TEMAT:
Przestrzenie metryczne cd,
odwzorowanie ciągłe i ich własności

 

           
 - przestrzeń z miarą

           

           

 

 

DEFINICJA 9.1    (CIĄG CAUCHY'EGO)

 

 - ciąg Cauchy'ego

 

co można również zapisać, że

 

 

 

 

TWIERDZENIE 9.1   

 

W przestrzeni metrycznej każdy ciąg zbieżny jest ciągiem Cauchy'ego

 

Z:       

T:       

 

D:        dla
 prawdziwe jest:

 

Wiemy że:
 oraz

A więc na podstawie twierdzenia o trzech ciągach stwierdzamy że dla

, co kończy nasz dowód.

 

 

                 Uwaga:

 

Nie w każdej przestrzeni metrycznej jest prawdziwe twierdzenie odwrotne

(tzn. nie każdy ciąg Cauchy'ego jest ciągiem zbieżnym)

 

 

 

 

DEFINICJA 9.2     (PRZESTRZEŃ ZUPEŁNA)

 

Przestrzeń metryczna
 jest zupełna
każdy ciąg Cauchy'ego

elementów tej przestrzeni jest zbieżny do granicy należącej do tej przestrzeni

 

 - przestrzeń zupełna  

 

 

 

 

PRZYKŁAD 9.1

 

I.                    
 - przestrzeń metryczna, gdzie

               przestrzeń ta jest przestrzenią zupełną

II.                   a)
 - przestrzeń metryczna, gdzie
 - odległość euklidesowa

          b)
 - przestrzeń metryczna, gdzie
 - odległość taksówkowa

          c)
 - przestrzeń metryczna, gdzie
 - odległość maksimum

          Każda z powyższych przestrzeni metrycznych jest przestrzenią zupełną

III.                  a)
 - przestrzeń metryczna, gdzie
 - odległość euklidesowa

          b)
 - przestrzeń metryczna, gdzie
 - odległość taksówkowa

          c)
 - przestrzeń metryczna, gdzie
 - odległość maksimum

          Każda z powyższych przestrzeni metrycznych jest przestrzenią zupełną.

 

 

 

 

DEFINICJA 9.3     (ZBIÓR ZWARTY (CIĄGOWO ZWARTY))

 

 - przestrzeń metryczna

To znaczy że z każdego ciągu elementów tego zbioru można

wybrać podciąg zbieżny do granicy należącej do tego zbioru.

 

 

 

 

TWIERDZENIE 9.2   

 

            Zbiór
 jest zwarty
 jest zbiorem domkniętym i ograniczonym

 

 

 

 

ODWZOROWANIA CIĄGŁE

 

 

 

DEFINICJA 9.4     (OBRAZ I PRZECIWOBRAZ ZBIORU)

 

- przestrzenie metryczne

 

 - odwzorowanie

Niech

 - obraz zbioru A poprzez odwzorowanie f
 

 - przeciwobraz zbioru B

 

 

 

PRZYKŁAD 9.2   

 

;

 

;

;

 

 

 

 

DEFINICJA 9.5     (GRANICA FUNKCJI)

 

 - przestrzenie metryczne

 - odwzorowanie

 

1^o. Def. Cauchy'ego (topologiczna)

     

2^o. Def. Cauchy'ego (w przestrzeni metrycznej)

     

3^o. Def. Heinego

     

                                                                       

                             

 

 

 

 

DEFINICJA 9.6     (FUNKCJA CIĄGŁA)

 

 - przestrzenie metryczne

 - odwzorowanie

 
 - funkcja ciągła w

 

 

 

 

1.  
 - ciągła w zbiorze
funkcja f jest ciągła w każdym

2.  
 - ciągła w zbiorze

słownie:

 - ciągła w
przeciwobraz zbioru otwartego (dowolnego) jest zbiorem otwartym

 

 

 

 

TWIERDZENIE 9.3       (O ZŁOŻENIU ODWZOROWAŃ CIĄGŁYCH)

 

Z:       
- przestrzenie metryczne

           
odwzorowanie ciągłe

 

 

 

T:       
- ciągłe

 

D:       Niech
           
            

 

           

           

           

 

