1. Dana jest ('prosta'!) macierz
. Opisz podprzestrzenie Ker(A) i Im(A).
Zgodnie z definicją:
Jeśli mamy przykładowo macierz
to procedura postępowania jest następująca:
a) Ker A
Szukamy wszystkich x =
takich, że Ax=
b) Im A
Szukamy wszystkich y =
takich, że y=Ax, gdzie x=
stąd:
2. Dana jest ('prosta'!) macierz
. Wyznacz wymiar podprzestrzeni Ker(A) i Im(A).
Wiadomo, że jeśli
to dim(Im(A)) + dim(Ker(A)) = n
wtedy: dim(Im(A)) = rankA
Jeśli więc będzie dana macierz A np.:
to mamy:
Wyznaczamy rankA. (rząd macierzy to wymiar największej macierzy kwadratowej o niezerowym wyznaczniku)
Zauważmy, że: det(A)=12-6-2+9=13 wtedy rankA=3
dim(ImA)=3
dim(KerA)=0
3. Niech
. Czy mogą obowiązywać następujące relacje:
a) dim Im(A) = 0
TAK
np.
b) dim Ker (A) = 0
TAK
np.
. Zatem
c)
TAK
np.
d)
TAK
np.
e) Ker(A)=Im(A)
TAK
np.
f) Ker(A)=∅
NIE
z definicji Ker(A) jest podprzestrzenią Rn więc musi zawierać przynajmniej element zerowy.
g) Im(A)=Rn
TAK
np. A=In
h) Ker(A)=Rn
TAK
np. A=0
i)
TAK
np.
4.Wyznacz model w przestrzeni stanu na podstawie zadanego (prostego!) schematu symulacyjnego oraz równania różniczkowego.
a)
b)
przechodzimy na transformatę Laplace'a:
[α[f(n)(t)]=snF(s)-sn-1f(0+)-sn-2f'(0+)-…-f(n-1)(0+)]
=>x''(t)=s2X(s)-sX(0)-x'(0)=s2X(s) ; x'(t)=sX(s)
=>s2X(s)+sX(s)+X(s)+(1/(s-1))X(s)=U(s)
=>X(s) [(s2+s+1)(s-1)+1]/(s-1) =U(s)
G(s)=X(s)/U(s) = (s-1)/(s2-s+1)
=>
,
,
,D=0
5. Wyznacz rozwiązanie x(t) (prostego!) równania
, x(0).
Niech:
,
⇒
⇒dziedzina s:
sx1(s) - x1(0+) = -2x1(s)
sx2(s) - x2(0+) = x2(s) - 4x2(s)
sx1(s) - 1 = -2x1(s)
sx2(s) - 1 = x2(s) - 4x2(s)
X1(s)(s+2) = 1 ⇒
⇒
⇒ X1(t)=e2t
X2(s)(s+4) = X1(s) + 1 =
X2(s)=
sA + 4A + sB + 2B = s+3
s(A+B) + 4A + 2B = s+3
A+B = 1
4A+2B = 3 ⇒ A = -5/2, B=7/2
6. Podaj definicję oraz Kryterium dobrej określoności układu dynamicznego liniowego.
Układ jest dobrze określony jeśli dla każdej pary we-wy odpowiadająca tej parze transmitancja układu zamkniętego jest właściwa.
czyli degN(s) ≤ degD(s).
Kryterium dobrej określoności:
Układ zbudowany z 2 bloków o transmitancjach właściwych jest dobrze określony ⇔ Δ(∝)≠0, gdzie Δ-funkcja charakterystyczna schematu blokowego układu.
7. Sformułuj definicję stabilności BIBO, wewnętrznej oraz asymptotycznej układu liniowego. Podaj stosowne kryteria stwierdzania takiej stabilności.
Układ dynamiczny będziemy nazywać „stabilnym w sensie BIBO” jeśli każdy ograniczony sygnał wejściowy ||u(t)|| ≤ M1 < ∝ (0 ≤ t < ∝) wywołuje tylko ograniczony sygnał wyjściowy: ||y(t)|| ≤ M2 < ∝ (0 ≤ t < ∝)
Przy założeniu, że stan początkowy rozpatrywanego układu jest stanem określonym przez wektor zerowy. Układ jest stabilny w sensie BIBO ⇔ jeśli wszystkie bieguny jego transmitancji leżą w lewej półpłaszczyźnie zmiennych zespolonych.
Koncepcja stabilności BIBO nie jest szczególnie użyteczna bo układ o zadowalających własnościach reakcji we-wy może cierpieć na „wylewy wewnętrzne”, polega to na tym, że ||x(t)|| → ∝ .
