4. Krzywe stożkowe

Krzywe stożkowe otrzymuje się poprzez przecięcie stożka płaszczyzną. Linia przekroju powierzchni bocznej stożka obrotowego zależy od położenia płaszczyzny przekroju względem stożka (rys. 4.1, 4.2). Przekrojem może być:

• okrąg, gdy płaszczyzna przekroju nie przechodzi przez wierzchołek stożka i jest prostopadła do jego osi obrotu (rys. 4.1a),

• elipsa, gdy płaszczyzna równoległa do płaszczyzny przekroju i przechodząca przez wierzchołek stożka nie przecina stożka (rys. 4.1b),

• parabola, gdy płaszczyzna równoległa do płaszczyzny przekroju i przechodząca przez wierzchołek stożka jest styczna do stożka (rys. 4.1c, linią styczności jest tu prawa tworząca konturowa stożka w rzucie pionowym),

• hiperbola, gdy płaszczyzna równoległa do płaszczyzny przekroju i przechodząca przez wierzchołek stożka przecina stożek (rys. 4.1d, liniami przecięcia są proste W5 i W6).

Jeżeli płaszczyzna przekroju przechodzi przez wierzchołek, wówczas przekrojem powierzchni bocznej stożka są proste przecinające się w jego wierzchołku.

Rys. 4.1

Rys. 4.2

1. Wykreślanie elipsy - konstrukcja siatkowa

Zadanie:

Wykreślić elipsę o zadanych średnicach sprzężonych AB i CD stosując konstrukcję siatkową (rys. 4.3a,b).

Każdą elipsę możemy uważać za rzut równoległy okręgu. W związku z tym, cięciwom równoległym okręgu odpowiadają cięciwy równoległe elipsy, a środkom cięciw okręgu odpowiadają środki cięciw elipsy. Środki cięciw wyznaczają średnicę okręgu. W taki sam sposób definiujemy średnicę elipsy. Średnice sprzężone elipsy to średnice, z których każda jest miejscem geometrycznym środków cięciw równoległych do drugiej średnicy. Szczególnym przypadkiem średnic sprzężonych są również osie elipsy.

Rys. 4.3

Rozwiązanie zadania:

1. Przez punkty A i B prowadzimy proste równoległe do CD, a przez C i D - równoległe do AB, otrzymując równoległobok (rys. 4.3a) lub prostokąt (rys. 4.3b) KLMN opisany na elipsie.

2. Promień OC dzielimy na dowolną liczbę równych części (w opisywanym przypadku: 4) numerując punkty wynikające z podziału: 1^*, 2^*, 3^*. Na tę samą liczbę równych części dzielimy odcinek CN (połowę boku MN), numerując odpowiednio punkty: 1, 2, 3.

3. Prowadzimy proste: A1^* i B1. Punkt ich przecięcia leży na elipsie. Następnie prowadzimy proste A2^* i B2 oraz A3^* i B3. Punkty ich przecięcia wyznaczają kolejne punkty elipsy. W ten sposób wyznaczono trzy punkty elipsy, które wraz z punktami B i C tworzą fragment elipsy leżący w ćwiartce OBMC.

4. W analogiczny sposób wyznaczamy punkty leżące w ćwiartce AOCN oraz w następnych ćwiartkach: AKDO i DLBO.

2. Wykreślanie paraboli - konstrukcja siatkowa

Zadanie:

Za pomocą konstrukcji siatkowej wykreślić parabolę mając dane: oś symetrii paraboli, wierzchołek paraboli A oraz jeden z jej punktów B (rys. 4.3c).

Rozwiązanie zadania:

1. Znajdujemy punkt C, symetryczny do punktu B względem osi symetrii paraboli OA, i wykreślamy prostokąt BKLC.

2. Odcinek KB dzielimy na dowolną liczbę równych części (w opisywanym przypadku: 4) numerując punkty wynikające z podziału: 1^*, 2^*, 3^*. Na tą samą liczbę części dzielimy odcinek OB, numerując odpowiednio punkty: 1, 2, 3.

3. Prowadzimy prostą A1^* oraz prostą przechodzącą przez punkt 1, równoległą do osi symetrii paraboli. Punkt ich przecięcia jest punktem paraboli.

4. W podobny sposób wyznaczamy kolejne punkty jednego, a następnie drugiego ramienia paraboli.

Uwaga: Wykreślanie hiperboli - patrz: rozdział 6.

5. Powierzchnie walcowe i stożkowe

1. Przekrój i rozwinięcie powierzchni bocznej walca obrotowego

Zadanie:

Walec obrotowy o osi pionowej, wyznaczonej przez punkty N i M, przecięto płaszczyzną pionowo rzutującą α przechodzącą przez punkty K i L (rys. 5.1, 5.2). Wykreślić rzuty (poziomy, pionowy i boczny) bryły powstałej po odrzuceniu części znajdującej się nad płaszczyzną przekroju i wykonać rozwinięcie jej powierzchni bocznej.

