Całka powierzchniowa zorientowana
(całka powierzchniowa funkcji wektorowej)
Niech S - gładki płat powierzchniowy.
Płat orientujemy czyli rozróżniamy jego strony: dodatnią 
. W każdym punkcie płata zorientowanego prowadzimy wektor normalny 
o zwrocie od strony ujemnej do dodatniej.
Orientacja płata S wyznacza jednoznacznie orientację krzywej 
.
Krzywa K jest zorientowana dodatnio, gdy obiegając krzywą K zgodnie ze wzrostem parametru wektor normalny mamy po stronie lewej.
Jeśli S jest powierzchnią zamkniętą, to przyjmujemy, że jej zewnętrzna strona jest stroną dodatnią; a wewnętrzna - ujemną.
Niech 
- wersor normalny do płata S. Ponieważ 
, więc wersor normalny zadany jest wzorem
,
gdzie 
są kątami między wektorem 
a dodatnimi półosiami 
.
Niech 
- pole wektorowe określone na płacie S,
,
oraz niech
.
W każdym punkcie płata S tworzymy iloczyn skalarny
.
Wartość tego iloczynu jest długością rzutu wektora 
na prostą normalną, bo
.
Ponieważ
całka powierzchniowa niezorientowana 
Definicja
Całkę powierzchniową niezorientowaną funkcji 
, czyli
nazywamy całką powierzchniową zorientowaną funkcji wektorowej 
na płacie zorientowanym S i oznaczamy symbolem
.
Uwaga
Jeśli zmienimy orientację płata S na przeciwną, to
czyli
.
Niech S - powierzchnia regularna, tzn. powierzchnia która jest sumą płatów gładkich 
.
Uwaga
Istnieją powierzchnie jednostronne (np. wstęga Mbiusa)
Zatem nie każdą powierzchnię regularną można zorientować.
Definicja
Niech 
powierzchnia regularna dwustronna, 
, gdzie
płat gładki dla 
.
Wtedy definiujemy
.
Uwaga
bo
Twierdzenie 1
Niech 
płat powierzchniowy zorientowany,
,
.
Wtedy 
całka powierzchniowa po górnej stronie płata S :
,
całka powierzchniowa po dolnej stronie płata S :
.
Dowód
Ponieważ płat S zadany jest w postaci jawnej 
, więc wektor normalny jest postaci
lub 
.
Niech 
Wtedy 
oraz
Zatem
Dowodzimy analogicznie.
Twierdzenie 2
Niech 
płat powierzchniowy zorientowany,
,
.
Wtedy 
całka powierzchniowa po górnej stronie płata S :
,
całka powierzchniowa po dolnej stronie płata S :
.
Twierdzenie 3
Niech 
płat powierzchniowy zorientowany,
,
.
Wtedy 
całka powierzchniowa po górnej stronie płata S :
,
całka powierzchniowa po dolnej stronie płata S :
.
Przykład
Obliczyć całkę 
po zewnętrznej stronie powierzchni
.
Rozłóżmy całkę I na sumę trzech całek
, gdzie
,
,
i dla każdej z całek 
skorzystajmy z Twierdzenia k , gdzie 
.
Ponieważ powierzchnia S jest płatem powierzchniowym zadanym równaniem
, gdzie 
zatem
- bo rzut powierzchni S jest krzywą 
(a nie obszarem).
Rzutujemy S na płaszczyznę 
. Rzut 
powstaje zatem
z rzutowania zarówno części 
powierzchni S dla której 
oraz z części 
dla której 
.
Rozłóżmy zatem S na sumę 
, gdzie
oraz
.
Stąd
Z 
,
,
otrzymujemy 
.
Przykład
Obliczyć całkę
gdzie S jest zewnętrzną stroną powierzchni sfery
I sposób.
Oczywiście 
Wystarczy więc obliczyć tylko jedną z tych całek, np. 
Sferę S rozbijamy na dwie półsfery: górną (względem płaszczyzny OXY) 
i dolną 
; a następnie korzystamy z twierdzenia.
II sposób.
Tym razem skorzystamy z definicji całki powierzchniowej zorientowanej, a następnie z twierdzenia o zamianie całki powierzchniowej niezorientowanej na całkę podwójną.
Sfera S ma następującą parametryzację:
, gdzie 
i wtedy wektor normalny jest postaci
dla 
gdzie
Stąd
Twierdzenie
Jeśli płat powierzchniowy S zadany jest równaniami parametrycznymi
, gdzie 
,
oraz
,
to
.
Dowód
Twierdzenie (Stokesa)
Jeżeli 
, gdzie S jest dwustronną
powierzchnią gładką ograniczoną krzywą regularną przestrzenną zamkniętą K,
oraz
orientacja powierzchni S jest zgodna z orientacją krzywej
,
to
Uwaga
Jeśli powierzchnia S jest płaskim obszarem w płaszczyźnie OXY, to 
, i z twierdzenia Stokesa otrzymujemy twierdzenie Greena.
Twierdzenie (Gaussa - Ostrogradskiego)
Jeśli S - powierzchnia zamknięta ograniczająca obszar przestrzenny V
oraz
pole wektorowe 
,
to
.
1
16
