Ruch falowy

Równanie fali płaskiej

Drgania harmoniczne punktu materialnego odbywające się wokół położenia równowagi można opisać podając zależność wychylenia od czasu:

ϕ = 0; ψ = 0; t = 0;

Umownie przyjmujemy, że zaburzenie ψ = 0 odpowiada chwili przyjętej za początek rachuby czasu (t = 0).

Niech zaburzenie (stan drgania) przesuwa się w przestrzeni np. w kierunku osi z.

Wówczas cząstka znajdująca się w punkcie o współrzędnej z ≠ 0 będzie opóźniona w drganiach względem cząstki znajdującej się w punkcie 0 (z = 0) - źródła dali. Opóźnienie jest proporcjonalne do odległości z od źródła fali.

Załóżmy: stan drgań przesuwa się ruchem jednostajnym z prędkością
.

Do punktu B', odległym od źródła fali (punktu 0) o z', zaburzenie dociera z opóźnieniem
.

Wychylenie ψ' punktu B', z położenia równowagi wyraża się wzorem:

		T - okres drgań
		wychylenie punktu B'
		wychylenie punktu B”

Jaki warunek musi spełnić odległość (z” - z') aby punkty B' i B” były najbliższymi punktami w których w każdej chwili wychylenia od położenia równowagi są identyczne ?

Z okresowości funkcji sinus wynika, że ψ' = ψ” jeśli argumenty pod znakiem sin będą się różniły o całkowitą wielokrotność 2π.

stąd

z” - z' = vT

odległość tę nazywamy długością fali λ

Długość fali równa się drodze, jaką zaburzenie przebywa w czasie jednego okresu drgania źródła.

Ogólnie:

- liczba falowa

równanie fali płaskiej, harmonicznej

gdzie:

• - wychylenie z położenia równowagi cząstki znajdującej się w

odległości z od źródła fali, po czasie t

ψ - pulsacja źródła fali

A₀ - amplituda drgań źródła fali

Kierunek rozchodzenia się fali nazywamy promieniem fali.

Zbiór punktów przestrzeni, którym odpowiada jednakowa faza drgań związanych z określoną falą, nazywamy czołem fali lub jej powierzchnią falową.

Fale płaskie:

• powierzchnie falowe w przestrzeni - płaszczyzny równoległe

• linie falowe w przestrzeni dwuwymiarowej - proste równoległe

Fale, których czoło stanowi w przestrzeni trójwymiarowej powierzchnia kuli, zaś w przestrzeni dwuwymiarowej okrąg koła nazywamy odpowiednio falami sferycznymi i kolistymi.

Fale takie pochodzą od źródeł punktowych. Amplituda fali kulistej maleje wraz ze wzrostem odległości od źródła. Przy założeniu, iż nie ma strat energii, amplitudę fali opisuje wzór:

gdzie:

R - promień źródła fali

r - odległość od źródła

A₀ - amplituda w odległości 1m od źródła

w przypadku źródła punktowego

równanie fali kulistej (kolistej)

Interferencja fal

Źródła Z1 i Z2 są źródłami fal sinusoidalnych rozchodzących się w ośrodku izotropowym, jednorodnym. Niech fale te będą wzbudzane przez punktowe źródła Z1 i Z2, których pulsacja drgań równa się odpowiednio ω1 i ω2, a fazy początkowe wynoszą ϕ1 i ϕ2.

Drgania wzbudzane w punkcie P będą spełniać równania:

oznaczamy:

stąd:

Zgodnie z zasadą superpozycji drgań, wypadkowe drganie w punkcie P opisuje wzór:

gdzie:

Możliwe są 2 przypadki:

1. Różnica faz (φ₁ - φ₂) zależy od czasu (zmienia się w czasie)

2. Różnica faz (φ₁ - φ₂) nie zależy od czasu. Fale takie i wzbudzające je źródła nazywamy spójnymi.

W przypadku 1 (ze względu na małą czułość detektora) obserwujemy wynik uśrednienia amplitudy w punkcie P i we wszystkich punktach ośrodka.

W przypadku 2 (φ₁ - φ₂) nie zależy od czasu, zatem (ω₁ - ω₁)t = 0, stąd ω₁ - ω₁ = 0, więc ω₁ = ω₁, γ₁ = γ₂, T₁ = T₂. Wówczas (φ₁ - φ₂) nie jest funkcją czasu.

Zakładamy, że ϕ1 = ϕ2 zaś λ = Tν T1 = T2; ν = const stąd k1 = k2

Amplituda drgań w punkcie P zależy od różnicy faz φ₁ - φ₂, a ta z kolei zależy od odległości punktu P od źródeł Z₁ i Z₂.

