Wydział Fizyki i Techniki Jądrowej		Barbara Toczek Bartosz Sobanek			Zespół 5
Grupa 3		Temat: Moduł Younga			ćwiczenie nr 11
data wykonania 26.10.99	data oddania 02.11.99	zwrot do popr. 23.11.99	data oddania	ocena	podpis

Cel ćwiczenia

Wyznaczenie modułu Younga metodą statyczną za pomocą pomiaru wydłużenia drutu z badanego materiału obciążonego siłą stałą.

Wprowadzenie

Pojęcie bryły sztywnej jest przybliżeniem, rzeczywiste wymiary ciała zależą od przyłożonych do nich sił. Jeżeli po ich usunięciu ciało wraca do swych pierwotnych wymiarów to mówimy o odkształceniu sprężystym. Sformułowane w XVII wieku prawo Hooke'a mówi, że w granicach sprężystości odkształcenie ciała jest proporcjonalne do przyłożonej siły.

Prawo to dotyczy ciała o dowolnym kształcie i konfiguracji sił. Jeżeli rozpatrzymy najprostszy przypadek - rozciąganie jednorodnego pręta to otrzymamy zależność jego wydłużenia Δl od długości l i siły F, a odwrotnie proporcjonalne od przekroju poprzecznego:

,

gdzie E jest stałą materiałową (modułem Younga).

Prawo Hooke'a dla rozciągania (lub ściskania) możemy zapisać także w postaci funkcji

δ=Eε,

charakteryzującej stan naprężeń i odkształceń w próbce w sposób niezależny od jej kształtu. Symbol δ oznacza naprężenie normalne zdefiniowane jako stosunek siły do przekroju pręta, ε natomiast oznacza normalne odkształcenie względne, równe stosunkowi przyrostu długości pręta do długości początkowej

Wartość modułu Younga określić można także jako naprężenie, przy którym długość rozciąganego ciała ulega podwojeniu. W rzeczywistości prawo Hooke'a przestaje obowiązywać przy znacznie mniejszych wartościach odkształcenia.

OPRACOWANIE WYNIKÓW

I. Do wyznaczenia modułu Younga E stosujemy metodę polegającą na bezpośrednim pomiarze wielkości wchodzących do wzoru definicyjnego :

Siła F rozciągająca drut powstaje przez użycie odważników o masie m , F=mg.

Funkcją bezpośrednio mierzoną jest zależność zmian długości Δl od masy odważników m.

Ostatecznie wartość modułu Younga obliczamy ze wzoru:

gdzie a jest współczynnikiem nachylenia linii prostej, którą powinna być funkcja
zgodnie z prawem Hook'a.

II. Wymiary drutów.

1°. Długość l [m].

drut stalowy[m]	drut miedziany [m]
1,06	1,065

Długość drutów została zmierzona przymiarem liniowym z dokładnością l'=1mm

2°. Średnica S [m]

Sn	drut stalowy	drut miedziany
1	0,00071	0,00101
2	0,0007	0,00102
3	0,00071	0,00101
4	0,0007	0,00101
5	0,00069	0,001
6	0,00071	0,00101
7	0,0007	0,00101
8	0,00071	0,00101
9	0,0007	0,00102
10	0,0007	0,00101
	0,00070(7)	0,00101(6)

Średnica drutów została zmierzona za pomocą śruby mikrometrycznej. W celu zwiększenia dokładności pomiar wykonano 10 razy wzdłuż całej długości drutów i obliczono średnią.

Ponieważ wartością bezpośrednio podstawianą do wzoru jest pole przekroju poprzecznego P, więc dokonujemy odpowiednich przeliczeń i wartości zestawiamy w tabeli:

P [m]	DRUT STALOWY [m^2]	DRUT MIEDZIANY[m^2]
1	3,96E-07	8,01E-07
2	3,85E-07	8,17E-07
3	3,96E-07	8,01E-07
4	3,85E-07	8,01E-07
5	3,74E-07	7,85E-07
6	3,96E-07	8,01E-07
7	3,85E-07	8,01E-07
8	3,96E-07	8,01E-07
9	3,85E-07	8,17E-07
10	3,85E-07	8,01E-07
	3,8(7)E-07	8,0(9)E-07

3°. Wydłużenie drutów
.

Do pomiaru wydłużenia drutów wykorzystano czujnik mikrometryczny (dokładność 0,01mm), sprzężony z badanym prętem przy użyciu dźwigni. Dźwignia podpiera się na wsporniku związanym sztywno z szalką w połowie odległości między osią obrotu a punktem jej styku z czujnikiem. Wydłużenie drutu jest zatem dwukrotnie mniejsze od wartości wskazywanej przez czujnik.

m[kg]		Wydłużenie [mm]
		drut stalowy				drut miedziany
		wart. wskaz. przez czujnik		faktyczne wydłużenie		wart. wskaz. przez czujnik		faktyczne wydłużenie
0	10	0	2,8	0	1,4	0	3,63	0	1,815
1	9	0,35	2,7	0,175	1,35	0,64	3,5	0,32	1,75
2	8	0,68	2,45	0,34	1,225	1,09	3,28	0,545	1,64
3	7	0,93	2,12	0,465	1,06	1,48	3,09	0,74	1,545
4	6	1,2	1,79	0,6	0,895	1,78	2,86	0,89	1,43
5	5	1,52	1,53	0,76	0,765	1,94	2,6	0,97	1,3
6	4	1,69	1,25	0,845	0,625	2,53	2,3	1,265	1,15
7	3	1,93	0,93	0,965	0,465	2,82	1,96	1,41	0,98
8	2	2,32	0,7	1,16	0,35	3,04	1,6	1,52	0,8
9	1	2,58	0,35	1,29	0,175	3,28	1,28	1,64	0,64
10	0	2,8	0,01	1,4	0,005	3,63	0,7	1,815	0,35

Obliczone wartości doświadczalne możemy teraz nanieść na wykres.

