Złota liczba Fi

(złoty podział odcinka)

Wykonał:

Adam Loska

MiBM, gr.2, sem. 6

Złoty podział, podział harmoniczny, boska proporcja, łac. sectio aurea — podział odcinka na dwie części tak, by stosunek długości dłuższej z nich do krótszej był taki sam, jak całego odcinka do części dłuższej (stosunek ten nazywa się złotą liczbą i oznacza grecką literą φ - czyt. "fi"). Innymi słowy: długość dłuższej części ma być średnią geometryczną długości krótszej części i całego odcinka.

Z rozdzielenia w powyższej równości dzielenia względem dodawania wynika

czyli:

Mnożąc obustronnie przez φ i przegrupowując wyrazy, równość powyższą sprowadza się do postaci ogólnej równania kwadratowego

Ma ono dwa rozwiązania rzeczywiste:

jedno z nich jest dodatnie:

Liczba φ bywa nazywana złotą liczbą

Kolejne przybliżenia liczby złotej można otrzymać obliczając ilorazy sąsiednich liczb Fibonacciego:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233,...

co daje kolejno:

0, 1, 1/2, 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21, 21/34, 34/55, 55/89... → 1/φ

Już ostatni z wypisanych tu ułamków daje przybliżenie złotej liczby z dokładnością do 0,001.

Przykłady liczby ϕ:

- stosunek liczby pszczół płci żeńskiej do liczby pszczół płci męskiej
w jakimkolwiek ulu na świecie,
- stosunek średnicy obrotu kolejnych, przeciwnych do siebie spirali nasion
w kwiecie słonecznika,
- również spiralnie układające się płatki szyszki sosny, układ liści na łodygach roślin, segmentacja owadów

Zaś Leonardo da Vinci na podstawie nielegalnych ekshumacji zwłok
i mierzenia kości wykazał, iż ludzkie ciało jest dosłownie zbudowane
z elementów, których proporcje wymiarów zawsze równają się ϕ:

- odległość od czubka głowy do podłogi podzielona przez odległość od pępka do podłogi,
- odległość między ramieniem a czubkiem palców podzielona przez odległość między łokciem a czubkiem palców,
- odległość biodra od podłogi podzielona przez odległość od kolana do podłogi,
- również stawy dłoni, palce u nóg, odległość między kręgami.

Liczbę ϕ, nazywaną również złotą proporcją, znali i cenili architekci, malarze i rzeźbiarze, nawet muzycy. Pojawia się w wymiarach architektury rzymskiego Panteonu, egipskich piramid, a nawet budynku ONZ w Nowym Jorku. Jest obecna w strukturach sonet mozartowskich, Piątej Symfonii Beethovena, kompozycjach Bartoka, Debussy'ego i Schuberta. Nawet Stradivarius posłużył się liczbą, aby obliczyć dokładne miejsce i położenie otworów rezonansowych w pudle swoich słynnych skrzypiec.

Liczbę ϕ zawierają również dzieła Michała Anioła, Albrechta Durera oraz wspomnianego wyżej Leonarda da Vinci, który to korzystając z niej stworzył "Człowieka witruwiańskiego", nazwanego tak na cześć Marka Witruwiusza
- genialnego rzymskiego architekta, sławiącego boską proporcję w dziele
"O architekturze".

4

---