4EKRAN_151

Lekcja 7

 Obwody nieliniowe prądu stałego

W lekcji czwartej przedstawiono problematykę związaną z obwodami nieliniowymi. Na początku omówiono zależność rezystancji przewodników od temperatury. Zaprezentowano sposób tworzenia charakterystyk wypadkowych dla elementów połączonych szeregowo i równolegle. Szereg przykładów przedstawia zasady analizy obwodów nieliniowych prądu stałego.

4EKRAN_152

Zależność rezystancji od temperatury

Rezystancja ciał jednorodnych jest przy danych rozmiarach geometrycznych proporcjonalna do ich rezystywności, która zależy od temperatury, wilgotności, naświetlenia, pola magnetycznego i elektrycznego.

Rozwijając funkcję temperatury w szereg Taylora i biorąc dwa pierwsze wyrazy mamy:

(1)

Przyjmijmy następujące podstawienie:

Wówczas otrzymamy:

Komentarz-EKRAN_152

Współczynnik
nazywamy współczynnikiem temperaturowym w temperaturze t_o

Współczynnik ten najczęściej określa się dla temperatury
.

4EKRAN_153

Jeżeli przyjmiemy temperaturę odniesienia t₀=20⁰ C to rezystancję w funkcji temperatury określa się wzorem:

(2)

Dla miedzi współczynnik temperaturowy w temperaturze 20 ⁰C ma wartość:

Dzieląc powyższe równanie (2) przez l/s otrzymamy zależność rezystywności od temperatury (uważa się za pomijalny fakt zmiany geometrycznej metalu)

(3)

Komentarz-EKRAN_153

W rzeczywistości metal ze wzrostem temperatury zwiększa swoją objętość, ale stosunek długości do powierzchni l/S w dwóch różnych temperaturach nie musi być zachowany. Pomimo tego uznaje się, że wzór (2) jest proporcjonalny do (3) a wynikające stąd przybliżenie jest mniejsze od faktu ograniczenia się w rozwinięciu szeregu Taylora do dwóch wyrazów.

4EKRAN_154

Dla większej dokładności niekiedy uwzględnia się trzeci wyraz rozwinięcia szeregu Taylora. Wówczas funkcja rezystancji przyjmuje postać.

Powyższe wzory można wykorzystywać z wystarczającą dokładnością dla obliczenia rezystancji metali w zakresie temperatur

Komentarz-EKRAN_154

W przypadku niektórych metali np. takich jak wolfram dla uzyskania satysfakcjonującej dokładności należy użyć wzoru na R(t) uwzględniającego współczynnik
. Zakres temperaturowy może być także większy.

4EKRAN_155

Przykład

Rezystancja zimnej cewki miedzianej o temperaturze 10⁰C wynosi 10 . Po wyłączeniu zasilania zmierzono rezystancję ponownie i wyniosła 12 Obliczyć temperaturę końcową cewki przyjmując, że ₂₀=0.004 1/K

Wykorzystując wzór określający rezystancję przewodu w funkcji temperatury możemy sformułować dwa wzory:

Dzieląc powyższe równania stronami eliminujemy nieznaną rezystancję R₂₀ i otrzymujemy równanie z jedną niewiadomą t_x.

Odpowiedź: Szukana temperatura wyniosła 58⁰C.

4EKRAN_156

 Elementy nieliniowe w obwodach prądu stałego.

Charakterystyka prądowo-napięciowa

Komentarz-EKRAN_156

Charakterystyki elementów nieliniowych mogą być przedstawione jako prądowo-napięciowe lub napięciowo-prądowe. Klasycznym przykładem elementu nieliniowego o niesymetrycznej charakterystyce jest dioda.

4EKRAN_157

Charakterystyka napięciowo-prądowa

Komentarz-EKRAN_157

Jeżeli charakterystyka elementu nieliniowego jest symetryczna względem początku układu to znaczy, że polaryzacja napięcia nie ma wpływu na rezystancję statyczną tego elementu.