Rys. 5.1

Rozwiązanie zadania:

1. Wyznaczamy pionowy rzut przekroju walca - odcinek A^IIB^II. Punkt A jest najniższym, a B najwyższym punktem przekroju i jednocześnie są to końce osi wielkiej elipsy, będącej przekrojem walca.

2. Znajdujemy pionowy rzut osi małej elipsy CD, prostopadłej do osi AB w połowie jej długości (w punkcie O). Jest nim punkt: C^II = D^II = O^II.

3. Poprzez odrzutowanie znajdujemy rzuty poziome oraz boczne punktów A, B, C, D i O (rys. 5.2).

4. Wykreślamy boczny rzut przekroju walca. Jest nim elipsa o osiach: A^IIIB^III i C^IIID^III (elipsę tą wykreślamy metodą siatkową). Poziomym rzutem przekroju jest okrąg pokrywający się z rzutem bryły.

5. Rozwinięcie powierzchni bocznej walca wykonujemy przybliżając walec wpisanym w niego graniastosłupem foremnym. W omawianym przypadku jest to graniastosłup o podstawie dwunastokąta foremnego. W tym celu dzielimy okrąg podstawy walca (w rzucie poziomym) na 12 równych części, a powstałe na skutek podziału łuki zastępujemy odcinkami (cięciwami). Wierzchołki podstawy graniastosłupa oznaczamy kolejnymi liczbami: 1, 2, 3, itd.

6. Odmierzamy długość cięciwy (np.: 1^I2^I) i odkładamy odpowiednią liczbę razy wzdłuż prostej. W ten sposób otrzymujemy rozwinięcie podstawy walca.

7. Odmierzając (z drugiego rzutu) długości tworzących: 1 A, 2 2^*, 3 3^*, itd., otrzymujemy rozwinięcie powierzchni bocznej bryły. Rozwinięciem krzywej przekroju jest fragment sinusoidy. Z uwagi na to, że bryła jest symetryczna względem płaszczyzny równoległej do rzutni π₂ i przechodzącej przez oś walca (MN), wystarczy wykreślić rozwinięcie połowy jej powierzchni bocznej.

8. Na zakończenie kreślimy linią ciągłą grubą te kontury (w rzutach i na rozwinięciu), które zostają po odrzuceniu części walca znajdującej się nad płaszczyzną sieczną.

Rys. 5.2

2. Obrót odcinka

Zadanie:

Dany jest odcinek AB, który nie jest równoległy do żadnej z rzutni. Wyznaczyć wykreślnie jego długość (rys. 5.3, 5.4).

Rozwiązanie zadania polega na takim przemieszczeniu odcinka, by stał się równoległy do jednej z rzutni W rzucie na taką rzutnię odcinek jest pokazany w wielkości rzeczywistej. Wykorzystana zostanie metoda obrotu. Metoda ta jest stosowana przy rozwinięciu powierzchni bocznej stożka (Przykład 5.4, 5.5).

Rys. 5.3

Rozwiązanie zadania:

1. Przez jeden z końców odcinka AB, w omawianym przypadku przez punkt A, prowadzimy oś obrotu l prostopadłą do rzutni poziomej π₁. Wykreślamy rzut pionowy osi obrotu - prostą l^II prostopadłą do osi x. Rzut poziomy osi obrotu (punkt l^I) jednoczy się z rzutem poziomym punktu A.

2. Przez punkt B prowadzimy płaszczyznę obrotu, prostopadłą do osi obrotu, a tym samym prostopadłą do rzutni pionowej π₂. Oś obrotu przebija płaszczyznę obrotu w punkcie O. Względem tego punktu porusza się w płaszczyźnie obrotu punkt B. Kreślimy rzut pionowy płaszczyzny obrotu. Jest nim prosta przechodząca przez punkty B^II i O^II.

3. Odcinek AB obracamy względem osi obrotu tak, by stał się równoległy do rzutni pionowej. Punkt A podczas obrotu nie zmienia swojego położenia, ponieważ leży na osi obrotu (A = A₀), natomiast punkt B zatacza w płaszczyźnie obrotu łuk BB₀ o środku w punkcie O. W rzucie poziomym punkt B^I obraca się względem punktu O^I, stając się punktem B₀^I, zaś punkt B^II przemieszcza się po prostej równoległej do osi x (będącej rzutem płaszczyzny obrotu) do punktu B₀^II. W obydwu rzutach: A₀^I = A^I i A₀^II = A^II.

4. Wykreślamy rzut poziomy odcinka po obrocie: A₀^IB₀^I. Jest on równoległy do osi x.

5. Wyznaczamy rzut pionowy punktu B₀ (B₀^II), odrzutowując punkt B₀^I na prostą B^IIO^II.

6. Rysujemy rzut pionowy odcinka po obrocie: A₀^IIB₀^II. Jego długość jest równa długości odcinka AB.

Rys. 5.4

30

Politechnika Łódzka, Katedra Konstrukcji Precyzyjnych

29

Materiały pomocnicze do Geometrii Wykreślnej