15.1. Całki podwójne

Obszarem regularnym na płaszczyźnie <R²,q>, gdzie

nazywamy zbiór Ω mający następujące własności:

a) Ω jest zbiorem otwartym,

b) Ω jest ograniczony,

c)każde 2 punkty zbioru Ω mogą połączyć łamaną leżącą w całości w Ω,

d)brzeg zbioru Ω można podzielić na skończoną liczbę łuków przestrzeni y=f(x) lub x=g(x), dla x lub y ze skończonego przedziału domkniętego, gdzie f, g są funkcjami ciągłymi.Obszarem regularnym domkniętym nazywamy obszar regularny wraz z jego brzegiem. Np. koło bez okręgu, prostokąt bez brzegu to obszary regularne. Koło wraz z okręgiem, prostokąt wraz z brzegiem, to obszary regularne domknięte.

Na obszarze domkniętym
określona jest i ograniczona funkcja rzeczywista f. Załóżmy, że zbiór Ω jest zawarty w prostokącie P o bokach równoległych do osi współrzędnych. Dzielimy prostokąt P dowolnie na skończoną liczbę prostokątów częściowych o bokach równoległych do osi układu :P₁,P₂,...,P_n. W prostokątach

mających niepusty przekrój z Ώ wybieramy dowolne punkty:
, gdzie
, i=1,2,...,m. Tworzymy sumę całkową: (1)
, gdzie
-pole prostokąta P_i^I.

Jeżeli przy λ=maxS_i=0, i-długość przekątnej prostokąta P_i^I, ciąg sum całkowych postaci (1) dąży stale do skończonej granicy równej I, niezależnej od sposobu podziału prostokąta P na prostokąty częściowe oraz niezależnej od wyboru punktów pośrednich, to funkcję nazywamy całkowalna w sensie Riemannna na Ω, a granicę I nazywamy całką podwójną funkcji f po obszarze Ω i oznaczamy symbolem:

Każda funkcja f ciągła na Ω jest całkowalna na tym obszarze.

Interpretacja geometryczna

Niech

Całka
jest równa objętości bryły cylindrycznej ograniczonej od góry powierzchnią z=f(x,y), od dołu obszarem płaskim Ω, a z boku powierzchnią powstałą na skutek ruchu prostej prostopadłej do OXY i przecinającej obszar Ω. W szczególności przy

, pole obszaru:

Własności całek podwójnych:

1)Jeżeli funkcje f, g są całkowalne na Ω, to

gdzie

2)Jeżeli
f, g są całkowalne na Ω, to

3)Jeżeli obszary regularne domknięte Ω₁, Ω₂ nie posiadają wspólnych punktów wewnętrznych,to:

4)Jeżeli m=inf f(x,y),

M=sup f(x,y),

to:

Twierdzenie 1.

I. Jeżeli :

a)istnieje całka podwójna

gdzie
c=c(x), d=d(x) - funkcje ciągłe na <a,b>,
dla

b)dla każdego
istnieje skończona całka
, to istnieje tzw. całka skierowana
oraz

II. Jeżeli:

a)istnieje całka podwójna

gdzie
gdzie a=a(y), b=b(y) - funkcje ciągłe na <c,d>,
dla

b)dla każdego
istnieje skończona całka iterowana
oraz

Zamiana zmiennych w całce podwójnej:

Zakładamy, że przekształcenie x=φ(u,v), y=ψ(u,v)

odwzorowuje obszar regularny domknięty Ω^I na płaszczyźnie zmiennych: u,v na obszar regularny

domknięty Ω w płaszczyźnie zmiennych: x,y.

Jeżeli:

a)funkcje φ, ψ są ciągłe wraz z pochodnymi cząstkowymi I-go rzędu na Ω,

b)funkcja f jest ciągła na Ω,

c)odwzorowanie wnętrza (obszaru) Ω^I

na wnętrze Ω jest wzajemnie jednoznaczne i w obie strony ciągłe

d)Jakobian

wewnątrz Ω

to

x=φ(u,v), y=ψ(u,v).

