3. POLE ELEKTRYCZNE

3.1. Pole elektryczne - definicje i określenia

Pole elektryczne jest wytwarzane w otoczeniu ładunków elektrycznych. Najogólniej pole elektryczne można zdefiniować następująco:

Polem elektrycznym nazywa się stan przestrzeni, w której występują siły, działające na ładunki elektryczne.

Niech dodatni ładunek elektryczny +Q jest równomiernie rozłożony na powierzchni kuli metalowej tak, jak to przedstawiono na rys.3.1a. Wokół takiej kuli powstaje pole elektryczne. Jeżeli teraz w dowolnym punkcie tego pola umieścić kulę o znikomych rozmiarach, zawierającą ładunek elementarny +q, na tyle mały aby nie zniekształcał pola ładunku +Q, to w wyniku odpychania się ładunków jednoimiennych, na ładunek ten będzie działała siła mechaniczna F. Siła ta ma określoną wartość i określony kierunek. Pod działaniem tej siły ładunek +q będzie poruszał się w polu elektrycznym wzdłuż krzywych, które, analogicznie jak w przypadku pola magnetycznego, nazwano liniami sił pola elektrycznego. Dla przypadku jak na rys.3.1a, kierunek działania siły F, pokrywa się z prostą, przechodzącą przez środki kul z ładunkami.

Rys.3.1. Pole elektryczne: a) - wokół ładunku +Q , b) - między dwoma różnoimiennymi ładunkami

Natężeniem pola elektrycznego K w danym punkcie został nazwany stosunek siły F, działającej na dodatni ładunek próbny +q, umieszczony w tym punkcie pola, do tego ładunku, tj.

(3.1)

Natężenie pola elektrycznego jest wielkością wektorową, tzn. posiada wartość, kierunek i zwrot. W przypadku pola jak na rys.3.1a wektor natężenia pola leży na liniach, będących prostymi, przechodzącymi przez środek kuli z ładunkiem +Q. Jeżeli pole elektryczne jest wytworzone przez dwie kule metalowe z ładunkami +Q i -Q, to linie sił pola zaczynają się na powierzchni kuli z ładunkiem +Q, a wektor natężenia pola jest styczny do linii sił pola w każdym jego punkcie (patrz rys.3.1b).

Jednostkę natężenia pola można określić z zależności (3.1)

(3.2)

lub, uwzględniając, że

otrzymuje się, że jednostką natężenia pola elektrycznego jest

(3.3

Związek między wielkością ładunków elektrycznych, odległością między nimi i właściwościami środowiska, w którym to pole występuje określa prawo Coulomba. Matematycznie prawo to można zapisać w postaci

(3.4)

przy czym: ε - przenikalność dielektryczna bezwzględna środowiska, w którym to pole występuje,

a - odległość między ładunkami (rys.3.2).

Rys.3.2. Oddziaływanie wzajemne dwóch jednoimiennych ładunków elektrycznych

Z zależności (3.2) i (3.4) wynika, że natężenie pola elektrycznego w odległości a od wytwarzającego pole ładunku Q, jest równe

(3.5)

Zależność tę można wykorzystać do określenia jednostki przenikalności dielektrycznej

(3.6)

W następnym podrozdziale zostanie wprowadzona jednostka pojemności o nazwie farad (symbol F), której wymiarem jest 1
. Uwzględniając to w zależności (3.6), otrzymuje się, że jednostką bezwzględnej przenikalności dielektrycznej jest jeden farad na jeden metr, tj

(3.7)

Przenikalność dielektryczną, podobnie jak przenikalność magnetyczną, przedstawia się w postaci iloczynu

(3.8)

przy czym:
- przenikalność dielektryczna bezwzględna próżni (w przybliżeniu również powietrza) równa

- przenikalność dielektryczna względna, określająca ile razy przenikalność dielektryczna ośrodka, jest większa od przenikalności dielektrycznej próżni (dla powietrza
).