4EKRAN_158

Definicja rezystancji statycznej i dynamicznej

Komentarz-EKRAN_158

Rezystancja statyczna w danym punkcie pracy jest stosunkiem napięcia do prądu w tym punkcie. W geometrycznej interpretacji jest to tangens kąta nachylenia siecznej przechodzącej przez ten punkt i początek układu. Rezystancję dynamiczną definiujemy jako pochodną funkcji nieliniowej w tym punkcie, czyli jest to tangens kąta nachylenia stycznej do charakterystyki w rozpatrywanym punkcie pracy.

4EKRAN_159

Równoległe połączenie elementów nieliniowych.

Komentarz-EKRAN_159

Dwójnik zastępczy dwóch równolegle połączonych elementów charakteryzuje się tym, że przy danym napięciu, prąd przez niego płynący jest sumą prądów płynących w tych elementach. Tą własność wykorzystuje się przy tworzeniu charakterystyki zastępczej.

4EKRAN_160

Szeregowe połączenie elementów nieliniowych.

Komentarz-EKRAN_160

Analogicznie jak dla połączenia równoległego w celu wyznaczenia charakterystyki zastępczej dwóch szeregowo połączonych elementów należy narysować proste poziome ( w przypadku charakterystyki prądowo-napięciowej) i wzdłuż nich zaznaczać punkty wypadkowej charakterystyki dodając odpowiednie napięcia.

3EKRAN_161

Podstawowa metoda graficzna wyznaczania punktu pracy.

Komentarz-EKRAN_161

Równanie z II Prawa Kirchhoffa można zamienić na dwa z których pierwsze to równanie charakterystyki źródła napięciowego, a drugie charakterystyki elementu nieliniowego. Stąd punkt przecięcia tych charakterystyk wyznacza nam punkt pracy.

4EKRAN_162

Metody analityczne.

II prawo Kirchhoffa

- analityczna charakterystyka elementu nieliniowego

Komentarz-EKRAN_162

W przypadku gdy znamy analityczną postać charakterystyk elementów nieliniowych, możemy dla danego obwodu sformułować układ równań np. na podstawie praw Kirchhoffa. Układ ten będzie układem nieliniowym stąd może nie istnieć jego analityczne rozwiązanie.

4EKRAN_163

Czy obwód nieliniowy można rozwiązać metodą superpozycji?.

Komentarz-EKRAN_163

Porównując rozwiązanie obwodu z wszystkimi źródłami z rozwiązaniem otrzymanym metodą superpozycji widać niezgodność wyników.

WNIOSEK: Zasady superpozycji nie można stosować w obwodach nieliniowych!

4EKRAN_164

Przykład 4.1

Zastąpić element nieliniowy dwójnikiem liniowym przy założeniu że punkt pracy będzie na przecięciu z odcinkiem AB. Następnie dobrać Rw jeżeli punkt pracy będzie środkiem odcinka AB, a E=18 V.

Komentarz-EKRAN_164

Na odcinku AB charakterystyka rezystora nieliniowego jest liniowa, a napięcie oraz prąd na tym rezystorze spełniają równanie prostej przechodzącej przez punkty A i B:

Podstawiamy do równania wartości odpowiadające punktom A i B na wykresie i rozwiązujemy układ równań:

Zatem prąd i napięcie na rezystorze nieliniowym (gdy punkt pracy leży na odcinku AB) spełniają równanie:

(4.1)

gdzie:E`=2V, oraz R`=1
.

4EKRAN_165

W takiej sytuacji element nieliniowy można zastąpić następującym dwójnikiem liniowym (rys.4.3)

Wówczas możemy rozważać nasz obwód jako liniowy:

Komentarz-EKRAN_165

Gdyby Rw było dane, to znalezienie punktu pracy sprowadzałoby się do rozwiązania obwodu z rys.4.4 przy założeniu, że znaleziony punkt znajdowałby się na półprostej AB. W przeciwnym razie należałoby element nieliniowy zastąpić rezystorem odpowiadającym charakterystyce do punktu A.