PRZYKŁADY: a)W całce podwójnej
dokonać zamiany zmiennych kartezjańskich na zmienne biegunowe.Obszar regularny domknięty Ω leżący w płaszczyźnie OXY przedstawiamy przy pomocy współrzędnych biegunowych: r i φ.x=r cos φ y=r sin φ

Otrzymujemy :

gdzie
są funkcjami ciągłymi na przedziale <φ_1, φ₂>. Obliczamy Jakobian:

Zatem:

b)Pole powierzchni dwustronnej w przestrzeni Rⁿ,danej równaniem z=f(x,y) dla
,gdzie f-ciągła wraz z pochodnymi
na Ω-obszar regularny domknięty, jest równe:

c)Znaleźć pole powierzchni kuli o promieniu R.

Sfera o środku (0,0,0) i promieniu R ma równanie: x²+y²+z²=R², stąd

dla

Pole sfery o promieniu R jest równe:

gdzie

Zamieniamy zmienne kartezjańskie na biegunowe:

x=r cos φ y=sin φ I=r

Ω^I=x²+y²=R² r²cos² φ+r²sin² φ=R² r²=R² r=R

Wtedy:

15.2. Całki potrójne

Obszarem regularnym przestrzeni <R³,ρ>, gdzie ρ[P(x₁,y₁,z₁),Q(x₂,y₂,z₂)]=

Nazywamy zbiór Ω mający następujące własności:

a)Ω jest zbiorem ograniczonym, b)Ω jest zbiorem otwartym,

c)każde dwa punkty zbioru Ω można połączyć łamaną leżącą w całości w Ω, d) brzeg zbioru Ω można podzielić na skończoną liczbę powierzchni o równaniach: z=p(x,y) lub y=g(x,z) lub x=h(y,z), przy czym rzuty prostopadłe tych powierzchni na płaszczyzny układu 0XYZ są obszarami regularnymi domkniętymi, a funkcje p,g,h są ciągłe.Obszarem regularnym domkniętym nazywamy obszar regularny wraz z brzegiem.Zakładamy, że na obszarze regularnym domkniętym jest określona i ograniczona funkcja: f=f(x,y,z).Niech V będzie dowolnym prostopadłościanem o ścianach równoległych do płaszczyzn układu, zawierającym obszar Ω. Dzielimy prostopadłościan V dowolnie na skończoną liczbę prostopadłościanów o ścianach równoległych do płaszczyzn układu. W prostopadłościanach V₁, V₂,..., V_n mających niepusty przekrój z Ω wyliczamy dowolne punkty: (ρ₁,η₁,ς₁), (ρ₂η₂ς₂),..., (ρ_nη_nς_n) , przy czym:

, i=1,2,...,n.Budujemy sumę całkową: (1)
, gdzie (V_i)-objętość V_i.

Jeżeli przy δ=max δ_i→0, gdzie δi-długość przekątnejVi, (i=1,2,...,n) ciąg sum całkowych postaci (1) dąży stale do skończonej granicy równej I, niezależnie od sposobu podziału V na prostopadłościany częściowe oraz od wyboru punktów pośrednich (ρ_i,η_i,ς_i), to mówimy, że f jest całkowalna na Ω, a granicę
nazywamy całką potrójną funkcji f po Ω. Każda funkcja na Ω jest całkowalna.

Interpretacja geometryczna:

Niech
dla
,

Obszarem normalnym względem płaszczyzny OXY nazywamy zbiór Ω postaci:

, przy czym

φ(x,y)<ψ(x,y) wewnątrz Ω₀, Ω₀-obszar regularny domknięty na płaszczyźnie OXY ; φ,ψ-funkcje ciągłe na Ω_0.Dla funkcji ciągłej na Ω-obszar normalny względem OXY-zachodzi równość:

Analogicznie określamy obszar normalny względem OXZ, OYZ.

UWAGA: W naszych rozważaniach o całkach potrójnych, bieżemy pod uwagę tylko powierzchnie dwustronne, a nie jednostronne (takie jak np. kwadrat).