Przypadek 1

max interferencyjne w P

2. 
   

max interferencyjne

Maksimum interferencyjne w punkcie P:

Różnica dróg przebytych przez fale ze źródeł Z₁ i Z₂ do punktu P równa jest całkowitej wielokrotności długości fali (przy założeniu, że φ₁ = φ₂) lub jest równa 0.

Przypadek 2

minimum interferencyjne

Minimum interferencyjne w punkcie P:

Różnica dróg przebytych przez fale ze źródeł Z₁ i Z₂ do punktu P równa jest nieparzystej wielokrotności połówki długości fali.

Fale stojące

Rozpatrzmy przypadek interferencji fal: „biegnącej” i odbitej.

Falę płaską biegnącą wzdłuż osi x opisuje równanie:

Fala odbita przebywa dodatkową drogę (2x) do P. Wprowadźmy parametr d w celu scharakteryzowania warunków odbicia (od ściany sztywnej fala odbija się ze zmianą fazy na przeciwną, od swobodnego końca bez zmiany fazy). Zatem równanie opisujące falę odbitą ma postać:

Wynik interferencji w punkcie P:

Amplituda w punkcie P
*

Ze wzoru * wynika, że amplituda drgań cząstki (np. liny, węża gumowego) zależy od odległości cząstki (punktu P) od końca B (liny, węża), czyli od x.

Dla x = 0, A = 0 (sznur przymocowany do ściany)

Wtedy

zaś

ponieważ x = 0 to

.

Jeśli koniec jest nieruchomy faza przy odbiciu fali zmienia się na przeciwną.
W punkcie B jest węzeł fali (A = 0).

W jakich położeniach cząstki liny mają maksymalną amplitudę ?

Licząc od ściany

W odległościach x', x”, x”' powstają strzałki (cząstki ...)

Obliczamy położenia węzłów:

A = 0 zatem

Węzły powstają w położeniach (licząc od końca liny B)

Zakładamy teraz, że koniec liny jest swobodny. Na końcu liny powstaje strzałka:

Jeśli x = 0, to i d = 0.

Przy odbiciu od swobodnego końca fale odbijają się bez zmiany fazy. Położenie strzałek i węzłów można obliczyć podobnie jak wyżej.

Prędkość grupowa

Rozważmy przypadek, gdy w danym ośrodku biegną fale o długości λ z prędkością
oraz o długości (λ + dλ) z prędkością
. Obie fale biegną w kierunku osi x (rysunek).

Obliczamy prędkość U wierzchołka fali powstałej w wyniku superpozycji obu fal.

U - prędkość grupowa

W chwili t = 0 wierzchołek „grupy” fal znajduje się w punkcie B (B'). Po czasie t wierzchołek „grupy” fal przesunął się na odległość s (teraz zgodne fazy mają punkty A i A').

Zatem

ale

stąd

*

Z rys.

podstawiamy do wzoru *

U < ν; ν - prędkość fazowa

Jeśli w ośrodku nie występuje tzw. dyspersja to

Zasada Huygensa-Fresnela. Ugięcie fal.

Treść zasady Huygensa-Fresnela składa się z przyjętych bez dowodu postulatów:

1. Źródło fali Z można zastąpić układem fikcyjnych źródeł fal wtórnych. Jako te fikcyjne źródła można przyjąć małe odcinki zamkniętej powierzchni otaczającej źródło Z.

2. Źródła wtórne są spójne. Za powierzchnię S przyjmuje się powierzchnię falową. Wtedy fazy drgań źródeł wtórnych są takie same, a także moce wtórnych źródeł są jednakowe.

3. Amplituda fali wtórnej jest tym mniejsza im większy jest kąt α, jaki tworzy kierunek fali z normalną do powierzchni. Amplituda = 0, gdy
   . Nie istnieją fale wsteczne.

4. Jeżeli część powierzchni S jest zasłonięta, fale wtórne wysyłane są tylko przez odsłoniętą część powierzchni S. Wysyłanie fal odbywa się tak, jak w nieobecności osłony.

Każdy punkt ośrodka, w którym rozchodzi się fala jest źródłem fal cząstkowych; obwiednia fal cząstkowych tworzy czoło fali (powierzchnie falową).

Odbicie fali. Prawo odbicia.

α - kąt padania

β - kąt odbicia

	AD = BC	(fala cząstkowa rozejdzie się na odległości AD w czasie, w którym czoło fali padającej przebędzie odległość CB)
		z przystawania trójkątów
		(kąty o ramionach wzajemnie prostopadłych są sobie równe)

prawo odbicia

Kąt odbicia fali równa się kątowi padania.

