Def.Wektory a
,a
,...,a
∈V(K) są liniowo zależne ⇔ gdy przynajmniej jeden z nich da się przedstawić jako kombinacja liniowa pozostałych.Dowód:

Wektory a
,a
,...,a
są liniowo zależne ⇒
ale istnieje α
≠0 ⇒
=
⇒

⇐wynika, że jeden z wektorów da się przedstawić jako kombinacjapozostałych.⇐
⇒
. Kombinacja jest nietrywialna ponieważ β
=-1≠0, czyli wektory są liniowo zależne.

Tw.Macierz A ma macierz odwrotną ⇔ gdy jest macierzą nieosobliwą.

Dowód: ⇒istnieje A
⇒AA
=A
A=E⇒(twierdzenie Cauchy'ego) det (AA
)=detE=1 (detA)(detA
)=1⇒detA≠0⇒A jest nieosobliwa

⇐ A jest nieosobliwa ⇒ detA≠0⇒można zdefiniować B=
A
AB=A=
A
=
AA
. Wniosek 3 z tw Laplace'a mówi, że
AA
=
(detA)*E=E BA=
A
A=
(detA)*E=E

Macierz B jest macierzą odwrotną do macierzy A.

Tw. Cramera.Jeżeli macierz podstawowa A układu n równań z n niewiadomymi jest macierzą nieosobliwą, to istnieje dokładnie jedno rozwiązanie układu równań

dane wzorami:
;i=1,...,n lub x=A
b

Dowód:detA
=det(a
,...,a
,b,a
,...,a
)=det(a
,...,a
,x
a
+x
a
+...+x
a
,a
,...,a
)=
det(a
,a
,...,a
,a
,a
,...,a
)+x
det(a
, a
, ...,a
,a
,a
,...,a
)+..+x
det(a
,a
,...,a
,a
,a
,...,a
)+ x
det(a
,a
,...,a
,a
,a
,...,a
) detA
=x
detA⇒ x
=
bo

detA≠0 . Wniosek: Jednorodny układ Cramerowski ma tylko rozwiązanie zerowe.

Tw.Kroneckera-Capelliego. Ukłąd równań liniowych Ax=B posiada co najmniej jedno rozwiązanie ⇔r(A)=r(A
). Dowód:Układ (
) jest rozwiązaniem

⇔
=b ⇔ b∈L( a
,a
,...,a
) ⇔L(a
,a
,...,a
)= L(a
,a
,...,a
,b) ⇔dimL(a
...a
)=dimL(a
...a
,b) ⇔r(A)=r(A
)

Podsumowanie: 1.r(A)=r(A
)=n-ilość niewiadomych-jedno rozwiązanie

2. r(A)=r(A
)=k<n-nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od n-k parametrów.

3. r(A)≠r(A
)-układ sprzeczny-brak rozwiązań

Def. iloczynu skalarnego. Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem R, odwzorowanie g: V
→R spełniające warunki:

1.∀x,y,z∈V g(x+y,z)=g(x,z)+g(y,z) g(x,y+z)=g(x,y)+g(x,z)

2.∀x,y,z∈V ∀λ∈R g(λx,y)=g(x,λy)=λg(x,y) - odwzorowanie jest liniowe

3.∀(x,y)∈V g(x,y)=g(y,x)

4.∀x≠0 g(x,x)>0 nazywamy mnożeniem skalarnym w przestrzeni V, a wartość

tego odwzorowania na wektorach (
) nazywamy iloczynem skalarnym tych wektorów x°y=|
| |
| cosϕ . Przestrzeń liniowa, w której wprowadzono

iloczyn skalarny nosi nazwę przestrzeni unitarnej.

Własności iloczynu skalarnego: 1.∀x,y∈V |x+y|≤|x|+|y| - nierówność Minkowskiego. 2.∀x,y∈V |x*y|≤|x|*|y| - nierówność Coshy-Buniakowskiego.

Dowód: λ∈R (λx+y)(λx+y)=λ
x
+2λxy+y
≥0 dla każdego x

Δ≤0 Δ=(2x°y)
-4x
y
=4((x°y)
- x
y
)≤0 (x°y)
≤ x
y
|x°y|≤|x| |y|

3.
4.
, α∈R 5.

Def. iloczynu wektorowego. Mnożeniem wektorowym w R
nazywamy odwzorowanie f:R
×R
→R
spełniające warunki: 1.∀a,b∈R
a×b=-b×a

2.∀a,b,c∈R
a×(b+c)=a×b+a×c (a+b)×c=a×c+b×c

3.∀λR∈ ∀a,b∈R
(λa)×b=a×(λb)=λ(a×b) 4.

Własności: 1.Jeśli wektory a,b są kolinearne to
∃λ∈R b=λa

ale z war.1.

2. Wektory a i b są ortogonalne do wektorów a×b

Iloczyn mieszany Iloczynem mieszanym uporządkowanej trójki wektorów a,b,c nazywamy liczbę określoną wzorem: abc=a°(b×c). Własności:

1.
2.Trzy niezerowe wektory a,b,c są współpłaszczyznowe (komplementarne) jeśli abc=0 3. Jeśli a,b,c∈R
a,b,c=det(a,b,c)

4.det(a,b,c) jest równy objętości równoległościanu rozpiętego na wektorach a,b,c