3.2. Indukcja elektryczna

Jeżeli dielektryk idealny umieścić w polu elektrycznym o stałej w czasie wartości natężenia pola elektrycznego, to w takim dielektryku ruchy ładunków nie występują, tj. nie ma przepływu prądu. Pole takie nazywa się polem elektrostatycznym. Dielektryk, jak każde ciało, jest zbudowany z cząsteczek, które z kolei składają się z ładunków dodatnich (protony) i ujemnych (elektrony). W dielektryku ładunki są bardzo mocno powiązane i pod wpływem pola elektrycznego nie mogą opuszczać cząsteczek. Pole elektryczne powoduje tylko, że ładunki dodatnie zostaną przemieszczone wewnątrz cząsteczek w kierunku wektora pola, a ładunki ujemne w kierunku przeciwnym. Zjawisko to nosi nazwę polaryzacji dielektryka.

Wielkością charakteryzującą stopień polaryzacji jest indukcja elektryczna lub przesunięcie dielektryczne D. Stwierdzono, że indukcja elektryczna D, jest wprost proporcjonalna do natężenia pola elektrycznego K, a współczynnikiem proporcjonalności jest przenikalność dielektryczna ε, czyli

(3.9)

Indukcja elektryczna D, podobnie jak indukcja magnetyczna B, jest wektorem. Kierunek tego wektora jest zgodny z kierunkiem wektora natężenia pola elektrycznego K (dotyczy tylko dielektryków izotropowych………………).

Jednostką indukcji, jest

(3.10)

Zależność (3.10) można zinterpretować słownie w sposób następujący: indukcja elektryczna jest to stosunek ilości elektryczności, przypadającej na jednostkę powierzchni prostopadłej do linii sił pola elektrycznego.

W polu elektrycznym występuje jeszcze zjawisko zwane influencją elektrostatyczną. W celu jego wyjaśnienia zostanie rozpatrzony kondensator płaski, wewnątrz którego istnieje jednorodne pole elektryczne (
). Otóż jeśli w takim polu umieścić dwie stykające się ze sobą metalowe płytki (patrz rys.3.3), to na płytce znajdującej się od strony okładziny dodatniej, pojawi się ładunek ujemny -Q, a na płytce znajdującej się od strony okładziny ujemnej - ładunek dodatni +Q.

?

Rys.3.3. Wyjaśnienie zjawiska influencji elektrostatycznej

Okazało się, że ładunek zgromadzony na każdej z metalowych płytek, jest wprost proporcjonalny do indukcji elektrycznej D pola i do powierzchni S płytek, prostopadłej do linii sił pola, tj.

(3.11)

Z powyższej zależności można określić indukcję D jednorodnego pola elektrycznego

(3.12)

Zależność (3.12) można teraz zinterpretować słownie w sposób następujący: indukcja elektryczna jest określona ładunkiem, indukowanym w polu elektrycznym na jednostce powierzchni prostopadłej do linii sił pola.

Jeżeli pole elektryczne jest niejednorodne (
), to indukcję elektryczną określa się operując przyrostami elementarnymi, czyli

(3.13)

W polu elektrycznym istnieje również pojęcie strumienia elektrycznego Ψ, który został zdefiniowany jako iloczyn indukcji elektrycznej D przez powierzchnię S, prostopadłą do linii sił pola, tj.

(3.14)

Na podstawie zależności (3.11) i (3.14) otrzymuje się, że

(3.15)

czyli w jednorodnym polu elektrycznym (
) strumień elektryczny jest równy ładunkowi elektrycznemu.

1. Kondensatory - pojemność kondensatorów

Kondensatorem nazywa się układ, składający się z dwóch przewodników, oddzielonych warstwą izolacyjną (dielektrykiem). Najprostszym rodzajem kondensatora jest kondensator płaski, będący układem dwóch jednakowych metalowych płytek, rozdzielonych dielektrykiem (rys.3.4. Płytki metalowe nazywają się okładkami lub okładzinami kondensatora.

