23. Definicja szeregu funkcyjnego. Zbieżność punktowa i jednostajna na zbiorze. -Rajch

Definicja (szeregu funkcyjnego i jego sumy)

Niech X będzie dowolnym niepustym zbiorem i niech
oraz
dla n = 1,2,3,... , gdzie Y oznacza ciało liczb rzeczywistych lub zespolonych. Ciąg
sum częściowych takich, że

, nazywamy szeregiem funkcyjnym i oznaczamy
, a granicę ciągu sum częściowych, szeregu funkcyjnego nazywamy sumą szeregu funkcyjnego.

Twierdzenie (kryterium jednostajnej zbieżności)

Szereg
jest zbieżny jednostajnie w zbiorze X do funkcji f(x), gdy od pewnego wyrazu norma sumy częściowej szeregu
jest dowolnie mała dla wszystkich
, tzn. gdy dla dowolnej liczby
istnieje taka liczba naturalna
, że dla wszystkich
i dla wszystkich
zachodzi nierówność

Definicja (punktowej/jednostajnej zbieżności)

Dany jest ciąg funkcyjny
. Mówimy, że szereg funkcyjny
jest punktowo (odp. jednostajnie) zbieżny w A, jeśli ciąg sum częściowych

jest punktowo (odp. jednostajnie) zbieżny w A do S(x).

Twierdzenie

Jeżeli szereg funkcyjny jest jednostajnie zbieżny, to jest punktowo zbieżny.

Twierdzenie

Niech dany będzie szereg funkcyjny
, zbieżny jednostajnie w przedziale (a,b) do funkcji f. Wówczas, jeżeli wszystkie wyrazy ciągu
są ciągłe, to jego suma f też jest funkcją ciągłą.

Przykład 1

Szereg
jest zbieżny punktowo w przedziale (−1, 1), ale nie jest jednostajnie zbieżny. Istotnie:

stąd
stąd
jest zbieżny.

Przykład 2

Rozpatrzmy szereg
w przedziale (-1,1). Mamy
. Ponieważ
, więc
. Zatem ciąg
nie jest jednostajnie zbieżny do
, z czego wynika, że szereg
nie jest jednostajnie zbieżny w (-1,1).

Przykład 3

Rozpatrzmy ten sam szereg na przedziale
, gdzie 0<a<1. Wtedy
. Zatem szereg
jest jednostajnie zbieżny w przedziale
.