Załamanie fali. Prawo załamania.

β - kąt załamania

ν₁ - prędkość fali padającej w ośrodku I

ν₂ - prędkość fali załamanej w ośrodku II

		ramiona wzajemnie prostopadłe
		współczynnik załamania ośrodka II względem I

prawo załamania

Natężenie fali

Rozchodzenie się fali polega na przekazywaniu energii (w przypadku fal mechanicznych - przekazywaniu energii ruchu drgającego cząstek ośrodka).

Natężeniem fali nazywamy wielkość liczbową równą ilości energii przenoszonej w jednostce czasu przez jednostkę powierzchni prostopadłą do kierunku rozchodzenia się fali.

Ponieważ energia ruchu drgającego cząstek ośrodka jest proporcjonalna do kwadratu amplitudy drgań wokół ich położeń równowagi. (ε ~ A²) zatem natężenie fali jest również proporcjonalne do kwadratu amplitudy fali.

Tłumienie fal

Rozchodzeniu się fali w ośrodku towarzyszy pochłanianie energii (część energii drgań zamienia się w energię ruchu cieplnego).

Załóżmy, że fala płaska przechodzi przez warstwę substancji o grubości x. Natężenie fali zmienia się od wartości I₀ do I, przy czym I < I₀.

Przeźroczystość danej substancji D dla danej fali wyraża się stosunkiem:

Załóżmy, że stopień przeźroczystości substancji zależy od x, a nie zależy od I

Przyjmując, że ilość energii pochłoniętej w warstwie o grubości dx w jednostce czasu i w jednostkowej powierzchni jest proporcjonalna do I i dx, możemy zapisać:

gdzie:

β - współczynnik pochłaniania energii w ośrodku

Całkując stronami otrzymujemy:

C wyznaczamy z warunków początkowych - jeśli x = 0, to I = I₀ → lnI₀ = C

Zatem

Wniosek:

Natężenie fali wykładniczo maleje z grubością warstwy (przy stałym β).

Elementy akustyki

Fale akustyczne są to fale podłużne rozchodzące się w ośrodku sprężystym. Źródłami fal akustycznych (głosowych) są ciała drgające (struny, membrany).

Ucho ludzkie odbiera fale głosowe w przedziale częstości 20 - 20000 Hz. Fale o częstości γ < 20 Hz nazywamy infradźwiękami, a o częstości γ > 20000 Hz ultradźwiękami.

Tzw. szumy nie maja charakteru periodycznego. Odpowiada im ciągły zakres częstości.

W zależności od kształtu widma akustycznego rozróżniamy:

1. tony

2. dźwięki

3. szumy

Dźwięki słyszalne charakteryzujemy podając:

1. częstość drgań (wysokość dźwięku)

2. amplitudę drgań (głośność - natężenie dźwięku)

3. widmo akustyczne (barwę dźwięku)

Za głośność wzorcową przyjmujemy głośność dźwięku o częstości 1 kHz i natężeniu I₀ = 10^-12 J/m²s (próg słyszalności)

Głośność dźwięku o tej samej częstości i o innym natężeniu I określamy prawem Webera:

Głośność wyrażamy w belach (b) lub decybelach - 1db = 0,1 b

Np. I = 1000 I₀, to β = lg1000 = 3 b = 30 db

Głośność dźwięku o innej częstości porównujemy z głośnością dźwięku o częstości 1 kHz. Wówczas głośność wyrażamy w fonach. Tzn. jeśli dany dźwięk wydaje się „tak samo głośny” jak dźwięk o częstości 1 kHz i głośności β db, to jego głośność określamy jako β fonów.

Próg bólu: 120 db przy γ = 5000 Hz

szelest liści rozmowa hałas uliczny fortissimo orkiestra

10 - 20 db 50 - 70 db 80 - 90 db 90 - 100 db

Zjawisko Dopplera

1. Ruchome źródło dźwięku, nieruchomy obserwator

Z - nieruchome: w czasie t źródło wysyła n zagęszczeń. W tym czasie pierwsze zagęszczenie przebędzie odległość s = V_dt

Jeśli Z porusza się z prędkością V_z, to n zagęszczeń znajdzie się w odległości:

W tym przypadku
ale
, zaś

Zatem
, ale

więc

Jeśli źródło oddala się od obserwatora to :

2. Nieruchome źródło dźwięku, obserwator porusza się z prędkością V_o

t' - czas, w którym obserwator minie n zagęszczeń

Ruch falowy • Fizyka 2002 - 2003

18