STABILNOŚĆ ASYMPTOTYCZNA
Liniowy, stacjonarny układ nazywany będzie stabilnym asymptotycznie, jeśli punkt równowagi tego układu Xr=0 jest asymptotycznie stabilny. Xr=0 jest stabilny(w sensie Lapunova), jeśli dla każdej liczby dodatniej ε można dobrać taką liczbę η, że trajektoria układu rozpoczyna się wewnątrz koła o promieniu η.
Punkt Xr=0 będziemy nazywać stabilnym asymptotycznie, jeśli:
1°) punkt ten będzie stabilny w sensie Lapunova
2°)
STABILNOŚĆ LOKALNA
Mamy system nieautonomiczny
f(x) - różniczkowe
Jeżeli zlinearyzować w powyższy sposób system jest stabilny wówczas stan równowagi systemu oryginalnego (tzn. nieliniowego) jest asymptotycznie stabilny. Czyli stabilność systemu liniowego generuje lokalną stabilność asymptotyczna nieliniowego układu.
Stosowane kryteria: a) kryterium Routha
b) kryterium Hutwitza
8. Podaj oraz skomentuj def. sterowalności liniowego stacj. układu dynamicznego.
Para (A,B) opisująca nasz układ , A∈Rnxn, B∈Rnxp jest całkowicie sterowalna
x(0)
0<tj<∞∃u:[0, tj] ->Rn X(tj)=0n
Kom: Widać, że dla układu, który jest całkowicie sterowalny dla dowolnego stanu pocz. x(t=0) zawsze istnieje jakieś sterowanie, które w skończonym czasie tj sprowadzi nam układ do stanu równowagi („orgin point”) -> inaczej: mamy system: x'(t)=Ax+Bu; x=nx1; y(t)=Cx+Du; u=rx1, y=px1; r wejść, p wyjść
Mówimy, że stan x(t) jest sterowalny w chwili t0, jeśli istnieje takie sterowanie u(t), które pozwala sprowadzić ten stan do dowolnego stanu końcowego x(tk). W czasie skończonym (tk-t0)≥0. Jeśli każdy stan jest sterowalny, to system jest sterowalny. Warunkiem koniecznym i dostatecznym jest aby macierz S∈Rnxn⋅λ miała rząd n.
rankS=n
9. Podaj oraz skomentuj definicję obserwowalności liniowego stacjonarnego układu dynamicznego.
Para (A,C) jest całkowicie obserwowalna, A∈Rnxn. C∈Rqxn ,q - ilość czujników znając wyjście y:[0,tj] -> Rq
tj>0 potrafimy wyznaczyć warunki początkowe x(0) gdzie x'(0) jest dowolne.
Kom: Układ „startując” z dowolnych nieznanych nam warunków początkowych, my natomiast budując tylko mierzymy na wyjściu układu przy znanych sygnałów pobudzających przez czas tj. jesteśmy w stanie wyznaczyć jego warunki początkowe.
Koncepcja obserwowalności pojawia się, kiedy trzeba uzyskiwać informacje o stanie (zm.x) na podstawie wyjścia i wejścia. Jeżeli co najmniej jedna ze zm. stanu nie może być odtworzona - powiadamy, że jest ona obserwowalna, a system nieobserwowalny.
-> inaczej: Jeśli mamy system: x'=Ax+Bu
y=Cx+Du
powiadamy, że stan x(t0).Jeżeli każdy stan jest obserwowalny o ile dla danego wejścia. u(t) istnieje taki skończony czas tk≤t0,że znajomość tego wejścia oraz wyjścia dla t0≤t≤tk jest wystarczająca dla określenia x(t0). Jeśli każdy stan jest obserwowalny w opisanym sensie powiadamy, że system jest całkowicie obserwowalny.
Warunkiem koniecznym i wystarczającym aby system był obserwowalny jest aby macierz V:
miała rząd V=n (nxnp)
Mówiąc o obserwowalności można mówić o obserwowaniu pary AC. Jeśli nasz system ma tylko 1wejście (p=1) to wymiary macierzy V są nxn. Taka macierz ma rząd n jeśli jest nieosobliwa.
10. Omów przynajmniej dwa kryteria sterowalności liniowych obiektów dynamicznych.
1omac.ster.
∈Rnxnpma pełny rząd wierszowy. rank MC=n
2omac.
jest dodatnio określona
3orank ~MC=n, gdzie ~
∈Rmx(n-rB+1)p
rB=rankB
4o
gdzie:
∈Rmx(n-rB+1)p
m=degψA, ψA-wielomian minimalny.
11. Omów przynajmniej 2 kryteria obserwowalności liniowych obiektów dynamicznych.
Para
1. rank
pełny rząd kolumnowy
2. rank
Rc rząd macierzy C, ta macierz ma mniej wierszy
3.