4EKRAN_166

W rozpatrywanym przypadku punkt pracy jest pośrednio podany (połowa odcinka AB). Stąd prąd płynący przez element nieliniowy można określić z wykresu I=9A. Formułując równanie Kirchhoffa dla obwodu z rys.4.4 otrzymamy:

E-E`-IR`-IRw = 0 stąd Rw=

Odp. Parametry dwójnika liniowego zastępującego rezystor nieliniowy to E'= 2 V, R=1 , a rezystancja Rw gdy punkt pracy znajduje się na środku odcinka AB wynosi Rw=
.

4EKRAN_167

Przykład.4.2

Na rys.4.5 przedstawiono schemat zastępczy obwodu z jednym połączonym równolegle elementem nieliniowym. Wyznaczyć napięcie oraz prąd płynący przez ten element. Charakterystyka elementu nieliniowego R_N przechodzi przez punkty opisane w tab. 1 i jest przedstawiona na rys.4.6:

Rys. 4.5

Dane do obwodu z rys.4.6:

R₁ = 5 [ Ω ], R₂ = 5 [ Ω ], E₁ = 10 [ V ], I₂ = 2 [ A ].

4EKRAN_168

Komentarz-EKRAN_168

Rozwiązanie:

a ) Aby rozwiązać powyższe zadanie można zwinąć obwód do tzw. dwójnika aktywnego. W tym celu źródło napięciowe zamienimy na źródło prądowe ( Rys. 4.7 ).

4EKRAN_169

4EKRAN_170

b ) Następnie zwijamy wszystkie połączone równolegle rezystancje i SPM, aby otrzymać jedno źródło prądowe i jedną równolegle połączoną rezystancję (rys.4.8).

Komentarz-EKRAN_170

Parametry zastępczego dwójnika prądowego wynoszą:

4EKRAN_171

c ) W końcu przekształcono rzeczywiste źródło prądowe na źródło napięciowe ( Rys. 4.9).:

Z rys.4.9 wyznaczamy zależność napięcia U_N na elemencie nieliniowym R_N od prądu I_N płynącego przez ten element:

=>

Komentarz-EKRAN_171

Równanie zależności napięcia U_N od prądu I_N wraz z charakterystyką elementu nieliniowego daje układ równań:

Aby otrzymać graficznie punkt pracy powyższą prostą wykreślono na tle charakterystyki elementu nieliniowego (rys.4.10). Graficzne wyznaczenie punktu pracy (punkt A) pozwala określić, którą część łamanej należy zastąpić równaniem liniowym, w celu analitycznego wyznaczenia rozwiązania.

4EKRAN_172

Równanie prostej przechodzącej przez punkty ( 1 ; 4 ) i ( 3 ; 6 ) ma postać:

Zatem analityczne znalezienie punktu pracy będzie rozwiązaniem układu równań:

I_N = 2 [ A ]

U_N = 5 [ V ].

4EKRAN_173

Rys.4.10

Odpowiedź: Prąd i napięcie na elemencie nieliniowym wynoszą: I_N = 2 [ A ], U_N = 5 [ V ].

Komentarz-EKRAN_173

W powyższym przykładzie ze względu na aproksymację charakterystyki łamaną, można było wyznaczyć dokładne analityczne rozwiązanie. W przypadku gdy mamy charakterystykę elementu nieliniowego daną w postaci krzywej możemy w analogiczny sposób zastosować metodę przecięcia się charakterystyk. Jednak w przypadku obwodu z kilkoma elementami nieliniowymi musimy aproksymować lub interpolować charakterystyki i wówczas można rozwiązywać układ równań nieliniowych sformułowanych na podstawie praw Kirchhoffa.

Przykład rozwiązania takiego obwodu rozwiązanego w środowisku Mathcad przedstawiono na następnych ekranach.

4EKRAN_174

Rozwiązanie obwodu elektrycznego z elementami nieliniowymi w programie Mathcad przy wykorzystaniu gotowych procedur interpolacyjnych.

