ROZKŁADY STATYSTYK Z PRÓBY

PRÓBA LOSOWA

Przykład:

Nr kolejnych doświadczeń	x1	x2	x3	x4
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. . . .	5 1 3 3 5 4 1 . . .	5 1 1 2 2 6 3 . . .	4 5 3 5 4 3 1 . . .	1 6 6 1 2 4 5 . . .

Def. Próbą losową prostą nazywamy ciąg n-zmiennych losowych
niezależnych i posiadających jednakowe rozkłady takie jak rozkład zmiennej losowej X w populacji generalnej.

STATYSTYKA

Def. Statystyką (z próby) nazywamy zmienną losową Zn będącą funkcją zmiennych losowych
stanowiących próbę losową.

Przykład:

- statystyka jako funkcja zmiennych losowych sama jest zmienną losową, która posiada pewien rozkład

- rozkład statystyki
nazywa się rozkładem z próby

ROZKŁAD ŚREDNIEJ ARYTMETYCZNEJ Z PRÓBY

DLA POPULACJI NORMALNEJ ZE ZNANYM

ODCHYLENIEM STANDARDOWYM

Założenia

- cecha X ma w populacji rozkład normalny ze średnią m i odchyleniem standardowym ,

- z populacji pobieramy n-elementową próbę losową prostą (X1, X2,...,Xn).

Średnia arytmetyczna z próby
posiada przy powyższych założeniach rozkład normalny ze średnią
i odchyleniem standardowym
:

Dowód:

ROZKŁAD ŚREDNIEJ ARYTMETYCZNEJ Z PRÓBY

DLA POPULACJI NORMALNEJ Z NIEZNANYM

ODCHYLENIEM STANDARDOWYM

Założenia

- cecha X ma w populacji rozkład normalny ze średnią m i nieznanym odchyleniem standardowym ,

- z populacji pobieramy n-elementową losową prostą
.

Do wnioskowania o średniej m korzystamy ze statystyki t- Studenta o postaci:

ROZKŁAD t- STUDENTA

Def. Rozkładem t-Studenta o liczbie stopni swobody υ nazywamy rozkład zmiennej losowej określony funkcją gęstości o postaci:

gdzie υ=n-1 zaś Γ(x) jest funkcją gamma.

Parametry:

ROZKŁAD RÓŻNICY ŚREDNICH ARYTMETYCZNYCH

Z PRÓB DLA DWÓCH POPULACJI NORMALNYCH

PRZY ZNANYCH ODCHYLENIACH STANDARDOWYCH

Założenia

- cechy
i
mają w dwóch populacjach rozkłady normalne odpowiednio
oraz
ze znanymi odchyleniami standardowymi,

- z populacji pobieramy niezależnie próby liczące odpowiednio
i
elementów.

Różnica średnich arytmetycznych z prób
ma rozkład normalny z wartością oczekiwaną
i odchyleniem standardowym

ROZKŁAD ŚREDNICH ARYTMETYCZNYCH

Z PRÓB Z DWÓCH POPULACJI NORMALNYCH

PRZY NIEZNANYCH (ALE JEDNAKOWYCH)

ODCHYLENIACH STANDARDOWYCH

Założenia:

- cechy
i
mają w dwóch populacjach rozkłady normalne odpowiednio
oraz
z nieznanymi (ale jednakowymi) odchyleniami standardowymi,

- z populacji pobieramy niezależnie próby liczące odpowiednio
i
elementów.

Do wnioskowania o różnicy pomiędzy średnimi
korzystamy ze statystyki t-Studenta o postaci:

ROZKŁAD WARIANCJI Z PRÓBY

DLA POPULACJI NORMALNEJ

Założenia

- z populacji normalnej N(m,) pobieramy próbę n-elementową
,

- na podstawie próby budujemy statystykę
.

Do wnioskowania o wariancji
w populacji korzystamy ze statystyki o postaci:

Parametry statystyki

ROZKŁAD χ² (CHI- KWADRAT)

Def. Rozkładem χ² (chi- kwadrat) o liczbie stopni swobody υ nazywamy rozkład zmiennej losowej określony funkcją gęstości o postaci:

gdzie:

υ=n-1

Def. Rozkładem χ² (chi- kwadrat) o liczbie stopni swobody υ nazywamy rozkład statystyki:

gdzie:

X_i - niezależne zmienne losowe mające jednakowy rozkład N(m,σ),

υ=n.

Parametry:

Przy υ → ∞ rozkład statystyki
zdąża do rozkładu
.

