Tomasz Pajączkowski

07.11.2001

Ćwiczenie nr 43

Temat: Wyznaczanie współczynników temperaturowych rozszerzalności liniowej i oporu elektrycznego dla metali i stopów.

1. Tabela wyników:

U [ V ]	I [μ A]	E [ V ]	Δl [ mm ]	ΔT [ °C ]	R [ Ω ]
1	155	0,4	0	10,50	0,0065
2	293	0,5	0,04	13,00	0,0068
3	433	0,7	0,15	18,00	0,0069
4	548	0,8	0,29	20,50	0,0073
5	650	1	0,45	25,50	0,0077
6	750	1,2	0,65	30,50	0,0080
7	834	1,4	0,85	35,50	0,0084
8	904	1,7	1,09	43,00	0,0088
9	968	1,9	1,34	47,50	0,0093
10	1029	2,2	1,48	55,00	0,0097

2. Teoria zjawiska

Natężenie prądu elektrycznego w przewodniku jest wprost proporcjonalne do przyłożonego napięcia, czyli do różnicy potencjałów występującej na krańcach przewodnika, i odwrotnie proporcjonalne do oporu elektrycznego przewodnika.

Powyższe stanowi pierwsze prawo Ohma zapisane w postaci: I = U/R, gdzie R jest opornością danego przewodnika i mierzy się ją w Ω.

W przypadku przewodników o różnym przekroju, można stwierdzić, że oporność przewodnika jest odwrotnie proporcjonalna do pola jego przekroju. Uwzględniając, że o oporności decyduje także rodzaj użytego przewodnika, zależność oporności od wymiarów można przedstawić w postaci: R = ρl/S, gdzie ρ nazywamy opornością właściwą danego materiału.

Powyższe stanowi matematyczną interpretację drugiego prawa Ohma.

Opór elektryczny przewodników zależy od temperatury. Zmienia się on wraz z temperaturą, przy czym w przypadku przewodników metalicznych opór ten wmiarę wzrostu temperatury wzrasta.

Wielkością charakteryzującą zamiany temperaturowego oporu danego przewodnika jest współczynnik temperaturowy oporu γ.

Wyraża on względny przyrost oporu ΔR/R przy ogrzaniu przewodnika o 1°C. Dla przyrostu ΔR od 0°C do t zależność na współczynnik temperaturowy oporu przyjmuje postać:

γ = ΔR/( R₀·t ) = ( R_t - R₀ )/( R₀·t )

Współczynnik γ można wyznaczyć na podstawie powyższego wzoru. W praktyce jednak nie zawsze możliwe jest wyznaczenie wartości oporu w temperaturze 0°C. W takiej sytuacji konieczny jest pomiar wartości oporu w dwóch różnych temperaturach t₁ i t₂. Posługując się wówczas powyższym wzorem dla temperatury t₁ i t₂ otrzymujemy:

R₁ = R₀ (1 + γt₁ ) R₂ = R₀ (1 + γt₂ )

Dzieląc te równania stronami otrzymujemy: γ = ( R₂ - R₁ )/( R₁t₂ - R₂t₁)

Gdy dysponujemy wykresem funkcji R(ΔT) wówczas, dla zależności liniowej, wartość γ można wyznaczyć z zależności:

γ = tgα/R₀ ( 1 )

Wraz ze wzrostem temperatury większość ciał zmienia swoje wymiary. W przypadku ciał o wyróżnionym jednym wymiarze ( długości ) można mówić o wydłużeniu liniowym. Wartość powyższego charakteryzuje współczynnik rozszerzalności liniowej opisany poniższym wzorem:

α = Δl/( l₀·t ) = ( l_t - l₀ )/( l₀·t )

Z powyższego wynika, że współczynnik rozszerzalności liniowej jest nachyleniem linii przedstawiającej zależność wydłużenia względnego Δl/l do różnicy temperatur. Wówczas powyższy wzór można przedstawić w postaci:

α = tgα/l₀ ( 2 )

Termoparę, czyli termoogniwo stanowią dwa kawałki drutu albo prętów z różnych metali, spojone ze sobą na końcach. Jeżeli końce te znajdują się w różnych temperaturach t₁ i t₂, to w obwodzie takim zacznie płynąć prąd elektryczny. Kierunek prądu zależy od tego, które ze spojeń ma temperaturę wyższą, a wyjaśnienie tego zjawiska sprowadza się do budowy elektronowej metali.