Zamiana zmiennych kartezjańskich na zmienne sferyczne w całce potrójnej:Położenie punktu P w przestrzeni, w której dany jest układ prostokątny OXYZ określa uporządkowana trójka (x,y,z).Niech:
-długość promienia wodzącego punktu P

φ=kąt(OX,OP^I)
υ=kąt(OP^I,OP)

Trójka (r,φ,υ) to współrzędnesferyczne punktu P. Związek między współrzędnymi kartezjańskimi i sferycznymi jest nastepujący:

z=sin υ, gdzie
, czyli
.

Zatem x=rcosφcosυ y=rsinφcosυ z=sinυ

dla
,
,

Niech przekształcenie:

x = r cos φ cosυ y = r sin φ cos υ z = sin υ

odwzorowuje obszar regularny domknięty Ω w przestrzeni (r,φ,υ) na obszar regularny domknięty w przestrzeni (x,y,z) w sposób wzajemnie jednoznaczny i w obie strony ciągły.Zakładamy, że funkcja f jest ciągła na Ω. Wtedy

15.3. Całki krzywoliniowe

Krzywą daną równaniami: x=x(t), y=y(t),

Nazywamy łukiem gładkim, jeżeli:

a)

b)x^I, y^I są ciągłe na przedziale <α,β>,

c)
dla

Analogicznie określamy łuk gładki x=x(t), y=y(t), z=z(t),

w przestrzeni.Krzywą x=x(t), y=y(t),
nazywamy częściami gładkimi, gdy:

a)można je podzilić na skończoną ilość łuków gładkich,

b)funkcje x=x(t), y=y(t) są ciągłe na <α,β>,

c)istnieje co najwyżej skończona ilość punktów wielokrotnych.

Analogicznie określamy krzywą częściami gładkimi w przestrzeni.

Niech będzie dany łuk gładki

. Na łuku określone są funkcje ciągłe P=P(x,y), Q=Q(x,y). Rozważmy ciąg podziałów przedziału <α,β>:

gdzie n=1,2,... (n-liczba podziałów).

Całką krzywoliniową płaską skierowaną funkcji P,Q wzdłuż łuku

nazywamy skończoną granicę:

przy założeniu

ρ_i⁽ⁿ⁾-dowolny punkt przedziału <t_i-1⁽ⁿ⁾,t_i⁽ⁿ⁾>.

Przy powyższych założeniach zachodzi równość:

Interpretacja fizyczna:

Niech P=P(x,y), Q=Q(x,y) będą składowymi skalarnymi wektora siły działającej w przedziale
:

. Wtedy praca siły
wzdłuż drogi
jest równa:
.

Niech będzie dany łuk gładki L: x=x(t), y=y(t) ,

. Wzdłuż L jest określona funkcja ciągła f=f(x,y). Dzielimy łuk L na n łuków częściowych ΔL_i o długościach │ΔL_i│. Niech
. Jeżeli przy n→∞ oraz przy δ_n=max│ΔL_i│→ 0 istnieje skończona granica ciągu sum całkowych

niezależnie od sposobu podziału łuku oraz od wyboru punktów pośrednich, to granicę tę nazywamy całka krzywoliniową płaską nieskierowaną funkcji f wzdłuż łuku L i oznaczamy symbolem:
. Zachodzi równość:

W interpretacji geometrycznej całka
jest równa długości łuku L. Jeżeli ρ=ρ(x,y) oznacza gęstość krzywej, to jej masa jest równa
.

Analogicznie wprowadzamy całki krzywoliniowe skierowane i nieskierowane w przestrzeni R³.W przypadku całek skierowanych, ich wielkość zależy od kierunku obiegu krzywej AB. Mamy równość:

Natomiast całka krzywoliniowa nieskierowana nie zależy od kierunku obiegu krzywej L.

§16. Równania różniczkowe zwyczajne:

Równaniem różniczkowym nazywamy równanie funkcyjne, w którym występuje pochodna funkcji niewiadomej.

Np.:1.

y=y(x)-funkcja niewiadoma

2.

f=f(x,y)-funkcja niewiadoma

Równanie różniczkowe nazywamy zwyczajnym, jeżeli funkcja niewiadoma zależy od jednej zmiennej.