Jeżeli do okładzin kondensatora podłączyć źródło energii elektrycznej o napięciu U, to ze źródła do kondensatora popłynie krótkotrwały prąd ładowania. W wyniku przepływu tego prądu na okładzinach kondensatora zgromadzą się jednakowe ładunki elektryczne o przeciwnych znakach
i
(rys.3.4a). Po naładowaniu kondensatora prąd w obwodzie przestaje płynąć, co znaczy, że kondensator w obwodzie prądu stałego stanowi przerwę.

Rys.3.4. Kondensator płaski: a) - stan po naładowaniu za pomocą dołączonego źródła energii elektrycznej, b) - stan po odłączeniu źródła energii elektrycznej

Zgromadzone na okładzinach ładunki elektryczne, wytwarzają pole elektryczne, którego linie sił wychodzą z okładziny z ładunkiem
i dochodzą do okładziny z ładunkiem
.

Linie sił, leżące w pewnej odległości od krawędzi okładzin, są liniami prostymi, prostopadłymi do powierzchni okładzin, natomiast linie znajdujące się w pobliżu krawędzi okładzin mają kształt krzywych jak na rys.3.4. Jeżeli odległość między okładzinami jest niewielka, to z dużą dokładnością można przyjąć, że linie sił pola w takim kondensatorze są równoległe i mają jednakową gęstość. Takie pole nazywa się polem elektrycznym jednorodnym. W takim polu wektor natężenia pola K ma stałą wartość we wszystkich punktach pola i jest prostopadły do okładzin kondensatora.

Badania wykazały, że wartość ładunku Q zgromadzonego na każdej z okładzin kondensatora, jest wprost proporcjonalna do przyłożonego napięcia U, czyli

(3.16)

Współczynnik proporcjonalności C jest dla danego kondensatora wielkością stałą i nazywa się pojemnością elektryczną kondensatora. Wartość tego współczynnika, a więc pojemność kondensatora, zależy od powierzchni okładzin, ich kształtu i wzajemnego usytuowania oraz rodzaju zastosowanego dielektryka. Im większa przenikalność dielektryczna dielektryka między okładzinami, tym większa pojemność kondensatora.

Jednostkę pojemności można określić z zależności (3.16)

(3.17)

Jednostkę pojemności elektrycznej kondensatora, oznaczoną symbolem F, nazywa się faradem. Jest to pojemność takiego kondensatora, w którym doprowadzenie do okładzin ładunku jednego kulomba, powoduje wystąpienie między tymi okładzinami napięcie jednego wolta. Jest to bardzo duża pojemność. Dlatego też w praktyce są stosowane podwielokrotności tej jednostki, a mianowicie:

1 μF (mikrofarad) =
F

1 pF (pikofarad) =
F

Jeżeli naładowany kondensator odłączyć od źródła zasilania, to nagromadzone na okładzinach ładunki
i
, spowodują wystąpienie między nimi takiego samego napięcia U jak podczas ładowania (rys.3.4b).

Umieszczając w przestrzeni między okładzinami ładunek elementarny +q (punkt 1), można się przekonać, że na niego działa siła mechaniczna F, którą można określić z zależności (3.2)

(3.18)

przy czym K jest natężeniem pola elektrycznego (zakłada się, że pole jest jednorodne, tj. w każdym punkcie pola
).

Jeżeli teraz pod wpływem tej siły nastąpi przemieszczenie ładunku +q z punktu 1 do punktu 2, to praca A wykonana przez siły pola elektrycznego wyniesie

(3.19)

przy czym jeżeli: F - siła w niutonach,

K - natężenie pola elektrycznego w woltach na metr,

q - ładunek w kulombach,

l - droga w metrach,

to wynik będzie wyrażony w dżulach

Zgodnie z wzorem (1.40), praca wykonana przez prąd elektryczny w tym przypadku wyniesie

przy czym:
- napięcie między punktami 1 i 2 pola elektrycznego,

q - ładunek, który pod wpływem pola elektrycznego przesunął się od punktu 1 do punktu 2.

Zależności (1.40) i (3.19) pozwalają określić wartość napięcia, występującego między dwoma punktami jednorodnego pola elektrycznego

(3.20)

Znaczy to, że napięcie występujące między dwoma punktami linii sił takiego pola, jest równe iloczynowi natężenia pola elektrycznego K i odległości l między tymi punktami.

