3537


Wydział Fizyki i Techniki

Jądrowej

Barbara Toczek

Bartosz Sobanek

Zespół

5

Grupa 3

Temat: Moduł Younga

ćwiczenie nr

11

data wykonania

26.10.99

data oddania

02.11.99

zwrot do popr.

23.11.99

data oddania

ocena

podpis

Cel ćwiczenia

Wyznaczenie modułu Younga metodą statyczną za pomocą pomiaru wydłużenia drutu z badanego materiału obciążonego siłą stałą.

Wprowadzenie

Pojęcie bryły sztywnej jest przybliżeniem, rzeczywiste wymiary ciała zależą od przyłożonych do nich sił. Jeżeli po ich usunięciu ciało wraca do swych pierwotnych wymiarów to mówimy o odkształceniu sprężystym. Sformułowane w XVII wieku prawo Hooke'a mówi, że w granicach sprężystości odkształcenie ciała jest proporcjonalne do przyłożonej siły.

Prawo to dotyczy ciała o dowolnym kształcie i konfiguracji sił. Jeżeli rozpatrzymy najprostszy przypadek - rozciąganie jednorodnego pręta to otrzymamy zależność jego wydłużenia Δl od długości l i siły F, a odwrotnie proporcjonalne od przekroju poprzecznego:

0x01 graphic
,

gdzie E jest stałą materiałową (modułem Younga).

Prawo Hooke'a dla rozciągania (lub ściskania) możemy zapisać także w postaci funkcji

δ=Eε,

charakteryzującej stan naprężeń i odkształceń w próbce w sposób niezależny od jej kształtu. Symbol δ oznacza naprężenie normalne zdefiniowane jako stosunek siły do przekroju pręta, ε natomiast oznacza normalne odkształcenie względne, równe stosunkowi przyrostu długości pręta do długości początkowej

Wartość modułu Younga określić można także jako naprężenie, przy którym długość rozciąganego ciała ulega podwojeniu. W rzeczywistości prawo Hooke'a przestaje obowiązywać przy znacznie mniejszych wartościach odkształcenia.

OPRACOWANIE WYNIKÓW

0x08 graphic
I. Do wyznaczenia modułu Younga E stosujemy metodę polegającą na bezpośrednim pomiarze wielkości wchodzących do wzoru definicyjnego :

Siła F rozciągająca drut powstaje przez użycie odważników o masie m , F=mg.

Funkcją bezpośrednio mierzoną jest zależność zmian długości Δl od masy odważników m.

Ostatecznie wartość modułu Younga obliczamy ze wzoru:

0x01 graphic

gdzie a jest współczynnikiem nachylenia linii prostej, którą powinna być funkcja 0x01 graphic
zgodnie z prawem Hook'a.

II. Wymiary drutów.

1°. Długość l [m].

drut stalowy[m]

drut miedziany

[m]

1,06

1,065

Długość drutów została zmierzona przymiarem liniowym z dokładnością l'=1mm

2°. Średnica S [m]

Sn

drut stalowy

drut miedziany

1

0,00071

0,00101

2

0,0007

0,00102

3

0,00071

0,00101

4

0,0007

0,00101

5

0,00069

0,001

6

0,00071

0,00101

7

0,0007

0,00101

8

0,00071

0,00101

9

0,0007

0,00102

10

0,0007

0,00101

0x01 graphic

0,00070(7)

0,00101(6)

Średnica drutów została zmierzona za pomocą śruby mikrometrycznej. W celu zwiększenia dokładności pomiar wykonano 10 razy wzdłuż całej długości drutów i obliczono średnią.