Równanie różniczkowe nazywamy cząstkowym, jeżeli funkcja niewiadoma zależy od więcej niż jednej zmiennej.

Rzędem równania różniczkowego nazywamy rząd najwyższej pochodnej funkcji niewiadomej występującej w równaniu.

Rozwiązanie równania różniczkowego nazywamy całką ogólną równania. Całka ogólna zależy od tylu wzajemnie niezależnych dowolnych stałych, ile wynosi rząd równania. Jeżeli w miejsce stałych podstawimy konkretne liczby, to otrzymamy tzw. całkę szczególną równania.PRZYKŁAD:

Prawo rozpadu radu polega na tym, że prędkość chwilowa rozpadu jest wprost proporcjonalna do ilości R radu, który w danej chwili nie uległ jeszcze rozpadowi. Znaleźć zależność R od czasu t. Wyznaczyć współczynnik proporcjonalności, jeżeli wiadomo, że po 1600 latach pozostanie połowa początkowej ilości radu.

R=R(t)

, gdzie C-współczynnik proporcjonalności. W chwili początkowej t=0 ilość radu jest równa R₀. Otrzymaliśmy równanie różniczkowe:

Po obustronnym scałkowaniu otrzymujemy:

C₂-dowolna stała dodatnia

-całka ogólna równania różniczkowego, dla t=0 mamy: R90)=C₂e^C0=C₂, R₀=C₂,zatem R(t)=R₀e^Ct. Dla t=1600 lat mamy
,

stąd

Pewne typy równań różniczkowych zwyczajnych:

1.Równaniem różniczkowym o zmiennych rozdzielonych nazywamy równanie postaci:

P(y)dy=q(x)dx y=y(x)-funkcja niewiadoma,

Gdzie funkcje p=p(y), q=q(x) są ciągłe odpowiednio na przedziałach (a,b); (c,d).

Aby rozwiązać powyższe równanie, należy scałkować je obustronnie.

PRZYKŁAD:

Rozwiązać równanie: e^y(1+x²)y^I-2x(1+e^y)=0.

Dokonujemy rozdzielenia zmiennych:

e^y(1+x²)y^I=2x(1+e^y)

Otrzymujemy równanie różniczkowe o zmiennych rozdzielonych, które całkujemy obustronnie:

C-dowolna stała dodatnia

całka ogólna

2.Równaniem różniczkowym jednorodnym nazywamy równanie:
, f-funkcja ciągła, y=y(x)-funkcja niewiadoma.

Podstawiamy
, gdzie u=u(x). Wtedy y=ux

Jeżeli

Równanie różniczkowe o zmiennych rozdzielonych.

Jeżeli:
ydx=dy
-

równanie o zmiennych rozdzielonych.

3.Równaniem różniczkowym liniowym nazywamy równanie: y^I+p(x)y=q(x), gdzie p=p(x), q=q(x)-funkcje ciągłe na przedziale (a,b).

a)rozwiązujemy równanie różniczkowe jednorodne

y^I+p(x)y=0

(1)
, C₀-dowolna stała.

Jeżeli y>0, to z równania (1) mamy:

(2)

C₁-dowolna stała dodatnia.

Jeżeli y<0, to z (1) mamy

.

(3)

C₂-dowolna liczba ujemna.

Całka szczególna równania y^I+p(x)=0 jest y(x)≡0. Można tę całkę zapisać w postaci (4)
, C=0.

Z (1), (2), (3), (4) otrzymujemy, że całką ogólną równania jednorodnego jest:
, C-dowolna stała.

b)Rozwiązujemy równanie różniczkowe liniowe niejednorodne: y^I+p(x)y=q(x). Szukając całki ogólnej tego równania w postaci (5)
, gdzie C=C(x)-odpowiednio dobrana funkcja.

Wstawiając (5) do równania liniowego niejednorodnego otrzymujemy:

C₁-dowolna stała.

Zatem całka ogólna równania liniowego niejednorodnego ma postać:

,

gdzie C-dowolna stała.

64

66

---