*Początkowa część wykresu może nie być prostoliniowa, a początkowe wartości
mogą dużo odbiegać od pozostałych. Powód to prostowanie się drutu. Odpowiednich wartości nie będziemy brać pod uwagę.

III. Parametr a.

W tym momencie spotykamy się z problemem dopasowania prostej do zbioru n punktów doświadczalnych.

W naszym przypadku współrzędnym x-owym odpowiadają wartości przyłożonej masy, a współrzędnym y-owym wydłużenie
.

Wobec tego równanie poszukiwanej prostej:
.

Celem dopasowania jest nie tylko uzyskanie efektu wizualnego, ale przede wszystkim uzyskanie wartości parametrów:

1. współczynnika nachylenia prostej, potrzebnego do bezpośredniego wyznaczenia modułu Younga,

2. punktu przecięcia się prostej z osią
   ,

oraz ich błędów
i
.

1°. Drut stalowy- metoda najmniejszych kwadratów.

Kryterium jakości dopasowania- taki dobór parametrów prostej, by suma kwadratów różnic wartości eksperymentalnych
i obliczonych
była jak najmniejsza,

Zakładamy, że wszystkie punkty pomiarowe obarczone są jednakowym błędem przypadkowym o rozkładzie Gaussa.

W celu znalezienia a i b korzystamy z warunku na minimum funkcji dwu zmiennych:

Obliczenie ww. pochodnych cząstkowych prowadzi do układu równań liniowych dla niewiadomych a, b:

Formuła rozwiązania tego układu równań:

„Środek ciężkości”
,
pkt. eksperymentalnych

Parametry prostej:

Następnie obliczamy Δm, która jest oszacowaniem odchylenia standardowego punktów do dopasowanej prostej.

Wartość tę wykorzystujemy do obliczenia błędów standardowych parametrów prostej, które wyrażają się wzorami:

i

Po przeprowadzonych obliczeniach otrzymujemy proste o równaniach:

a) dla drutu stalowego:

y = 0,0001x - 0,0005

Współczynniki a, b [mm/kg]

Δa=0,00001 [mm/kg]

Δb=0,00008 [mm/kg]

b) dla drutu miedzianego:

y = 0,0001x - 0,00004

Współczynniki a, b [mm/kg]

Δa=0,00001 [mm/kg]

Δb=0,000009 [mm/kg]

Jednostki wpisaliśmy poniżej ze względu na czytelność równania.

IV. Obliczanie modułu Younga.

1°. Drut stalowy.

* 10¹¹ Pa

Obliczamy błąd
korzystając z prawa przenoszenia błędów:

0,01*10¹¹ [Pa]

*Ze względu na kolizję oznaczeń, Błąd długości
oznaczamy jako
.

2°. Drut miedziany.

*10¹¹ Pa

0,01*10¹¹ [Pa]

V. Porównanie wartości doświadczalnych z wartościami tablicowymi:

	wartości doświadczalne	wartości tablicowe
Stal	212±1	210-220
Miedź	153±1	110-130

Wnioski:

Jak widać z przedstawionych wyników wartości modułu Younga mieszczą się w przedziałach stablicowanych, lecz tylko dla stali.

Różnice w wartościach modułu Younga dla miedzi wynikają prawdopodobnie, z tego, że wkroczyliśmy z obciążeniem w obszar plastyczności materiału. Szczególnie jest to widoczne dla czterech ostatnich wartości obciążenia.

Dlatego sądzimy, że udało nam się potwierdzić prawo Hooke'a - w granicach plastyczności wydłużenie jest wprost proporcjonalne do działającej siły, co widać na wykresie.

UZUPEŁNIENIE

Jak stwierdziliśmy we wnioskach różnice w wartościach modułu Younga dla miedzi są prawdopodobnie spowodowane tym, że wkroczyliśmy z obciążeniem w obszar plastyczności materiału.

Teraz spróbujemy sprawdzić, czy nasze wnioski są słuszne.

• Odrzucamy pierwszy wynik pomiaru wydłużenia, gdyż różni się on znacznie od pozostałych.

Powodem mogło być prostowanie się drutu, który mógł być skręcony lub zgięty.

• Odrzucamy cztery ostatnie wyniki, gdyż właśnie tutaj podejrzewamy wkroczenie w obszar plastyczności materiału

• Ponadto rysujemy wykresy dla obciążenia oraz dla odciążenia

Po ponownym obliczeniu modułu Younga otrzymujemy wartości odpowiednio:

• dla obciążenia E = 109 ± 1 [GPa]

• dla odciążenia E = 111 ± 1 [GPa]

Wyznaczone wartości modułu Younga mieszczą się w granicach błędów, co potwierdza nasze przypuszczenia dotyczące różnic wartości modułu przed odrzuceniem pierwotnych wyników. Sugeruje to również, że w przypadku pierwszego oraz 4 ostatnich pomiarów mamy do czynienia ze zjawiskami innej natury niż te opisane prawem Hooke'a.

Liniowa zależność opisana prawem Hooke'a jest widoczna na wykresach, na których poprowadziliśmy prostą metodą regresji liniowej.

Sprawozdanie z ćwiczenia laboratoryjnego z fizyki.

Wykonali: Barbara Toczek, Bartosz Sobanek.

6

---