Po przekształceniu zależności (3.20), otrzymuje się równanie, pozwalające określić natężenie pola elektrycznego K w kondensatorze płaskim, do którego okładzin przyłożono napięcie U_12. Równanie to ma postać

(3.21)

Uogólniając to równanie na kondensatory płaskie z napięciem U, przyłożonym do ich okładzin odległych od siebie o d, otrzymuje się zależność, pozwalającą obliczyć natężenie pola elektrycznego w dowolnym kondensatorze płaskim przy dowolnym napięciu, w postaci

(3.22)

Jeżeli pole elektryczne jest niejednorodne, to natężenie pola elektrycznego w każdym punkcie pola może być inne. W takich przypadkach natężenie pola należy obliczać z zależności

(3.23)

przy czym dU jest przyrostem napięcia na elementarnym (o nieskończenie małej długości) odcinku linii sił pola elektrycznego.

Jak już wyżej wspomniano, pole występujące w kondensator płaskim, stanowi przykład urządzenia, w którym pole elektryczne można uważać za jednorodne. Z zależności (3.16) wynika, że pojemność takiego kondensatora jest równa

(3.24)

Ponieważ
(wzór 3.11),
(z wzoru 3.22) oraz
(wzór 3.9), to podstawieniu tych zależności do (3.24) otrzymuje się wzór, określający pojemność kondensatora płaskiego, w postaci

(3.25)

Uwzględniając ponadto, że
,oraz że
, otrzymuje się ostateczny wzór na pojemność kondensatora płaskiego w postaci

(3.26)

Przykładem urządzenia o niejednorodnym polu elektrycznym może być kabel jednożyłowy, którego przekrój poprzeczny przedstawiono na rys.3.5a. Kabel taki można traktować jako kondensator, którego okładzinę wewnętrzną stanowi żyła miedziana, a zewnętrzną powłoka ołowiowa lub metalowy oplot. Okładziny są od siebie oddzielone dielektrykiem, którym może być olej mineralny, papier nasycony olejem (kable starej konstrukcji) lub specjalne tworzywo sztuczne. Taki układ okładzin i dielektryka nazywa się kondensatorem walcowym.

?

Rys.3.5. Przykłady pól elektrycznych niejednorodnych: a) - w kablu walcowym, b) - w linii napowietrznej

Obliczenie pojemności takiego kondensatora jest bardziej złożone niż kondensatora płaskiego, ze względu na niejednorodność pola elektrycznego. Natężenie pola elektrycznego w każdym punkcie dielektryka takiego kondensatora będzie różne (w przeciwieństwie do pola jednorodnego w kondensatorze płaskim, w którym
). Na tym etapie zostaną jedynie podane, wzięte z literatury [], zależności na obliczanie natężenia pola elektrycznego w dowolnym punkcie pola elektrycznego kondensatora walcowego

[
] (3.27)

oraz na obliczanie pojemności kondensatora walcowego w postaci kabla jednożyłowego o długości l

(3.28)

przy czym: r₁ - zewnętrzny promień żyły miedzianej,

r₂ - wewnętrzny promień powłoki ołowiowej lub oplotu metalowego.

W praktyce pojemność kabli jest podawana w mikrofaradach na kilometr długości. Po podstawieniu do (3.28)
, otrzymuje się

(3.29)

Innym przykładem urządzenia o niejednorodnym polu elektrycznym jest linia napowietrzna (rys.3.5b). Z rysunku wynika, że największa gęstość linii sił pola, a zatem i największe natężenie pola elektrycznego K_max, występuje w najbardziej do siebie zbliżonych punktach. Natężenie to oblicza się z zależności []

[
] (3.30)

przy czym: r -promień przewodu linii,

d - odległość między środkami przewodów linii.

