Wykład V

Wykład dotyczy izolatorów , czyli materiałów, które nie mają swobodnych nośników prądu. Własności , które tu zostaną omówione wynikają z istnienia fononów.

Rozważmy wpływ fali elektromagnetycznej światła widzialnego i bliskiej podczerwieni na kryształ izolatora. W materiale takim nie ma swobodnych nośników prądu , bierze się więc pod uwagę tylko oddziaływanie pola elektromagnetycznego z ładunkami jonów sieci krystalicznej. Dla uproszczenia załóżmy, podobnie jak w poprzednim wykładzie, że mamy do czynienia z kryształem, w którym komórkę elementarną tworzą dwa jony A i B o ładunkach
q.

gdzie E₀ jest natężeniem pola elektrycznego a
częstością kołową fali. „k” - jest wektorem falowym. „x” jest położeniem w krysztale.

Ponieważ jony różnią się ładunkiem pole elektryczne będzie je wychylać w przeciwnych kierunkach. Mamy tu do czynienia z poprzecznym fononem optycznym (TO). Dla atomów A i B otrzymamy następujące równania ruchu:

Podobnie jak dla sieci krystalicznej bez pola elektrycznego szukamy rozwiązań równań ruchu jonów w postaci fal płaskich

gdzie
i
są amplitudami wychyleń jonów A i B. Wstawiając (V-4) i (V-4) do (V-2) i (V-3) otrzymuje się następujący układ równań

W równaniach tych wykorzystano zależność , że x=ma dla m tego jonu. Równania (V-6) i (V-7) mają następujące rozwiązania:

Ponieważ długość fali światła ( kilka tysięcy Å) jest duża w porównaniu z pojedynczą komórką elementarną możemy założyć, że charakteryzujący ją wektor falowy
jest mały . Wówczas cos(ka)=1 ( bo
)oraz
=0. Po spełnieniu tych warunków równania (V-8) i (V-9) będą miały postać

Można wprowadzić pojęcie polaryzacji, P, zdefiniowanej jako moment dipolowy przypadający na komórkę elementarną. Dla naszej komórki będzie to:

W naszych uproszczonych rachunkach można przyjąć, że wielkość 0x01 graphic
jest zależną od częstotliwości podatnością dielektryczną. Wprowadza się pojęcie indukcji dielektrycznej D

które odpowiada natężeniu pola elektrycznego wewnątrz kryształu. We wzorze (V-13)
jest polaryzacją jonową daną wzorem (V-12),
jest polaryzacją elektronową, wynikającą z przesunięć ładunków chmury elektronowej i jądra w pojedynczych atomach.

Równania (V-12) i (V-13) pozwalają na analizę zależności stałej dielektrycznej ( tak na prawdę to jest funkcja dielektryczna) a co za tym idzie współczynnika załamania od częstości padającego promieniowania. Definiując stałą ( funkcję ) dielektryczną
jako stosunek indukcji do natężenia pola elektrycznego ,
otrzymamy
, gdzie
jest stałą dielektryczną wynikającą z polaryzacji pojedynczych jonów ,
. Korzystając z definicji podatności otrzymamy:

Z równania ( V- 14) widać ,że gdy częstość fali elektromagnetycznej rośnie to funkcja dielektryczna dąży do
.
często nazywa się ją elektronową stałą dielektryczną. Z drugiej strony, gdy mamy do czynienia ze stałym polem elektrycznym funkcja dielektryczna osiąga wartość 0x01 graphic
.
nazywa się często całkowitą stałą dielektryczną .

jest częstością, przy której stała dielektryczna osiąga wartość zerową. Można dowieść, że jest to częstość podłużnych fononów optycznych. Z zależności ( V- 15) wynika następująca relacja pomiędzy stałymi dielektrycznymi a częstościami odpowiednich fononów:

Można napisać równanie różniczkowe opisujące rozchodzenie się fali elektromagnetycznej w krysztale ( równanie falowe) w postaci:

gdzie c jest prędkością światła w próżni. Podstawiając do równania (V-16) za indukcję dielektryczną
i za natężenie pola elektrycznego
oraz wykonując różniczkowanie otrzymamy następującą zależność dyspersyjną czyli zależność częstości fali elektromagnetycznej od wektora falowego:

jest prędkością rozchodzenia się fali elektromagnetycznej w danym ośrodku , zaś
jest funkcją współczynnika załamania światła danego ośrodka. Zależność współczynnika załamania światła od częstości fali elektromagnetycznej jest odpowiedzialna za rozszczepienie światła w pryzmacie.

