W(5-6)SEM1, Politechnika Warszawska- Ochrona Środowiska, matematyka- wykłady


I) WEKTORY W PRZESTRZENI

ICH ILOCZYNY: SKALARNY 0x01 graphic
, WEKTOROWY 0x01 graphic
, MIESZANY det

1) Zbiór wektorów swobodnych 0x01 graphic
tworzy grupę ze względu na dodawanie 0x01 graphic
(działanie określone jest tak jak na macierzach 10x01 graphic
3).

Określamy mnożenie liczby rzeczywistej 0x01 graphic
przez wektor 0x01 graphic
: 0x01 graphic
(tak jak mnożenie liczby przez macierz 10x01 graphic
3). Jest związane ze zwrotem wektora, wektorem przeciwnym 0x01 graphic
oraz równoległością wektorów 0x01 graphic
.

2) Niech 0x01 graphic
, 0x01 graphic
.

- Iloczyn skalarny tych dwóch wektorów 0x01 graphic
(to nie jest działanie!) jest liczbą związaną z orientacją tych wektorów, zdefiniowaną 0x01 graphic
i obliczaną

0x01 graphic

Własności: przemienny, rozdzielny względem + oraz wzory (dla wektorów niezerowych):

0x01 graphic
; wersor odp. 0x01 graphic
: 0x01 graphic
; 0x01 graphic
; 0x01 graphic

Zastosowania: Rzut wektora 0x01 graphic
na oś o wersorze kierunkowym 0x01 graphic
: 0x01 graphic
;

praca siły 0x01 graphic
potrzebna na przemieszczenie punktu mat. o masie 1 o wektor 0x01 graphic
: 0x01 graphic
.

- Iloczyn wektorowy wektorów zerowych lub równoległych jest wektorem zerowym, a

iloczyn wektorowy wektorów niezerowych i nierównoległych jest wektorem niezerowym 0x01 graphic
takim, że (1) 0x01 graphic
, tzn. 0x01 graphic

(2) 0x01 graphic
(pole równoległoboku rozpiętego na 0x01 graphic
i 0x01 graphic
)

(3) uporządkowana trójka 0x01 graphic
ma orientację dodatnią tzn. det 0x01 graphic
.

Obliczanie: 0x01 graphic

Własności: antyprzemienny, rozdzielny względem dodawania, 0x01 graphic

Zastosowania: pola wielokątów, moment obrotowy siły 0x01 graphic
względem punktu C: 0x01 graphic
i osi.

- Iloczyn mieszany (uporządkowany) trzech wektorów 0x01 graphic
jest kombinacją iloczynu skalarnego z wektorowym: 0x01 graphic
i równą wyznacznikowi macierzy, której kolumny (wiersze) złożone są z tych wektorów, czyli 0x01 graphic
.

Interpretacja: 0x01 graphic
0x01 graphic
.

0x08 graphic

  1. 0x08 graphic
    Iloczyn wektorowy dwóch wektorów:

0x08 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x08 graphic
B) Płaszczyzna H wyznaczona przez punkt 0x01 graphic
i wektor prostopadły (normalny) 0x01 graphic
: 0x01 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic

H

0x08 graphic
0x01 graphic

C) Płaszczyzna H wyznaczona przez punkt 0x01 graphic
i dwa wektory równoległe do płaszczyzny (nierównoległe do siebie): 0x01 graphic

0x01 graphic
i wstawienie do równania ogólnego lub

0x08 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic

równanie wyznacznikowe płaszczyzny

A) Prosta l wyznaczona przez punkt 0x01 graphic
i wektor równoległy

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
(kierunkowy) 0x01 graphic
0x01 graphic

0x08 graphic

l P Q(x,y,z)

0x01 graphic

B) Prosta l wyznaczona jako krawędź przecięcia dwóch płaszczyzn nierównoległych: 0x01 graphic

Uwaga: Przejście do A): rozwiązanie układu (tabelką) lub

0x01 graphic
i wziąć 0x01 graphic
jako jakieś rozwiązania układu

C) Wzajemne położenie prostych 0x01 graphic
i 0x01 graphic
rozstrzyga macierz 0x01 graphic
: 0x01 graphic

D) WZORY:

  1. 0x01 graphic

  2. 0x01 graphic
    3) 0x01 graphic

Przykład:

a) Wykazać, że proste 0x01 graphic

są równoległe i niepokrywające.

b) Znaleźć równanie płaszczyzny zawierającej te proste.

c) Znaleźć odległość między tymi prostymi.

d) Znaleźć równanie prostej (płaszczyzny), względem której te proste są

symetryczne.

Rozwiązanie

a) 0x01 graphic

b) 0x01 graphic

c) 0x01 graphic

d) Rzut prostokątny np. 0x01 graphic
na prostą 0x01 graphic
jest 0x01 graphic

i 0x01 graphic
czyli 0x01 graphic
.

Prosta 0x01 graphic
, względem której są symetryczne 0x01 graphic
przechodzi przez środek odcinka 0x01 graphic
i ma wektor kierunkowy 0x01 graphic
: 0x01 graphic
.

Płaszczyzna 0x01 graphic
, względem której są symetryczne, zawiera środek odcinka 0x01 graphic
i wektor 0x01 graphic
, stąd jej równanie:

0x01 graphic
.

1

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

P

P Q(x,y,z)

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
W(3-4)SEM1, Politechnika Warszawska- Ochrona Środowiska, matematyka- wykłady
pytania oczyszczanie wody egz (3), Politechnika Wrocławska, Ochrona Środowiska W7, Semestr V, SOW- w
Materiały do wykładów z Aparatury w ochronie środowiska Wykład I i II (1), Politechnika Wrocławska,
7. Formy ochrony przyrody, Studia, Polibuda Politechnika Warszawska, chemia środowiska
chemia organiczna w biochemii, Politechnika Wrocławska, Ochrona Środowiska W7, Semestr III, Biochemi
Ochrona Środowiska 2012 wyklad 3
II O- Biochemia cwiczenie 5, Politechnika Wrocławska - ochrona środowiska, biochemia - laboratorium
II O- Biochemia cwiczenie 1, Politechnika Wrocławska - ochrona środowiska, biochemia - laboratorium
ochrona srodowiska test 2A, iś pw, semestr I, Ochrona Środowiska, zaliczenie wykładów
ochrona srodowiska test 1B, iś pw, semestr I, Ochrona Środowiska, zaliczenie wykładów
zagrożenia bhp przy robotach, Politechnika Warszawska, Organizacja Placu Budowy, Wykład
plac konsp folie, Politechnika Warszawska, Organizacja Placu Budowy, Wykład
Ochrona środowiska (2), Studia Wnig Gig, semestr 2, ochrona środowiska, OŚ wykłady
II O- Biochemia cwiczenie 4, Politechnika Wrocławska - ochrona środowiska, biochemia - laboratorium
Zagrożenia i ochrona środowiska abiotycznego Wykład 1
Ochrona Środowiska 2012 wyklad 1
Ochrona Środowiska 2012 wyklad 2
ochrona środowiska przyrodniczego - wykład - 30.10.2006, semestr V
sciaga (2), Studia Wnig Gig, semestr 2, ochrona środowiska, OŚ wykłady

więcej podobnych podstron