Jeżeli zetknięte zostaną ze sobą dwa różne metale, to dzięki różnicy stężeń elektronów następuje zjawisko ich dyfuzji. Powstaje między metalami tzw. napięcie kontaktowe, które przeciwstawia się dalszej dyfuzji elektronów. Jeżeli jedno ze spojeń zostanie ogrzane, to różnica potencjałów kontaktowych wzrośnie proporcjonalnie do temperatury ( wyrażonej w skali bezwzględnej ). Kompensacja tej różnicy potencjałów przez przeciwnie skierowaną różnicę potencjałów drugiego, chłodniejszego, spojenia zostanie naruszona; w wyniku tego w obwodzie pojawi się siła elektromotoryczna E, równa różnicy napięć kontaktowych obu spojeń, a więc proporcjonalna do różnicy temperatur obu spojeń: E = k( T ₂ - T₁ ), gdzie k -współczynnik proporcjonalności zależny od tego jakie pary metali tworzą dane termoogniwo.

3. Opis wykonanego ćwiczenia.

Celem powyższego ćwiczenia było wyznaczenie wartości współczynników temperaturowych rozszerzalności liniowej i oporu elektrycznego dla badanej próbki.

Uproszczony schemat układu pomiarowego pokazany został na poniższym rysunku.

Do podgrzania badanego drutu wykorzystany został prąd elektryczny ( zgodnie z zasadą Joule'a - Lentza: prąd płynący przez opornik powoduje wydzielenie na nim ciepła w ilości określonej wzorem: Q = UIt ).

Przy tak zmontowanym układzie pomiar sprowadza się do odczytania wartości wskazań mierników napięcia i natężenia płynącego prądu oraz wartości SEM, przy czym wartość napięcia zmieniała się od 1V do 10V.

Następnie na podstawie zebranych danych wykreśliłem zależności R(ΔT) i l(ΔT), dokonałem poniższych obliczeń i wyciągnąłem końcowe wnioski.

4. Obliczenia do wykonanego ćwiczenia:

Do wyznaczenia współczynników temperaturowych rozszerzalności liniowej i oporu elektrycznego dla metali korzystamy z zależności ( 1 ) i ( 2 ).

Dla pierwszego przypadku: tg γ = ΔR/Δt = 7,19·10^-5 [ Ω/°C ]

γ = tgα/R₀ = 1,26·10^-2 [ °C ^-1 ]

Dla drugiego przypadku: tg α = Δl/Δt = 3,33·10^-5 [ m/°C ]

α = tgα/l₀ = 3,96·10^-5 [ °C ^-1 ]

Szacowanie niepewności pomiaru:

Wartości R₁ i R₁₀ wyznaczone zostały z dokładnością: ± 7,45·10^-6 i ± 1,21·10^-6. Dla powyższej dokładności pomiarów U_C(ΔR) = [U_C(R₁) + U_C(R₁₀) ]^1/2 = 7,58·10^-6 [ Ω ].

Δt = 0,5°C U(t) = 0,29°C

∂γ/∂ΔR = 1/( R₀·t ) = 3,94 [ Ω^-1°C^-1 ]

∂γ/∂R₀ = -ΔR/( R₀²·t ) = -2,21 [ Ω^-1°C^-1 ]

∂γ/∂t = -ΔR/( R₀·t² ) = -2,84·10^-4 [ °C^-2 ]

U(γ) = [(∂γ/∂ΔR)²· U_C²(ΔR) + (∂γ/∂R₀)²· U_C²(R₀) + (∂γ/∂t)²· U_C²(t)]^1/2 = 8,92·10^-5 [ °C^-1 ]

dla α = 0,95 U_C(γ) = 2·U(γ) = 0,018·10^-2 [ °C^-1 ]

Δl = 1·10^-5 m U(l) = 5,77·10^-6 m U(Δl) = [U_C(l₁) + U_C(l₁₀) ]^1/2 = 8,16·10^-6 m

∂α/∂Δl = 1/( l₀·t ) = 0,027 [ m^-1°C^-1 ]

∂α/∂l₀ = -Δl/( l₀²·t ) = -4,71·10^-5 [ m^-1°C^-1 ]

∂α/∂t = -Δl/( l₀·t² ) = -8,90·10^-7 [ °C^-2 ]

U(α) = [(∂α /∂Δl)²· U_C²(Δl) + (∂α /∂l₀)²· U_C²(l₀) + (∂α/∂t)²· U_C²(t)]^1/2 = 5,11·10^-7 [ °C^-1 ]

dla α = 0,95 U_C(α) = 2·U(α) = 0,102·10^-5 [ °C^-1 ]

5. Wnioski:

Wyznaczone wartości współczynników temperaturowych rozszerzalności liniowej i oporu elektrycznego dla badanego metalu wynoszą:

γ = ( 1,26 ± 0,02 )·10^-2 °C ^-1 , α = ( 3,96 ± 0,10 )·10^-5 °C ^-1.

Rząd wyznaczonych wartości pokrywa się z tym odczytanym z tablic dla metali i stopów, świadczy to o poprawności wykonanego ćwiczenia.

t [ °C ]

l [ 10^-3 m ]

t [ °C ]

R [ Ω ]

---