I) WEKTORY W PRZESTRZENI

ICH ILOCZYNY: SKALARNY
, WEKTOROWY
, MIESZANY det

1) Zbiór wektorów swobodnych
tworzy grupę ze względu na dodawanie
(działanie określone jest tak jak na macierzach 1
3).

Określamy mnożenie liczby rzeczywistej
przez wektor
:
(tak jak mnożenie liczby przez macierz 1
3). Jest związane ze zwrotem wektora, wektorem przeciwnym
oraz równoległością wektorów
.

2) Niech
,
.

- Iloczyn skalarny tych dwóch wektorów
(to nie jest działanie!) jest liczbą związaną z orientacją tych wektorów, zdefiniowaną
i obliczaną

Własności: przemienny, rozdzielny względem + oraz wzory (dla wektorów niezerowych):

; wersor odp.
:
;
;

Zastosowania: Rzut wektora
na oś o wersorze kierunkowym
:
;

praca siły
potrzebna na przemieszczenie punktu mat. o masie 1 o wektor
:
.

- Iloczyn wektorowy wektorów zerowych lub równoległych jest wektorem zerowym, a

iloczyn wektorowy wektorów niezerowych i nierównoległych jest wektorem niezerowym
takim, że (1)
, tzn.

(2)
(pole równoległoboku rozpiętego na
i
)

(3) uporządkowana trójka
ma orientację dodatnią tzn. det
.

Obliczanie:

Własności: antyprzemienny, rozdzielny względem dodawania,

Zastosowania: pola wielokątów, moment obrotowy siły
względem punktu C:
i osi.

- Iloczyn mieszany (uporządkowany) trzech wektorów
jest kombinacją iloczynu skalarnego z wektorowym:
i równą wyznacznikowi macierzy, której kolumny (wiersze) złożone są z tych wektorów, czyli
.

Interpretacja:

.

• 
  
  
  PŁASZCZYZNA W R³

1. 
   Iloczyn wektorowy dwóch wektorów:

B) Płaszczyzna H wyznaczona przez punkt
i wektor prostopadły (normalny)
:

H

C) Płaszczyzna H wyznaczona przez punkt
i dwa wektory równoległe do płaszczyzny (nierównoległe do siebie):

i wstawienie do równania ogólnego lub

równanie wyznacznikowe płaszczyzny

• PROSTA W R³

A) Prosta l wyznaczona przez punkt
i wektor równoległy

(kierunkowy)

l P Q(x,y,z)

B) Prosta l wyznaczona jako krawędź przecięcia dwóch płaszczyzn nierównoległych:

Uwaga: Przejście do A): rozwiązanie układu (tabelką) lub

i wziąć
jako jakieś rozwiązania układu

C) Wzajemne położenie prostych
i
rozstrzyga macierz
:

D) WZORY:

1. 
   

2. 
   3)
   

Przykład:

a) Wykazać, że proste

są równoległe i niepokrywające.

b) Znaleźć równanie płaszczyzny zawierającej te proste.

c) Znaleźć odległość między tymi prostymi.

d) Znaleźć równanie prostej (płaszczyzny), względem której te proste są

symetryczne.

Rozwiązanie

a)

b)

c)

d) Rzut prostokątny np.
na prostą
jest

i
czyli
.

Prosta
, względem której są symetryczne
przechodzi przez środek odcinka
i ma wektor kierunkowy
:
.

Płaszczyzna
, względem której są symetryczne, zawiera środek odcinka
i wektor
, stąd jej równanie:

.

1

P

P Q(x,y,z)