Pojemność między przewodami dwuprzewodowej linii napowietrznej o długości l, jest określona zależnością []

(3.31)

lub w mikrofaradach na kilometr

(3.32)

Przykład 3.1

Obliczyć napięcie
między punktami 1 i 2 kondensatora płaskiego jak na rys.3.4b, wiedząc, że napięcie między okładzinami wynosi 20 kV, grubość dielektryka
, odległość między punktami 1 i 2
, a odległość punktu 1 od okładziny dodatniej jest równa 1cm.

Rozwiązanie

Napięcie między punktami 1 i 2 pola elektrycznego można obliczyć z zależności (3.12)

Ponieważ w zależności tej, oprócz napięcia
, nieznane jest natężenie pola elektrycznego K, trzeba je najpierw obliczyć. Można to zrobić posługując się zależnością (3.14)

Po podstawieniu tej wartości do wzoru na napięcie między dwoma punktami pola elektrycznego, otrzymuje się

Przykład 3.2

Obliczyć pojemność kondensatora płaskiego, posiadającego okładziny o powierzchni
, oddalone od siebie o
i przedzielone w pierwszym przypadku dielektrykiem o przenikalności dielektrycznej
(powietrze) oraz dielektrykiem o przenikalności dielektryk
(płytka porcelanowa).

Rozwiązanie

Pojemność kondensatora płaskiego, w którym dielektrykiem jest powietrze, oblicza się z zależności (3.28), podstawiając

Podstawiając do tego samego wzoru wartość przenikalności dielektrycznej względnej
, otrzymuje się

Z wykonanych obliczeń wynika, że pojemność kondensatora płaskiego z dielektrykiem porcelanowym jest tyle razy większa od pojemności tego kondensatora z dielektrykiem powietrznym, ile razy przenikalność dielektryczna względna porcelany jest większa od przenikalności dielektrycznej powietrza (w danym przypadku 5 razy).

Przykład 3.3

Obliczyć maksymalną wartość natężenia pola elektrycznego K_max między przewodami linii napowietrznej o napięciu
, wiedząc, że odległość między przewodami linii wynosi
, a średnica przewodów
.

Rozwiązanie

Maksymalne natężenie pola elektrycznego między dwoma równoległymi przewodami linii napowietrznej można obliczyć z zależności (3.17)

Podstawiając do tego wzoru promień przewodu linii w metrach

, otrzymuje się

Przykład 3.4

Obliczyć pojemność jednego kilometra kabla jednożyłowego z dielektrykiem o przenikalności dielektrycznej względnej
jeżeli wewnętrzny promień powłoki ołowiowej
, a promień żyły
.

Rozwiązanie

Ponieważ pojemność obliczona w faradach byłaby bardzo małą liczbą, wygodniej posłużyć się zależnością, pozwalającą otrzymać wynik w mikrofaradach na kilometr, tj. wzorem (3.29). Otrzymuje się wtedy

W tym przypadku wielkości
i
można podstawić w centymetrach, ponieważ liczba logarytmowana jest bezwymiarowa i jej wartość nie zależy od jednostek, w których są wyrażone licznik i mianownik. Oczywiście dotyczy to tylko przypadku, jeśli wielkości występujące w liczniku i mianowniku, mają jednakowy wymiar.

3.4. Szeregowe i równoległe łączenie kondensatorów

Szeregowe łączenie kondensatorów polega na łączeniu ze sobą okładzin z ładunkami Q o przeciwnych znakach i wyprowadzeniu dwóch pozostałych końcówek (patrz rys.3.6).

Rys.3.6. Szeregowe połączenie kondensatorów

Jeżeli do tych końcówek przyłożyć napięcie U, to na każdym z kondensatorów wystąpi napięcie

;
;
·············
(3.33)

Suma napięć na poszczególnych kondensatorach jest równa przyłożonemu napięciu U, czyli

+
+


= Q(


(3.34)

Pojemność kondensatora zastępczego, który przy tym samym napięciu U, zgromadzi taki sam ładunek Q, wyniesie
, czyli

(3.35)

otrzymuje się zależność na pojemność zastępczego kondensatora w postaci

(3.36)

Jeżeli n kondensatorów o jednakowej pojemności C₀ jest połączonych szeregowo, to pojemność C_z zastępczego kondensatora

(3.37)

Wzór (3.36) jest analogiczny do wzoru na zastępczą rezystancję rezystorów połączonych r ó w n o l e g l e (patrz wzór 1.22).

