12.01.2010 / 19.01.2010

Punkt
, w którym zeruje się pochodna
nazywamy punktem stacjonarnym funkcji
.

Jeżeli
to
nie zawsze istnieje ekstremum.

Twierdzenie 2 warunek dostateczny istnienia ekstremum lokalnego

Jeżeli funkcja
posiada w otoczeniu
skończoną pochodna
przy czym
, oraz istnieje pochodna
to:

1. w
   funkcja
   osiąga maksimum właściwe gdy
   

2. w
   funkcja
   osiąga minimum właściwe gdy
   

Dowód

Piszemy wzór Taylora z resztą w postaci Peana dla n=2

dla dostatecznie małych
gdzie
przy

ponieważ
więc

znak prawej strony powyższej równości jest przy małym
jest taki sam jak znak pochodnej
zatem, jeżeli
, to
czyli w
istnieje minimum właściwe. Analogicznie jeżeli
to w
istnieje maksimum właściwe.

Twierdzenie 3 warunek dostateczny istnienia ekstremum lokalnego

Jeżeli funkcja
posiada w otoczeniu
skończoną pochodną do
rzędu włącznie, przy czym

oraz istnieje skończona pochodna
to

1. nie występuje ekstremum lokalne funkcji
   , gdy
   jest liczbą nieparzystą

2. występuje maksimum lokalne właściwe, gdy
   jest liczba parzystą,

oraz gdy

3. występuje minimum lokalne właściwe, gdy
   jest liczbą parzystą

oraz gdy

Wypukłość oraz wklęsłość funkcji badamy przy pomocy następujących twierdzeń.

Twierdzenie 4

Niech funkcja
będzie określona na
oraz posiada skończoną pochodną
na
.

Na to by funkcja
była wypukła
lub wklęsła
na
potrzeba i wystarcza, by

Definicja

Mówimy, że punkt
jest punktem przegięcia krzywej
, która jest wykresem funkcji ciągłej
, jeżeli w punkcie
zmienia się charakter wypukłości funkcji
. Tzn. w
funkcja
z wypukłej staje się wklęsła i na odwrót.

Uwaga

Jeżeli w otoczeniu punktu
dla funkcji
, która posiada skończoną pochodną
, w tym otoczeniu
, zmienia się znak
to w
istnieje punkt przegięcia wykresu funkcji
.

Uwaga

Niech funkcja
będzie określona na niepustym podzbiorze

Obok punktów zbioru
, w którym funkcja
posiada maksimum lokalne lub minimum lokalne, mogą w dziedzinie
, istnieć punkty, w których funkcja
przyjmuje wartość najmniejszą lub wartość największą.

Asymptoty

Niech będzie dana krzywa
, określona i ciągła na
o wartościach rzeczywistych.

Jeżeli odległość punktu krzywej od pewnej prostej dąży do zera, oraz jest różna od zera przy oddalaniu się punktu do
lub
tzn. przy
lub przy
to prosta ta nazywa się asymptotą krzywej
.

Rodzaje asymptot

1. na to by przy
   prosta
   była asymptotą krzywej ciągłej
   , potrzeba i wystarcza, by granica

oraz

co jest równoznaczne warunkowi

oraz

Wtedy prosta
nazywamy asymptotą poziomą krzywej

2. niech funkcja rzeczywista
   będzie określona w pewnym otoczeniu
   
   ,
   z wyjątkiem
   

lub w przedziale

lub w przedziale

Mówimy, że krzywa
ma asymptotę pionową
gdy:

lub

lewostronną asymptotę pionową

lub

prawostronną asymptotę pionową

lub

Krzywa
ma asymptotę pionową x=0 . Jest to asymptota prawostronna.

3. niech funkcja rzeczywista
   będzie określona dla
   
   
   

Mówimy, że prosta
jest asymptotą ukośną krzywej
przy

gdy:

oraz

Twierdzenie 1

Niech funkcja rzeczywista
będzie określona dla

.

Prosta
jest asymptotą ukośną krzywej
przy
wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje skończona granica

oraz

Uwaga

Twierdzenie to zachodzi również gdy,

Zastosowanie pochodnej do badania wyrażeń nieoznaczonych typu
,

Twierdzenie 1 de L'Hospitala / Bernoulliego

Jeżeli :

1. funkcje
   ,
   są określone na przedziale
   

2. 
   
   

3. istnieje skończona pochodna
   ,
   przy czym
   

to

Dowód

Z istnienia skończonych pochodnych
,
wynika, że funkcje
,
są ciągłe w
tzn.

Ponieważ
więc ze wzoru Taylora wynika, że istnieje takie otoczenie

, że
dla
zatem dla
mamy

Twierdzenie 2

Jeżeli :

1. funkcje
   ,
   są określone na przedziale
   

2. 
   
   

3. na przedziale
   istnieje skończona pochodna
   ,
   

przy czym pochodne te
dla

4. istnieje skończone pochodne
   ,
   przy czym
   

to

Twierdzenie 3

Jeżeli:

1. funkcje
   ,
   są określone na przedziale
   
   

2. wyliczamy granicę
   

3. na przedziale
   istnieje skończona pochodna
   ,
   
   

przy czym

4. na przedziale
   
   istnieje skończona pochodna
   ,
   przy czym
   oraz istniej skończona lub nieskończona granica
   
   

to

Uwaga

Twierdzenie to zachodzi również gdy

Twierdzenie 4

Jeżeli:

1. funkcje
   ,
   są określone na przedziale
   ,
   

2. 
   

3. na przedziale
   ,
   istnieje skończona pochodna
   ,
   przy czym
   oraz istniej skończona lub nieskończona granica
   
   

to

Twierdzenie 5

Jeżeli:

1. funkcje
   ,
   są określone na przedziale
   ,
   

2. 
   

3. na przedziale
   ,
   istnieje skończona pochodna
   ,
   przy czym
   oraz istniej skończona lub nieskończona granica
   
   

to

Uwaga

Jeżeli funkcja
,
dążą do
przy
to zamiast badać wyrażenie typu
można badać wyrażenie typu
gdyż

Wyrażenia nieoznaczone typu

Nieoznaczoność typu
można sprowadzić do postaci
lub

Jeżeli
,
to piszemy

Jeżeli
,
to badając granicę
można napisać

Jeżeli
jest przy
wyrażeniem nieoznaczonym typu

to równanie
logarytmujemy obustronnie

THE END

5