Wyznaczyć rozpływ prądów w układzie na rysunku 4.11, mając dane charakterystyki elementów nieliniowych I(u) oraz J(u), oraz podane parametry pozostałych elementów obwodu: E=5 [V]; I_z=0.5 [A]; R₁=1 [Ω].

Rys.4.11. Schemat obwodu z elementami nieliniowymi

Komentarz-EKRAN_174

Poniższy przykład rozwiązano określając funkcje interpolujące dwiema metodami tj. z wykorzystaniem procedur linterp oraz interp. Ze względu na zbadanie stopnia dokładności rozwiązania obwodu przy użyciu powyższych procedur, interpolowane funkcje były dane i zostały na końcu wykorzystane do rozwiązania „dokładnego”.

4EKRAN_175

Start Programu

Dane obwodu:

Zdefiniowanie indeksu tablicy

Podanie wartości kolejnych wyrazów wektorów dla funkcji: I(u)=
; J(U)=

Charakterystyki elementów nieliniowych I(u) oraz J(u) podane w postaci tabel

Komentarz-EKRAN_175

W celu uzyskania symetrycznych charakterystyk, funkcje analityczne zostały pomnożone przez wyrażenie: funkcja dzielona przez jej moduł. Wykorzystywana jest cecha programu Mathcad, w którym 0/0=0.

4EKRAN_176

Punkty charakterystyk nieliniowych danych w postaci wektorów danych:

Komentarz-EKRAN_176

W przypadku gdy chcemy wpisać dane pomiarowe po wpisaniu nazwy musimy użyć znaku definicji := i wpisać pierwszą wartość, a następnie kliknąć przecinek. Wówczas pojawi się miejsce na wpisanie następnego pomiaru.

4EKRAN_177

Procedura interpolacji liniowej funkcji

Procedura interpolacji wielomianami sześciennymi funkcji

Komentarz-EKRAN_177

Dzięki użyciu funkcji "linterp" (interpolacja liniowa) i funkcji "cspline" (interpolacja wielomianami sześciennymi) program powoduje, że nieanalityczne charakterystyki I(u) i J(U)

stają się analityczne w całej swojej dziedzinie. Dzięki temu możliwe jest rozwiązanie badanego obwodu.

Rys.1. Wykresy przedstawiające przebiegi funkcji otrzymanych w wyniku interpolacji procedurą linterp (IL(u),JL(U)), oraz interp (Is(u),Js(U))

4EKRAN_178

W celu rozwiązania układu równań nieliniowych przedstawionych poniżej, zgodnie z wymogiem procedury numerycznej, przypisujemy poszukiwanym wielkościom wartości startowe:

Start programu

Układ równań opisujących obwód z elementami nieliniowymi.

Komentarz-EKRAN_178

Zastosowanie funkcji "Find" powoduje rozwiązanie zdefiniowanego powyżej układu równań i przypisanie wartości liczbowych poszukiwanym wielkościom badanego obwodu. Następnie rozwiązanie to zostaje zdefiniowane jako wektor Ws.

4EKRAN_179

W celu sprawdzenia czy obwód został prawidłowo rozwiązany formułujemy równanie przy użyciu II prawa Kirchhoffa:

4EKRAN_180

Układ równań opisujących obwód z elementami nieliniowymi:

Tym razem dla rozwiązania z funkcjami interpolowanymi procedurą linterp przyjęto
nazwę Wl.

Komentarz-EKRAN_180

Ponownie rozwiązano układ równań z interpolacjami liniowymi.

Równania z II prawa Kirchhoffa przyjmują wartość zero, co potwierdza poprawność rozwiązania (w standardowym ustawieniu Mathcad dla wyników
wyświetla jako zero).

4EKRAN_181

Układ równań opisujących obwód z elementami nieliniowymi.

Komentarz-EKRAN_181

Sprawdzenie II prawa Kirchhoffa:

W celu porównania, układ równań opisujący dany obwód rozwiązano po raz trzeci tym razem z funkcjami analitycznymi (w praktyce nieznanymi).