Równoległe łączenie kondensatorów polega na łączeniu ze sobą łączeniu ze sobą w jeden punkt okładzin z ładunkami Q o takich samych znakach i wyprowadzeniu końcówek od otrzymanych w ten sposób dwóch punktów (patrz rys.3.7).

Rys.3.7. Równoległe połączenie kondensatorów

W tym przypadku na okładzinach wszystkich kondensatorów wystąpi jednakowe napięcie, równe przyłożonemu napięciu U. Zgodnie z zależnością (3.16) ładunki zgromadzone w poszczególnych kondensatorach wyniosą:

;
;
; ·····
(3.38)

przy czym C_1, C₂,C₃ - pojemności poszczególnych kondensatorów.

Całkowity ładunek Q zgromadzony we wszystkich kondensatorach wynosi

(3.39)

Pojemność zastępczego kondensatora, który przy tym samym napięciu U zgromadzi ładunek Q wyniesie

(3.40)

Jeżeli n kondensatorów o jednakowej pojemności C₀ jest połączonych równolegle, to pojemność C_z zastępczego kondensatora

(3.41)

Wzór (3.40) jest analogiczny do wzoru na zastępczą rezystancję rezystorów połączonych s z e r e g o w o (patrz wzór 1.15).

1. Energia pola elektrycznego

Po dołączeniu do kondensatora źródła energii elektrycznej o napięciu U, w obwodzie popłynie krótkotrwały prąd ładowania, w wyniku czego na okładzinach kondensatora wytworzą się ładunki elektryczne +Q i -Q. Po naładowaniu kondensatora, prąd przestaje płynąć, jednak zgromadzone na okładzinach ładunki zapewniają utrzymywanie się między okładzinami pola elektrycznego. Podczas ładowania kondensatora prąd wykonał pewną pracę, która zamieniła się na energię pola elektrycznego.

Ponieważ proces ładowania kondensatora jest procesem zmiennym w czasie, to w celu obliczenia wykonanej przez prąd ładowania pracy, należy zastosować wzór (1.39), zastępując w nim wartości ustalone prądu i napięcia wartościami chwilowymi, a pracy i czasu przyrostami nieskończonymi, tj.

(3.42)

Uwzględniając że
jest elementarnym ładunkiem zgromadzonym na okładzinach w elementarnym czasie
, oraz że zgodnie z zależnością (3.24)
, gdzie C jest pojemnością kondensatora, zależność na elementarną pracę prądu, wykonaną w procesie ładowania kondensatora, można zapisać w postaci

(3.43)

Jeżeli nie uwzględniać strat, to cała praca, wykonana przez prąd podczas procesu ładowania kondensatora, zamienia się na energię pola elektrycznego, którą oblicza się rozwiązując równanie (3.43), co wymaga to obliczenia obustronnego scałkowania tego równania. W wyniku tego otrzymuje się

(3.44)

przy czym jeżeli: C - pojemność kondensatora w faradach,

U - ustalona wartość napięcia między okładzinami kondensatora w woltach

to energia pola elektrycznego jest wyrażona w watosekundach (dżulach).

Energia zgromadzona w polu elektrycznym kondensatora jest energią potencjalną i jeżeli założyć, że dielektryk jest idealny (bez strat), w całości jest oddawana do obwodu zewnętrznego podczas procesu rozładowania.

Równaniu (3.44) można nadać następującą interpretację słowną, a mianowicie, że

Energia, zgromadzona w polu elektrycznym kondensatora, jest wprost proporcjonalna do jego pojemności oraz do kwadratu napięcia między jego okładzinami.

Końcowa postać wyrażenia na energię zgromadzoną w polu elektrycznym, przypomina analogiczne wyrażenie na energię zgromadzoną w polu magnetycznym, tj.

---