Lokata - jednorazowa wpłata kapitału, którego wartość zmieniała się z upływem czasu na skutek oprocentowania (wyznaczania odsetek przy przyjętym modelu) i kapitalizacji (dopisywania) odsetek.

WKŁADY OSZCZĘDNOŚCIOWE

Definicja1.

Wkłady oszczędnościowe są to systematyczne (wnoszone w jednakowych odstępach czasu) wpłaty pewnych kwot, podlegających dalej oprocentowaniu zgodnie z przyjętym modelem kapitalizacji.

Wkłady oszczędnościowe są szczególnym przypadkiem ciągu płatności okresowych (inaczej: strumienia płatności). Ciąg takich płatności, bez względu na kierunek przepływu pieniędzy, nazywa się w matematyce finansowej rentą. Rentą jest zatem zarówno ciąg dokonywanych wkładów oszczędnościowych, jak i ratalna spłata zaciągniętej pożyczki oraz ciąg opłat za użytkowanie telewizora, itp.

Definicja2.

Okres wpłat wkładów oszczędnościowych T_w jest to czas pomiędzy kolejnymi wpłatami.

Wartość sumy wkładów zależeć będzie od :

• modelu kapitalizacji odsetek;

• wzajemnych relacji pomiędzy okresem stopy procentowej T_s, okresem kapitalizacji T_k i okresem wkładów T_w. Jeżeli okresy te są równe to wkłady oszczędnościowe nazywać będziemy zgodnymi, w przeciwnym wypadku niezgodnymi.

UWAGA:

Wkłady oszczędnościowe mogą być równej bądź różnej wysokości, mogą być przy tym wnoszone na końcu (z dołu) lub na początku (z góry) kolejnych okresów wpłat.

Rachunek procentowy wkładów oszczędnościowych sprowadza się do wyznaczenia aktualnej wartości sumy wkładów oszczędnościowych w dowolnym, ustalonym momencie. Obowiązuje tutaj następująca zasada:

Aktualna wartość sumy wkładów oszczędnościowych w danym momencie jest równa sumie aktualnych wartości poszczególnych wkładów w tym momencie.

Zasadę tę można przedstawić symbolicznie w postaci związku:

gdzie E_i oznacza i - ty wkład (i=1, 2, …,n), a funkcja
określa wartość wkładu wniesionego w chwili i zaktualizowana na moment t.

Wyznaczanie aktualnej w danym momencie czasu wartości sumy wkładów oszczędnościowych sprowadza się do wyznaczenia aktualnych w tym momencie wartości poszczególnych wpłat i zsumowaniu ich. Aktualną wartość poszczególnych wpłat można wyznaczyć na podstawie różnych modeli kapitalizacji.

OPROCENTOWANIE PROSTE WKŁADÓW OSZCZĘDNOŚCIOWYCH

WKŁADY ZGODNE

• T_s=T_k=T_w

Przyszła (końcowa) wartość wkładów oszczędnościowych o jednakowej wysokości E jest równa:

Czas

0

1

2

…

n-1

n

Wpłaty

z góry

E

E

E

…

E

Z

Ern

Er(n-1)

Er(n-2)

Er

z dołu

E

E

…

E

E

Z

Er(n-1)

Er(n-2)

Er

- dla wkładów oszczędnościowych z góry

- dla wkładów oszczędnościowych z dołu

Zaktualizowana wartość sumy n wkładów oszczędnościowych o wysokości E w modelu oprocentowania prostego na moment czasowy t.

.

„+” odnosi się do wkładów z góry; „-” odnosi się do wkładów z dołu

Aktualizacja na moment t=0 daje wartość teraźniejszą wkładów

.

„+” odnosi się do wkładów z góry; „-” odnosi się do wkładów z dołu

WKŁADY NIEZGODNE

• T_s≠T_w

• 
  -względna stopa procentowa o okresie równym okresowi wkładów
  

Wartość przyszła (końcowa) sumy n wkładów oszczędnościowych niezgodnych o jednakowej wysokości E (w podokresach)

Czas

0

1/m

2/m

…

(m-1)/m

1 …

Wpłaty

z góry

E

E

E

…

E

E …

z dołu

E

E

…

E

E …

- dla wkładów oszczędnościowych z góry

- dla wkładów oszczędnościowych z dołu

Wartość aktualna w momencie t

Wartość teraźniejsza (początkowa)

„+” odnosi się do wkładów z góry; „-” odnosi się do wkładów z dołu

OPROCENTOWANIE ZŁOŻONE WKŁADÓW OSZCZĘDNOŚCIOWYCH

WKŁADY ZGODNE

• T_s=T_k=T_w

Przyszła (końcowa) wartość sumy n wkładów oszczędnościowych o jednakowej wysokości E jest równa:

Czas

0

1

2

…

n-1

n

Wpłaty

z góry

E

E

E

…

E

E(1+r)^n

E(1+r)^n-1

E(1+r)^n-2

E(1+r)

z dołu

E

E

…

E

E

E(1+r)^n-1

E(1+r)^n-2

E(1+r)

q=1+r, r jest okresową stopą procentową.

- dla wkładów oszczędnościowych z dołu

- dla wkładów oszczędnościowych z góry

Aktualna w momencie t wartość sumy wkładów oszczędnościowych

Wartość teraźniejsza (początkowa) na moment t=0

- dla wkładów oszczędnościowych z dołu

- dla wkładów oszczędnościowych z góry

WKŁADY NIEZGODNE

• przynajmniej dwa spośród trzech okresów są różne

Ustalenie wartości aktualnej sumy wkładów oszczędnościowych niezgodnych polega na ich równoważnym zastąpieniu modelem zgodnym (tzw. uzgodnienie wkładów). Uzgodnienie wymaga odpowiedniej do sytuacji zmiany okresu stopy procentowej lub okresu kapitalizacji przy jednoczesnej zmianie stopy procentowej.

OKRES WKŁADÓW RÓWNY OKRESOWI KAPITALIZACJI

• T_k=T_w≠ T_s

• 
  częstość kapitalizacji

• 
  względna stopa procentowa o okresie równym okresowi kapitalizacji (uzgodnienie wkładów polega na przyjęciu nowego okresu
  )

• 
  

Przyszła (końcowa) wartość sumy n wkładów oszczędnościowych o jednakowej wysokości E jest równa:

• 
  - dla wkładów oszczędnościowych z dołu

• 
  - dla wkładów oszczędnościowych z góry

Wartość teraźniejsza (początkowa) sumy wkładów oszczędnościowych na moment t=0

• 
  - dla wkładów oszczędnościowych z dołu

• 
  - dla wkładów oszczędnościowych z góry

OKRES WKŁADÓW WIĘKSZY OD OKRESU KAPITALIZACJI

(KAPITALIZACJA CZĘSTSZA NIŻ WKŁADY)

• 
  ,
  - dowolny (np. wkłady półroczne, kapitalizacja kwartalna)

• 
  częstość kapitalizacji

• 
  - stopa procentowa dostosowana do okresu wkładów
  

• uzgodnienie wkładów polega na wprowadzeniu stopy efektywnej
  

• 
  

Wartość przyszła sumy n wkładów oszczędnościowych o jednakowej wysokości E

- dla wkładów oszczędnościowych z dołu

- dla wkładów oszczędnościowych z góry

Wartość teraźniejsza (początkowa) sumy wkładów oszczędnościowych na moment t=0

- dla wkładów oszczędnościowych z dołu

- dla wkładów oszczędnościowych z góry

OKRES WKŁADÓW MNIEJSZY OD OKRESU KAPITALIZACJI

(WKŁADY CZĘSTSZE NIŻ KAPITALIZACJA)

• 
  ,
  - dowolny (np. wkłady miesięczne przy kapitalizacji kwartalnej)

• 
  - stopa procentowa dostosowana do okresu kapitalizacji
  

• wkładów dokonywano przez n okresów kapitalizacji, przy czym w każdym okresie kapitalizacji dokonywano m wkładów o tej samej wysokości E. Łączna liczba wkładów jest równa nm.

• MODEL KAPITALIZACJI ZŁOŻONEJ Z DOŁU

• Uzgodnienie wkładów dokonuje się przez zastąpienie kapitalizacji okresowej, o zadanym okresie kapitalizacji przy stopie procentowej
  , równoważną kapitalizacją w podokresach zgodnie z okresem wkładów, z wykorzystaniem stopy równoważnej
  , gdzie m określa ile razy okres kapitalizacji jest większy od okresu wkładów.

• 
  

Wartość przyszła sumy wkładów oszczędnościowych o jednakowej wysokości E

- dla wkładów oszczędnościowych z dołu

- dla wkładów oszczędnościowych z góry

Wartość teraźniejsza (początkowa) sumy wkładów oszczędnościowych na moment t=0

- dla wkładów oszczędnościowych z dołu

- dla wkładów oszczędnościowych z góry

• MODEL KAPITALIZACJI MIESZANEJ

• n - liczba pełnych okresów kapitalizacji

• m - liczba wpłat w każdym okresie kapitalizacji

• w podokresach okresu kapitalizacji (w okresach wkładów) stosuje się oprocentowanie proste

• w pełnych okresach kapitalizacji oprocentowanie złożone z dołu

• q=1+
  

Wartość przyszła sumy wkładów oszczędnościowych o jednakowej wysokości E

(„-„ wkłady z dołu; „+” wkłady z góry)

OPROCENTOWANIE WKŁADÓW OSZCZĘDNOŚCIOWYCH Z UWZGLĘDNIENIEM INFLACJI

• W czasie gromadzenia wkładów oszczędnościowych zarówno stopa procentowa r oraz stopa inflacji i są stałe.

• Okres stopy procentowej r jest taki sam jak okres stopy inflacji i.

• q=1+r

• p=1+i

Czas

0

1

2

3

…

n-1

n

Wartość

Z dołu

E

…

Z góry E

….

Realna wartość sumy wkładów oszczędnościowych


- dla wkładów oszczędnościowych z dołu


- dla wkładów oszczędnościowych z góry

Wartość teraźniejsza sumy wkładów oszczędnościowych, wyrażona w cenach dzisiejszych


- dla wkładów oszczędnościowych z dołu


- dla wkładów oszczędnościowych z góry

Przykład:

Klient postanowił wpłacać do banku systematycznie co miesiąc (przez 5 lat) kwotę 300 zł.

Kapitalizacja jest kwartalna, z roczną stopą procentową równą 4%.

Jaka będzie różnica jego oszczędności, jeśli wpłacałby:

1. z góry?

2. z dołu?

Rozwiązanie:

MATEMATYKA FINANSOWA WYKŁAD 2 11

Dr Anna Górska

---