4EKRAN_182

Porównanie otrzymanych wyników

Wartość Poszukiwana

interpolacja wielomianami sześciennymi

interpolacja liniowa

funkcja oryginalna

Komentarz-EKRAN_182

Wartości błędów określonych względem rozwiązania uzyskanego z użyciem analitycznych funkcji nieliniowych, potwierdza skuteczność rozwiązywania obwodów z elementami, których charakterystyki są interpolowane. W badanym przypadku błąd z użyciem interpolacji wielomianowej był mniejszy aniżeli dla interpolacji liniowej.

4EKRAN_183

Zadanie

Charakterystyka elementu nieliniowego R_N określona jest zależnością:
Jakie należy przyłożyć napięcie zasilania U_Z, aby rezystancja statyczna widziana z zacisków a-b była równa rezystancji statycznej elementu nieliniowego?

Dane:

R=10 Ω

α =1 A^-1

Komentarz-EKRAN_183

Wskazówka1:

Zakładając, że znamy rezystancje statyczną elementu nieliniowego R_N określamy rezystancję widzianą z zacisków a,b. Stąd wykorzystując metodę zwijania i rozwijania obwodu można ułożyć poniższy układ równań, z którego wyliczamy rezystancje nieliniową.

Rozwiązanie powyższego układu równań określi rezystancję statyczną R_N. (Pamiętaj o odrzuceniu ujemnego rozwiązania).

4EKRAN_184

W celu wyznaczenia punktu pracy należy rozwiązać układ równań:

Odpowiedź:Aby uzyskać rezystancje statyczną elementu nieliniowego równą rezystancji statycznej widzianej z zacisków a-b należy przyłożyć napięcie
. Rezystancja R_N w punkcie pracy wynosi :

4EKRAN_184

Podsumowanie:

Zasadnicze wnioski wynikające z lekcji 4 to:

Rezystancja a stąd rezystywność przewodników rośnie wraz ze wzrostem temperatury. Oznacza to, że elementy przewodzące pracujące w dużym przedziale temperatur należy traktować jak elementy nieliniowe.

Obwód, w którym występuje nawet jeden element nieliniowy nazywamy obwodem nieliniowym. Podstawowa metoda rozwiązania takiego obwodu polega na wycięciu elementu nieliniowego i zwinięcia pozostałej części liniowej do generatora Thevenina. Otrzymany w ten sposób obwód jednooczkowy można rozwiązać metodą przecięcia się charakterystyk.

Zasada superpozycji nie znajduje zastosowania w obwodach nieliniowych.

64

I

U

I

U

U

I

U

I

U_p

I_p

U

I

α_d

α_s

U

I₂

I

I₁

U

I

I₁

I₂

U

I

I

U₃=U₁+U₂

I

U₁

I

U₂

3

2

1

U₃

U₂

U₁

I

U

I

1

2

3

R

E

U

U_N

I

E

I_p

E_p

I

U

E₂

I

U_N=f(I)

U_N

E₂

R

E₁

I_n

I''

I'

U_N

E₁

U_N

I_N

I₁

a

b

R

R

R_N

U_N

I₂

R

U_Z

U₁

U₃

U₂

U_N

5

2

1

3

tab.1

[V]

[A]

I_N

U_N

0

0

6

3

4

1

U

E'

Rys. 4.4

R'

Rw

E

Rys. 4.3

Rys. 4.1

Rx

Rw

E

Rys. 4.2

Rys. 1

R'

E'

Rx

I_N

0

1

0

2

3

4

6

R₁

E₁

R₂

I_N

R_N

I₂

Rys.4.6

R₂

I_N

R_N

I₂

Rys.4.7

R₁

I₁

Rys. 4.8

R

I

I_N

R_N

U_N

U_R

R

E

I_N

R_N

Rys.4.9

3

1

2

5

U_N

I_N

0

1

0

2

3

4

6

A

---