Ponieważ wartością bezpośrednio podstawianą do wzoru jest pole przekroju poprzecznego P, więc dokonujemy odpowiednich przeliczeń i wartości zestawiamy w tabeli:

P [m]

DRUT STALOWY [m2]

DRUT MIEDZIANY[m2]

1

3,96E-07

8,01E-07

2

3,85E-07

8,17E-07

3

3,96E-07

8,01E-07

4

3,85E-07

8,01E-07

5

3,74E-07

7,85E-07

6

3,96E-07

8,01E-07

7

3,85E-07

8,01E-07

8

3,96E-07

8,01E-07

9

3,85E-07

8,17E-07

10

3,85E-07

8,01E-07

0x01 graphic

3,8(7)E-07

8,0(9)E-07

3°. Wydłużenie drutów 0x01 graphic
.

Do pomiaru wydłużenia drutów wykorzystano czujnik mikrometryczny (dokładność 0,01mm), sprzężony z badanym prętem przy użyciu dźwigni. Dźwignia podpiera się na wsporniku związanym sztywno z szalką w połowie odległości między osią obrotu a punktem jej styku z czujnikiem. Wydłużenie drutu jest zatem dwukrotnie mniejsze od wartości wskazywanej przez czujnik.

m[kg]

Wydłużenie 0x01 graphic
[mm]

drut stalowy

drut miedziany

wart. wskaz. przez czujnik

faktyczne wydłużenie

wart. wskaz. przez czujnik

faktyczne wydłużenie

0

10

0

2,8

0

1,4

0

3,63

0

1,815

1

9

0,35

2,7

0,175

1,35

0,64

3,5

0,32

1,75

2

8

0,68

2,45

0,34

1,225

1,09

3,28

0,545

1,64

3

7

0,93

2,12

0,465

1,06

1,48

3,09

0,74

1,545

4

6

1,2

1,79

0,6

0,895

1,78

2,86

0,89

1,43

5

5

1,52

1,53

0,76

0,765

1,94

2,6

0,97

1,3

6

4

1,69

1,25

0,845

0,625

2,53

2,3

1,265

1,15

7

3

1,93

0,93

0,965

0,465

2,82

1,96

1,41

0,98

8

2

2,32

0,7

1,16

0,35

3,04

1,6

1,52

0,8

9

1

2,58

0,35

1,29

0,175

3,28

1,28

1,64

0,64

10

0

2,8

0,01

1,4

0,005

3,63

0,7

1,815

0,35

Obliczone wartości doświadczalne możemy teraz nanieść na wykres.

*Początkowa część wykresu może nie być prostoliniowa, a początkowe wartości 0x01 graphic
mogą dużo odbiegać od pozostałych. Powód to prostowanie się drutu. Odpowiednich wartości nie będziemy brać pod uwagę.

III. Parametr a.

W tym momencie spotykamy się z problemem dopasowania prostej do zbioru n punktów doświadczalnych.

W naszym przypadku współrzędnym x-owym odpowiadają wartości przyłożonej masy, a współrzędnym y-owym wydłużenie 0x01 graphic
.

Wobec tego równanie poszukiwanej prostej: 0x01 graphic
.

Celem dopasowania jest nie tylko uzyskanie efektu wizualnego, ale przede wszystkim uzyskanie wartości parametrów:

  1. współczynnika nachylenia prostej, potrzebnego do bezpośredniego wyznaczenia modułu Younga,

  2. punktu przecięcia się prostej z osią 0x01 graphic
    ,

oraz ich błędów 0x01 graphic
i 0x01 graphic
.

1°. Drut stalowy- metoda najmniejszych kwadratów.

Kryterium jakości dopasowania- taki dobór parametrów prostej, by suma kwadratów różnic wartości eksperymentalnych 0x01 graphic
i obliczonych 0x01 graphic
była jak najmniejsza,

0x01 graphic

Zakładamy, że wszystkie punkty pomiarowe obarczone są jednakowym błędem przypadkowym o rozkładzie Gaussa.