M=deg
czyli M-stopień wielomianu
wielomian minimalny macierzy A
+ Kartka Kowala
12. Sprawdź sterowalność zadanej (prostej) pary (A,b):
13. Sprawdż obserwowalność podanej prostej pary (A,C)
14. Sprawdź asymptotyczną stabilność systemu
o zadanej prostej macierzy A.
Wyznaczamy spect
. Wiadomo ze wartości własne macierzy
to rozwiązanie równania det
det
Układ jest stabilny bo wszystkikie wartości własne macierzy A są „-„(mają „-„ części Re)
15. Dane są elementy pewnego systemu
. Wiadomo, że spectr A={λ,λ} (pods. wart. wł. λ należą do R)
a) rozważ problem obserwalności pary (A,C)
b)czy wzbogacając ten system o odpowiedni czujnik
, można stosowaną parę (A,
) zawsze uczynić parą obserwowalną.
ilość wartości własnych
=1 mamy zatem tylko jedną lin. niezol kolumnę w macierzy.
Tą wart. wł. będzie zwrąz. Tylko jedna klatka Jordana o wymiarze 2x2
Szukamy więc postaci macierzy podobieństwa
Musimy zatem znaleźć wektor własny dla wartości λ, a następnie uogól. wekt. wł.które stanowią macierz
te dwa wektory stanowią macierz P=[p1,1,1 ,p1,1,2]
Pozostaje teraz obliczyć
.Jeżeli pierwsza kolumna macierzy CP będzie zerowała element zerowy to będzie to znaczyło iż para (A,C) nie jest CO.Nieobserwowalny będzie mod o numerze odpowiadający numerowi kolumny zew. Zerowy elem.
b)
Gdyby para (A,C) nie była CO to wtedy w wekt. CP part by się zerowy elem. Odpowiadający nie obserwowalnemu modowi: jeśli rozbudujemy C do postaci
to wtedy.
1.
2.Natomiast dla C
TU MABYC 16-21
22. Omów kanoniczną dekompozycję przestrzeni stanu na część sterowalną oraz niesterowalną.
Niech
,
Jeżeli para (A,B) nie jest CS tzn. rank
to istnieje taka macierz
nieosobliwa, że:
gdzie:
jest CS.
Zatem
,
Możemy zatem zapisać
możemy dokonać dekompozycji przestrzeni
na dwie podprzestrzenie:
- podprzestrzeń ?? sterowalną
- podprzestrzeń ?? niesterowalną
podprz. niester.
? sterow.
Aby tego dokonać macierz
musi mieć odpowiednią postać. Postępujemy wg algorytmu:
wyznaczamy
i obliczamy rank
wybieramy
lin. niezal. Kolumn z
wybieramy
lin. niezal. kolumn z
23. Omów kanoniczną dekompozycję przestrzeni stanu na część obserwowalną oraz nieobserwowalną.
Dany jest model (A B C D) taki, że para (AC) nie jest CO
.
Istnieje taki model podobny
,że
, gdzie para
jest CO.
,
->przestrzeń stanów nieobserwowalnych
->przestrzeń stanów obserwowalnych
24.Podaj definicję zera (niezmienniczego) obiektu dynamicznego opisanego modelem (A,B,C,D).
Rozpatrzmy model systemowy
Macierz ta posiada ????
:
postaci:
Zero ????????? to taka liczba
, dla której
25) Omów syntezę obserwatora o minimalnym rzędzie
Aby mieć syntezę obserwatora to trzeba :
- równanie różniczkowe
- równanie opisujące pomiary czyi taki filtr tj. układ dynamiczny
Szukanie równania różniczkowego na dynamikę y
30) Zdefiniuj tak zwane f-cje wrażliwości danego zamkniętego układu regulacji (sterowania). Omów rolę takich f-cji w klasycznym i odpornym projektowaniu układów sterowania.
Za miarę wrażliwości jednowymiarowego układu liniowego o transmitancji operatorowej G(s) = G (s,x) przy zmianie parametru x, przyjmuje się wielkość zwaną współczynnikiem (lub f-cją) wrażliwości określoną:
W = W(s,x) = (dG(s,x) / dx ) * x / G(s,x)
Dla np. ujemnego sprzężenia zwrotnego (USzZ) G(s) = (k/s) / (1 + k/s) W = dG(s)/dk * k/G(s) = s/s+k
Wprowadzenie USzZ nie zawsze gwarantuje mniejszą wrażliwość układu na zmianę parametrów obiektu.
u(t)
y(t)
1
1
1
1
-1
2
2
x2
x1