Korzystając z relacji (V-18) można wykazać, że po przejściu drogi
w danym ośrodku faza fali ulegnie przesunięciu o kąt
. W wyniku czego natężenie fali elektronmagnetycznej po przejściu prze ośrodek będzie dane przez:

Współczynnik załamania jest pierwiastkiem ze stałej dielektrycznej. Jeśli funkcja dielektryczna przyjmowałaby wartości ujemne współczynnik załamania byłby urojony. W rzeczywistości funkcja dielektryczna jest funkcją ciągła. Widać to kiedy uwzględni się efekt tłumienia fali elektromagnetycznej przez drgania sieci krystalicznej. Po uwzględnieniu tłumienia równanie (V-14) przyjmuje postać funkcji zespolonej :

Zespolona funkcja dielektryczna powoduje pojawienie się urojonej składowej funkcji współczynnika załamania. Zakładając, że n=n'+in'' otrzymujemy następująca postać równania (V-19)

Pierwszy czynnik w równości (V-21) jest odpowiedzialny za tłumienie fali elektromagnetycznej ( absorpcję fotonów). Wielkość
często nazywa się współczynnikiem absorpcji. Efekty ten powoduje ,że fale elektromagnetyczne częstościach pomiędzy
i
nie mogą rozchodzić się w krysztale. W różnych kryształach będzie to różny zakres energii. W praktyce energie fononów optycznych mieszczą się na ogół w granicach 200 do 2000 cm^-1 . Dla fal elektromagnetycznych odpowiada to falom o długościach 50000 do 5000 nm . Jest to więc daleka podczerwień.

Problem rozchodzenia się fali elektromagnetycznej w krysztale można odwrócić . Zamiast pytać jak wpływa fala elektromagnetyczna na kryształ można zapytać jak kryształ wpływa na falę elektromagnetyczną. Z rozważań poprzedniego paragrafu wynika, że fala elektromagnetyczna światła widzialnego pobudza do drgań jony kryształu. Oddziaływanie tego typu prowadzi do powstawania w krysztale modów mieszanych będących kombinacją drgań mechanicznych i elektromagnetycznych . Sytuację można przedstawić posługując się zależnościami dyspersyjnymi . Dla fotonów ( fal elektromagnetycznych rozchodzących się w krysztale, w zależności od częstości otrzymuje się dla wysokich częstości :

gdzie
i
są odpowiednimi stałymi dielektrycznymi a c jest prędkością światła w próżni. Z kolei krzywe dyspersji dla poszczególnych fononów dane są przez relację (IV-19). Rozpatrując tylko fonony optyczne o małych wektorach falowych (z początku strefy Brillouina) otrzymamy dla podłużnych i poprzecznych fononów stałe, niezależne od wektora falowego częstości
i
. Krzywe dyspersji dla modów sprężonych, fotonowo- fononowych przedstawione są na rysunku V-3. Mody takie nazywamy polaritonami

Dla małych wartości wektora falowego
obserwujemy fotony rozchodzące się w krysztale z prędkością
( dolna gałąź) i podłużne fonony optyczne (górna gałąź). Dla
obserwujemy poprzeczne fonony optyczne i fotony poruszające się z prędkością
. Widać , że jak wspomniano w poprzednim paragrafie, fotony o częstościach pomiędzy
i
nie mogą istnieć.

Innym przykładem oddziaływania fali elektromagnetycznej z fononami sieci krystalicznej jest efekt Rmana. Efekt ten pojawia się gdy foton oddziaływując z fononami w sieci krystalicznej oddaje część swojej energii kreując fonon lub pochłania energię istniejącego w krysztale fononu . W rezultacie takich procesów w widmie światła rozproszonego pojawiają się oprócz fotonów o niezmienionej energii fotony o energii mniejszej i większej o energię oddziaływujących z nimi fononów. Istnieją dwa modele wyjaśniające zjawisko Ramana model klasyczny i model kwantowy. Obecnie przedstawimy zostanie model klasyczny.

Jak to dyskutowano w poprzednim paragrafie padająca fala elektromagnetyczna opisana relacją (V-1) powodować będzie polaryzację ośrodka. Polaryzacja jonowa, P_j, opisana jest relacją (V-12). Dla bieżących potrzeb przedstawimy tę relację następująco:

gdzie
podatnością dielektryczną. W poprzednim paragrafie zakładano, że to właśnie fala elektromagnetyczna może pobudzać drgania sieci. Przy takim założeniu , jak to wykazano poprzednio podatność nie zleży od wychyleń jonów. Rozważmy jednak co stanie się , jeśli oprócz fali elektromagnetycznej istnieją w krysztale niezależne oscylacje sieci. Oscylacje te poprzez drgania jonów wytworzą dodatkową polaryzację. Efekt ten można opisać zakładając, że podatność dielektryczna składa się z dwóch części : składowej stałej i składowej indukowanej przez istniejące w krysztale drgania sieci. Daje to następującą relacje:

Z relacji (V-27) widać ,że oprócz fali o częstości
pojawiają się fale elektromagnetyczne elektryczne o częstościach
i
, których natężenia są wprost proporcjonalne do pochodnej podatności dielektrycznej
.

Zakłada się ,że rozproszenie światła polega na jego absorpcji do wirtualnego stanu wzbudzonego , oznaczonego jako e i następnie natychmiastowej emisji do stanu podstawowego. Ponieważ emisja jest natychmiastowa , zgodnie z zasadą nieoznaczoności Heisenberga energia stanu może być dowolna. Istniejące w krysztale pole fononów może powodować ,że układ będąc w stanie wzbudzonym zaabsorbuje lub wyemituje fonon o energii
. Na skutek tych procesów znajdzie się w stanie E+
lub E-
. Ostatecznie powracając do stanu podstawowego układ może emitować 3 różne fotony o energiach odpowiednio
= E,
= E+
lub
= E-
. Pierwsza energia jest energią rezonansową ( tzw. linia Rayleigh'a ) .Foton o energii mniejszej daje linię Stokes'a. Foton o energii większej niż E daje linię antystokesowską.