W celu znalezienia a i b korzystamy z warunku na minimum funkcji dwu zmiennych:

0x01 graphic
0x01 graphic

Obliczenie ww. pochodnych cząstkowych prowadzi do układu równań liniowych dla niewiadomych a, b:

0x01 graphic

0x01 graphic

Formuła rozwiązania tego układu równań:

„Środek ciężkości” 0x01 graphic
, 0x01 graphic
pkt. eksperymentalnych

0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic

Parametry prostej:

0x01 graphic
0x01 graphic

Następnie obliczamy Δm, która jest oszacowaniem odchylenia standardowego punktów do dopasowanej prostej.

0x01 graphic

Wartość tę wykorzystujemy do obliczenia błędów standardowych parametrów prostej, które wyrażają się wzorami:

0x01 graphic
i 0x01 graphic

Po przeprowadzonych obliczeniach otrzymujemy proste o równaniach:

a) dla drutu stalowego:

y = 0,0001x - 0,0005

Współczynniki a, b [mm/kg]

Δa=0,00001 [mm/kg]

Δb=0,00008 [mm/kg]

b) dla drutu miedzianego:

y = 0,0001x - 0,00004

Współczynniki a, b [mm/kg]

Δa=0,00001 [mm/kg]

Δb=0,000009 [mm/kg]

Jednostki wpisaliśmy poniżej ze względu na czytelność równania.

IV. Obliczanie modułu Younga.

1°. Drut stalowy.

0x01 graphic
* 1011 Pa

Obliczamy błąd 0x01 graphic
korzystając z prawa przenoszenia błędów:

0x01 graphic
0,01*1011 [Pa]

*Ze względu na kolizję oznaczeń, Błąd długości 0x01 graphic
oznaczamy jako 0x01 graphic
.

2°. Drut miedziany.

0x01 graphic
*1011 Pa

0x01 graphic
0,01*1011 [Pa]

V. Porównanie wartości doświadczalnych z wartościami tablicowymi:

0x01 graphic

wartości

doświadczalne

wartości

tablicowe

Stal

212±1

210-220

Miedź

153±1

110-130

Wnioski:

Jak widać z przedstawionych wyników wartości modułu Younga mieszczą się w przedziałach stablicowanych, lecz tylko dla stali.

Różnice w wartościach modułu Younga dla miedzi wynikają prawdopodobnie, z tego, że wkroczyliśmy z obciążeniem w obszar plastyczności materiału. Szczególnie jest to widoczne dla czterech ostatnich wartości obciążenia.

Dlatego sądzimy, że udało nam się potwierdzić prawo Hooke'a - w granicach plastyczności wydłużenie jest wprost proporcjonalne do działającej siły, co widać na wykresie.

UZUPEŁNIENIE

Jak stwierdziliśmy we wnioskach różnice w wartościach modułu Younga dla miedzi są prawdopodobnie spowodowane tym, że wkroczyliśmy z obciążeniem w obszar plastyczności materiału.

Teraz spróbujemy sprawdzić, czy nasze wnioski są słuszne.

Powodem mogło być prostowanie się drutu, który mógł być skręcony lub zgięty.

Po ponownym obliczeniu modułu Younga otrzymujemy wartości odpowiednio:

Wyznaczone wartości modułu Younga mieszczą się w granicach błędów, co potwierdza nasze przypuszczenia dotyczące różnic wartości modułu przed odrzuceniem pierwotnych wyników. Sugeruje to również, że w przypadku pierwszego oraz 4 ostatnich pomiarów mamy do czynienia ze zjawiskami innej natury niż te opisane prawem Hooke'a.

Liniowa zależność opisana prawem Hooke'a jest widoczna na wykresach, na których poprowadziliśmy prostą metodą regresji liniowej.

Sprawozdanie z ćwiczenia laboratoryjnego z fizyki.

Wykonali: Barbara Toczek, Bartosz Sobanek.

6

0x01 graphic



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
3537
3537
200404 3537
3537
3537
3537
3537
kDC W4037,3537,W3037,W311,W237

więcej podobnych podstron