            Pokazaliśmy że
, gdzie
, bo
- funkcja ciągła

            oraz
bo
 - funkcja ciągła

            czyli
 - funkcja ciągła

 

 

 

 

DEFINICJA 9.7     (ODWZOROWANIE OGRANICZONE)

 

 - przestrzenie metryczne

 - odwzorowanie

 - odwzorowanie ograniczone
 - ograniczone

 

 

 

 

WŁASNOŚCI ODWZOROWAŃ CIĄGŁYCH NA ZBIORACH ZWARTYCH

 

 

TWIERDZENIE 9.4   

 

Obraz zbioru zwartego poprzez odwzorowanie ciągłe jest zbiorem zwartym

 

Z:       
- funkcja ciągła; X - zbiór zwarty

 

T:       
 - zbiór zwarty

 

D:       Niech

           

           
    

           
, ponieważ f - funkcja ciągła

           
 oraz

Z ciągu
 da się wybrać podciąg
 o granicy należącej do tego zbioru.

Czyli zbiór
 jest zwarty

 

 

 

WNIOSEK 9.1       (TW. WEIERSTRASSA)

 

Z:        
 - przestrzeń metryczna

           
 - odwzorowanie ciągłe, X - zwarty

 

T:        1^o.

            2^o.

          
            słownie:

            funkcja ciągła na zbiorze zwartym (o wartościach rzeczywistych) osiąga swoje kresy.

 

 

 

PRZESTRZENIE SPÓJNE

 

 

DEFINICJA 9.8     (PRZESTRZEŃ NIESPÓJNA)

 

                
 - przestrzeń metryczna

 
 - niespójna

 

 

 

 

 

DEFINICJA 9.9     (PRZESTRZEŃ SPÓJNA)

 

 - przestrzeń metryczna

 - spójna
 nie jest niespójna

 

 

 

WŁASNOŚCI ODWZOROWAŃ CIĄGŁYCH NA ZBIORACH SPÓJNYCH

 

 

 

TWIERDZENIE 9.5   

 

Z:       
 - przestrzeń metryczna spójna

           
 - odwzorowanie ciągłe

           

 

T:       

 

D:       nie wprost

 

     Z:

           
             Niech:
           

 

            1^o.      
, bo f - ciągła i
 - zbiór otwarty

                       
, bo f - ciągła i
 - zbiór otwarty

            2^o.      

            3^o.      

            4^o.      

 

            Z punktów 1^o do 4^o wynika że X - niespójne,

            co jest sprzeczne z założeniem, czyli twierdzenie jest prawdziwe.

 

 

 

 

WNIOSEK 9.2      (WŁASNOŚĆ DARBOUX)

 

                 Z:  
 - odcinek,
 - ciągłe,

 

                 T:  

 

 

 

 

WNIOSEK 9.3

 

                 Z:  
 - odcinek,
 - ciągłe,

 

                 T:  

 

 

 

 

TWIERDZENIE 9.6   

 

     Z:       
 - przestrzeń metryczna,
 - spójna

               
 - ciągłe

     T:       
 - spójne

                (obraz zbioru spójnego poprzez odwzorowanie ciągłe jest zbiorem spójnym)

 

     D:       nie wprost

                 Niech

                 Przypuśćmy że
 - niespójny

                 Niech

                

                

                
, zatem X - niespójne.

                        Sprzeczność z założeniem

 

 

 

ZBIEŻNOŚĆ PUNKTOWA I JEDNOSTAJNA

 

 

                
 - zbiór,
 - przestrzeń metryczna

                
 - ciąg odwzorowań

 

 

DEFINICJA 9.10     (ZBIEŻNOŚĆ PUNKTOWA)

 

                
 (czyt.: powiemy że
 jest zbieżny punktowo do
 na zbiorze
)

                

                                                          

                                  

 

 

DEFINICJA 9.11     (ZBIEŻNOŚĆ JEDNOSTAJNA)

 

    

 

                 (czyt.:
 jest zbieżny jednostajnie do
 na
)

 

 

PRZYKŁAD 9.3

 

                

 

                
 - funkcja graniczna
 

                
 jest zbieżny punktowo, ale nie jednostajnie.

 

 

 

---