ROZKŁAD ILORAZU WARIANCJI Z PRÓB

DLA DWÓCH POPULACJI NORMALNYCH

Założenia

- z dwu niezależnych populacji o rozkładzie normalnym z dowolnymi średnimi i wariancjami równymi
pobieramy próby liczące, odpowiednio,
elementów,

- na podstawie wariancji z tych prób szacujemy:

Do wnioskowania o ilorazie wariancji z dwóch populacji korzystamy ze statystyki o postaci:

ROZKŁAD F- SNEDECORA

Def. Rozkład zmiennej losowej nazywamy rozkładem F- Snedecora o liczbie stopni swobody licznika
i liczbie stopni swobody mianownika
jeżeli jej funkcja gęstości ma rozkład:

Parametry rozkładu F- Snedecora:

TWIERDZENIA GRANICZNE

W twierdzeniach granicznych rozpatruje się ciągi zmiennych losowych {X_n}, których rozkłady - przy wzroście wskaźnika n do nieskończoności - mogą być zbieżne do pewnego rozkładu nazywanego rozkładem granicznym (asymptotycznym) ciągu zmiennych losowych {X_n}.

Lokalne twierdzenia graniczne - twierdzenia mówiące o zbieżności ciągu funkcji prawdopodobieństwa lub funkcji gęstości.

Integralne twierdzenia graniczne - twierdzenia mówiące o zbieżności ciągu dystrybuant.

TWIERDZENIE DE MOIVRE`A - LAPLACE`A

Twierdzenie (integralne)

Niech {X_n} będzie ciągiem zmiennych losowych o rozkładzie dwumianowym z parametrami n i 0<p<1 oraz niech {U_n} będzie ciągiem wystandaryzowanych zmiennych
:

Wtedy dla ciągu dystrybuant
zmiennych losowych U_n zachodzi:

dla każdej wartości u.

Wniosek

Ciąg dystrybuant zmiennych losowych {X_n} o rozkładzie dwumianowym z parametrami n i p (niestandaryzowanych) jest zbieżny do rozkładu normalnego
.

Wniosek

Jeśli rozpatrzymy ciąg zmiennych
, to z twierdzenia de Moivre'a-Laplace'a wynika, że zmienna ta ma asymptotyczny rozkład normalny
.

CENTRALNE TWIERDZENIE GRANICZNE

LINDEBERGA-LEVY`EGO

Założenia

Rozpatrujemy ciąg niezależnych zmiennych losowych {X_n} o jednakowym rozkładzie (identycznych wartościach oczekiwanych
oraz wariancjach
)

Oznaczamy przez
zmienną określoną wzorem:
o wartości oczekiwanej i wariancji:

Oznaczamy wystandaryzowaną zmienną
przez:

Twierdzenie (centralne)

Jeśli
jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych o identycznych rozkładach i skończonej wariancji, to ciąg dystrybuant
zmiennych losowych
spełnia warunek:

dla każdej wartości t.

Wniosek

Zmienna losowa
ma asymptotyczny rozkład normalny
.

Wniosek

Jeśli dla określonych wyżej zmiennych losowych X_k rozpatrzymy zmienną
, której wartością oczekiwaną i wariancją są odpowiednio:

to z twierdzenia Lindeberga-Lévy'ego otrzymujemy, że ciąg zmiennych {V_n} jest zbieżny do rozkładu normalnego
.

ROZKŁADY GRANICZNE STATYSTYK Z PRÓBY

1. Założenia

- zmienna losowa X ma rozkład dwumianowy z parametrami n i p,

- przy wnioskowaniu o parametrze p korzystamy ze statystyki
(czyli obserwowanej przy n doświadczeniach częstości sukcesów) posiadającej rozkład dwumianowy o parametrach

i

Wniosek:

Statystyka W przy
ma rozkład normalny ze średnią p i odchyleniem

2. Założenia

- zmienne losowe
i
mają rozkłady dwumianowe z parametrami, odpowiednio,
i
oraz
i

Wniosek:

Statystyka
, czyli różnica częstości sukcesów z dwu prób ma, przy
i
, rozkład normalny ze średnią
i odchyleniem standardowym
:

3. Założenia

- zmienna losowa X ma dowolny rozkład ze średnią m i odchyleniem standardowym

Wniosek:

Rozkład z próby
zmierza, przy
, do rozkładu normalnego z wartością oczekiwaną m i odchyleniem
standardowym
:

4. Założenia

- zmienne losowe
i
mają dowolne rozkłady z parametrami, odpowiednio,
i
oraz
i

Wniosek:

Różnica średnich z próby
ma, przy
oraz
, graniczny rozkład normalny z parametrami
i
: