Kinematyka punktu

Wektor położenia punktu (w chwili ):

Wektor prędkości punktu:

Wektor przyśpieszenia punktu:

Wartość bezwzględna prędkości punktu:

Droga przebyta w przedziale czasu [0,_]:

Wzory Serreta-Freneta: jednostkowy wektor styczny

Wektor normalny do toru

Krzywizna toru

Promień krzywizny toru

Jednostkowy wektor normalny

Przyśpieszenie styczne

Przyśpieszenie normalne

Twierdzenie o rozkładzie przyśpieszenia punktu

Dowód: Ze wzoru na jednostkowy wektor styczny wynika

co po zróżniczkowaniu względem czasu daje

.

Ze wzoru na jednostkowy wektor normalny mamy

.

Zatem

￿

Kinematyka bryły nieodkształcalnej

Twierdzenie o rzutach prędkości punktów bryły

Różnica prędkości dowolnych dwu punktów bryły nieodkształcalnej jest prostopadła do osi przechodzącej przez te punkty.

Rzuty prędkości dowolnych dwu punktów bryły nieodkształcalnej na oś przechodzącą przez te punkty są sobie równe.

Dowód: Niech
i
będą położeniami dwu punktów bryły w danej chwili czasu. Z definicji nieodkształcalności wynika, że ich odległość jest stała w czasie. Zatem różnica ich położeń
ma stałą długość, a zatem również stały jest iloczyn skalarny

(bo jest kwadratem długości).

Różniczkowanie po czasie daje zatem

.

co oznacza, że wektory
oraz
są do siebie prostopadłe.

Wnioskujemy również

oraz

￿

Lokalny układ współrzędnych

Wprowadźmy kartezjański układ współrzędnych
na stałe związany z rozpatrywaną bryłą. Dla odróżnienia nazywać go będziemy lokalnym układem współrzędnych. Założymy, że ma on taką samą skrętność jak układ globalny.

Nieodkształcalność bryły oznacza, że współrzędne lokalne punktów bryły są stałe względem czasu.

Oznaczając wersory układu lokalnego przez
możemy globalne położenie punktu bryły wyrazić wzorem

gdzie
oznacza globalne położenie zera lokalnego układu, a
są lokalnymi współrzędnymi rozpatrywanego punktu.

Zatem do opisu ruchu bryły wystarczy zadać ruch zera lokalnego układu współrzędnych, oraz zmienność w czasie wersorów układu lokalnego.

Kąty Eulera

Euler wykazał, że do opisu konfiguracji wersorów układu lokalnego wystarczają trzy kąty, zwane kątami Eulera.

Wektor prędkości kątowej bryły

Oznaczając wersory układu lokalnego przez
zdefiniujemy wektor prędkości kątowej bryły jako

.

Poszczególne składowe wektora prędkości kątowej reprezentują prędkości obrotu względem poszczególnych osi układu:

i analogicznie dla pozostałych składowych wektora prędkości kątowej

Z powyższych wzorów wynika następująca reprezentacja pochodnych czasowych wersorów lokalnych przez składowe wektora prędkości kątowej

.

Prędkości punktów bryły

Wykazaliśmy uprzednio, że globalne położenie dowolnego punktu można wyrazić wzorem

Wobec stałości współrzędnych lokalnych różniczkowanie względem czasu daje

Wyrażając pochodne czasowe wersorów za pomocą składowych wektora prędkości kątowej otrzymujemy

a po uporządkowaniu względem wersorów

Korzystając z właściwości wyznacznika mamy

Wobec definicji iloczynu wektorowego mamy zatem

.

Zmiana lokalnego układu współrzędnych

Udowodnimy, że wektor prędkości kątowej bryły nie zależy od wyboru lokalnego układu współrzędnych.

Dowód: Niech
będzie nowym lokalnym układem współrzędnych o środku 0' i z wersorami
.

Stosując wzór

dla środka nowego układu 0' oraz końca wersora
otrzymujemy

Ich różnica daje

Podobne wzory zachodzą dla prędkości pozostałych nowych wersorów

Zatem prędkość kątowa obliczana według nowego układu lokalnego wynosi

Wykorzystując tożsamość

otrzymujemy

￿

Przyśpieszenia punktów bryły

Uprzednio wykazaliśmy, że prędkość dowolnego punktu bryły wyraża się wzorem

gdzie:
- jest prędkością rozpatrywanego punktu,

- prędkością zera lokalnego układu współrzędnych,

- wektorem prędkości kątowej bryły a

- wektorem położenia rozpatrywanego punktu bryły względem zera lokalnego układu współrzędnych.

Różniczkowanie względem czasu powyższego wzoru pozwala na obliczenie przyśpieszenia dowolnego punktu bryły według wzoru

gdzie:
- jest przyśpieszeniem zera lokalnego układu współrzędnych, natomiast

jest nazywane wektorem (pseudowektorem) przyśpieszenia kątowego bryły.

Przyśpieszenie obrotowe i dośrodkowe

Wyprowadzony wzór na przyśpieszenie punktu bryły

przedstawiamy w postaci

gdzie:
nazywane jest przyśpieszeniem obrotowym, a

przyśpieszeniem dośrodkowym.

Zauważmy, że z tożsamości
wynika

Ponieważ
jest rzutem
na
to
jest rzutem
na płaszczyznę prostopadłą do
. Zatem przyspieszenie dośrodkowe jest proporcjonalne do kwadratu prędkości katowej i odległości od osi
i jest skierowane prostopadle do osi
w stronę tej osi.

Uwaga: Na ogół przyśpieszenie obrotowe nie jest styczne do toru punktu a przyśpieszenie dośrodkowe nie jest normalne do toru.

Ruch postępowy bryły

Z definicji ruch postępowy bryły jest przypadkiem szczególnym, w którym w każdej chwili prędkości wszystkich punktów są identyczne. Ze wzoru

wnioskujemy zatem, że wtedy dla każdego
zachodzi

co oznacza, że dla każdej chwili

.

W konsekwencji, w ruchu postępowym wersory lokalnego układu współrzędnych są stałe względem czasu, a wektorem przyśpieszenia kątowego bryły jest zerowy. Ponadto, wtedy przyśpieszenia wszystkich punktów bryły są identyczne.

Ruch kulisty bryły

Ruch kulisty bryły jest takim przypadkiem, w którym bryła ma punkt nieruchomy. Wybierając go jako zero lokalnego układu współrzędnych mamy wtedy następujące wzory na położenie prędkość i przyśpieszenie dowolnego punktu bryły

,
,
.

Precesja regularna bryły

Precesją regularną bryły nazywamy przypadek szczególny ruchu kulistawego, w którym prędkości precesji i obrotu właściwego są stałe, a kąt nutacji jest stały.

Zatem kąty Eulera można wtedy przedstawić w postaci

gdzie:
- jest stałą prędkością precesji, a

- jest stałą prędkością obrotu właściwego.

Obliczenia dają następujące wartości składowych wektora prędkości kątowej bryły

w lokalnym układzie współrzędnych, oraz

we współrzędnych globalnych. Dla wektora przyśpieszenia kątowego mamy

Widać, że wektor prędkości kątowej ma wtedy stałą długość i wiruje wokół osi pionowej z prędkością precesji.

Ta sama uwaga dotyczy wektora przyśpieszenia kątowego.

Ruch obrotowy bryły

Ruch śrubowy bryły

Ruch chwilowy bryły

Ruch płaski bryły

Iloczyn wektorowy

Iloczyn wektorowy jest pseudowektorem, tzn. wynik obliczeń w dwu różnych układach współrzędnych nie zależy od wyboru układu współrzędnych pod warunkiem, że oba układy mają tę samą skrętność a zmienia zwrot na przeciwny w przypadku układów o różnych skrętnościach.

Podstawowe właściwości:

Kierunek iloczynu wektorowego
jest prostopadły do czynników, a zwrot taki, że trójka wektorów
ma taką samą skrętność jak przyjęty układ współrzędnych.

Iloczyn mieszany

Iloczyn mieszany jest pseudoskalarem, tzn. wynik obliczeń w dwu różnych układach współrzędnych nie zależy od wyboru układu współrzędnych pod warunkiem, że oba układy mają tę samą skrętność a zmienia znak na przeciwny w przypadku układów o różnych skrętnościach.

Podstawowe właściwości: