n i p (niestandaryzowanych) jest zbieżny do rozkładu normalnego
.
Wniosek
Jeśli rozpatrzymy ciąg zmiennych
, to z twierdzenia de Moivre'a-Laplace'a wynika, że zmienna ta ma asymptotyczny rozkład normalny
.
CENTRALNE TWIERDZENIE GRANICZNE
LINDEBERGA-LEVY`EGO
Założenia
Rozpatrujemy ciąg niezależnych zmiennych losowych {Xn} o jednakowym rozkładzie (identycznych wartościach oczekiwanych
oraz wariancjach
)
Oznaczamy przez
zmienną określoną wzorem:
o wartości oczekiwanej i wariancji:
Oznaczamy wystandaryzowaną zmienną
przez:
Twierdzenie (centralne)
Jeśli
jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych o identycznych rozkładach i skończonej wariancji, to ciąg dystrybuant
zmiennych losowych
spełnia warunek:
dla każdej wartości t.
Wniosek
Zmienna losowa
ma asymptotyczny rozkład normalny
.
Wniosek
Jeśli dla określonych wyżej zmiennych losowych Xk rozpatrzymy zmienną
, której wartością oczekiwaną i wariancją są odpowiednio:
to z twierdzenia Lindeberga-Lévy'ego otrzymujemy, że ciąg zmiennych {Vn} jest zbieżny do rozkładu normalnego
.
ROZKŁADY GRANICZNE STATYSTYK Z PRÓBY
Założenia
- zmienna losowa X ma rozkład dwumianowy z parametrami n i p,
- przy wnioskowaniu o parametrze p korzystamy ze statystyki
(czyli obserwowanej przy n doświadczeniach częstości sukcesów) posiadającej rozkład dwumianowy o parametrach
i
Wniosek:
Statystyka W przy
ma rozkład normalny ze średnią p i odchyleniem
Założenia
- zmienne losowe
i
mają rozkłady dwumianowe z parametrami, odpowiednio,
i
oraz
i
Wniosek:
Statystyka
, czyli różnica częstości sukcesów z dwu prób ma, przy
i
, rozkład normalny ze średnią
i odchyleniem standardowym
:
Założenia
- zmienna losowa X ma dowolny rozkład ze średnią m i odchyleniem standardowym
Wniosek:
Rozkład z próby
zmierza, przy
, do rozkładu normalnego z wartością oczekiwaną m i odchyleniem
standardowym
:
4. Założenia
- zmienne losowe
i
mają dowolne rozkłady z parametrami, odpowiednio,
i
oraz
i
Wniosek:
Różnica średnich z próby
ma, przy
oraz
, graniczny rozkład normalny z parametrami
i
: